(完整word版)双曲线讲义

1、圆锥曲线第二讲双曲线双曲线的定义平面内到两个定点Fi,F2的距离之差的绝对值等于常数2a(小于F1F2)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点.两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.注：(1)定义中的限制条件02aF1F2.当2aF1F2时，点的轨迹是分别以Fi,F2为端点的两条射线；当2aF1F2时，轨迹不存在；当2a0时，点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.(2)定义中的绝对值必不可少.若没有绝对值符号则点的轨迹表示双曲线的例1已知'(5,0),F2(5,0),动点P满足PF1PF22a,当a为3和5时，P的轨迹分别是.双曲线的一支和一条射线例2已知点P(x,y)的坐标满足下

2、列条件，是判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形:|j(x5)2y27(x5)2y2|6；(2),(x4)2y2,(x4)2y26练习1已知平面上定点F1，F2及动点M,命题甲：MFMF22a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1,52为焦点的双曲线，则甲是乙的条件.必要不充分条件练习2若平面内一动点P(x,y)到两定点F1(1,0),F2(1,0)的距离之差的绝对值为定值a(a0),讨论点P的轨迹方程.双曲线的标准方程(1)设M(x,y)是双曲线上任意一点，焦点Fi,F2的坐标分别为(c,0),(c,0),M与F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2a(ca0),则双曲线的标准方程22xy为：二

3、二1(a0,b0)ab其中：c2练习1若方程1表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范5mm2m3围为.(5,)练习2已知双曲线8kx2ky28的一个焦点为(0,3),则k.-1三双曲线的定义及其标准方程的应用22例1若F1,F2是双曲线L1的两个焦点，若双曲线上一点M到它的一个焦点的16距离等于16,则点M到另一个焦点的距离为(4或28),若P是双曲线左支上的点，且PF1gPF232,则VF1PF2的面积为.16a2b2.ac且bca和b大小关系不明确(2)设M(x,y)是双曲线上任意一点，焦点Fi,F2的坐标分别为(0,c),(0,c),M与Fi和F2的距离之差的绝对值等于常数2a(ca

4、0),则双曲线的标准方程22yx为：f=1(a0,b0)ab其中：c2a2b2.ac且bca和b大小关系不明确22例1若方程1表示双曲线，则实数m的取值范围为.2mm3(3,2)U(3,)例2若k1,则关于x,y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是.焦点在y轴上的双曲线.22例3方程一xy1所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲cos2010sin2010线.例2在VABC中，a,b,c为其三边边长，点B,C的坐标分别为B(1,0),0(1,0),12421则满足sinCsinB-sinA的顶点A的轨迹方程为.4x-y1(x-)例3已知M(3,0),N(3,0),圆C相切的两直线相交于P,23

5、2B(1,0),动圆C与直线MN切于点B,过M,N与2则点P的轨迹方程为x21(x1)8x2例4已知F是双曲线一4则PFPA的最小值为21的左焦点，点A(1,4),12.9P是双曲线右支上的动点,练习1在平面直角坐标系xoy中，已知VABC的顶点A(6,0),C(6,0),若顶点B22在双曲线二L1的左支上则s1nASinC52511sinB6练习2若点P是以A(Tw,0),B(V10,0)为焦点，实轴长为2底的双曲线与圆x2y210的一个交点，则|PBPA的值为672eB都外25cc1.一，例3已知eA:(x2)2y一，eB:(x2)2y2一，动圆P与eA442切，则动圆P圆心的轨迹方程为.

6、x2L1(x0)32练习4已知双曲线的方程x21,点A的坐标为(J5,0),B是圆x24(yJ5)21上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则MAMB的最小值为.Mi四双曲线的简单几何性质捕圆双曲线方程23工7+=l(a>b>0)2,2gb22-"Ife>Ojb>口)/b3&b.c关系>b>)d田(日>。，b>0)I1困形JiVV%Fl-aFi0x-b范围网耳，帆Wb附a#匕R对称性对称轴：工轴、F轴对称中心：原点、对称轴：K轴,下轴对称中心:原点、顶点(-80)(a>0)(0j-b)>(0>b)长轴为%

7、短轴为四f-4j0)j(a.0)实粕为加虚轴阅3b注：(1)标准方程中参数a,b,c,其中c最大，a,b大小关系不确定.22(2)我们把e&称为双曲线的离心率且e1.今与1的渐近线方程为aabby-x.a(3)如果F1,F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的任意一点，则1cosF1PF21.(求离心率的范围)(4)PF1PF22c,PF1PF22c.(求离心率范围)（5）等轴双曲线：虚轴长和实轴长相等的双曲线.等轴双曲线的离心率eV2.（6）共辗双曲线：两个实轴和虚轴互为对调的双曲线称为共辗双曲线三双曲线的定义练习（5.3）已知0,则双曲线Ci：42x2cos21，与sin22C2：2

8、2一21的（）sinsintanA.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等四双曲线标准方程的求解（先定位后定量）22例1（调研）设双曲线与椭圆27361有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（A,4）,则此双曲线的标准方程是2y_.42x一15例2（调研）已知双曲线的渐近线方程为2x3y0,F（0,5）为双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为_2-213y13x/二11002252x例2（5.3）已知双曲线C:-y则C的方程为2x.20练习1（简单）设椭圆Ci的离心率为皂,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线13C2上的点到椭圆的两个焦点的距离之差的绝对值等于8,则曲线C2的标

9、准方程22工L116941的焦距为10,点P（2,1）在C的渐近线上,b五双曲的简单几何性质双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点，两个定点,两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心，焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线是一点和两个焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系.2例1（简单）设双曲线。a24i，的虚轴长为b2,焦距为2翼,则双曲线的渐近线的方程为22例2（练透）已知双曲线4ab1.y-x.21的离心率为,则双曲线的渐近线方程为2练习1（调研）设Fi,F2是双曲线X22y241的两个焦点,P是双曲线上的一点,3PR4PF2,则VPF1F2

10、的面积等于2422例2（简单）若直线ykx1与双曲线上1的一条渐近线垂直，则实数k9164=.3六双曲线的离心率离心率的取值问题22例1（练透）F1,F2是双曲线C：xy、1的左右焦点，过F1的直线l与C的左ab右两支分别交于A,B两点，若AB:|BF2|:AF23:4:5,则双曲线的离心率为痴22例2（练透）过双曲线C:、与1（a0,b0）的一个焦点F作双曲线的一条ab渐近线的垂线，若垂足恰好在线段OF的垂直平分线，则双曲线的离心率为22A2练习1（练透）设Fi,F2是双曲线C:t41（a0,b0）的两个焦点，P是abC上的一点，若PFiPF26a,且VPF1F2的最小内角为30,则C的离心

11、率为石22练习2（练透）设Fi,F2分别为双曲线C:3七1（a0,b0）的左右焦点，abA为双曲线的左顶点，以三产2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点,且满足MAN120,则该双曲线的离心率为练习3(练透)设Fi,F2分别是双曲线C:3当1(a0,b0)的左右焦点，若abuuuuuuuruuuu双曲线右支上存在一点P,使得(OPOF2)g=2P0,。为坐标原点，且uuurPF1_uuur出PF2,则该双曲线的离心率为离心率的范围问题双曲线的离心率范围问题主要考查两点:(1)利用三角形的三边关系得到关于a,c的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.(2)若果Fi,F2是双曲线的两个焦点，P

12、是双曲线上的任意一点，则1cosF1PF21.通过余弦定理得到关于a,c的齐次不等式，解不等式得到离心率范围.2A2例1(调研)已知双曲线C:J41(a0,b0)的左右焦点为Fi,F2,点Pab在双曲线的右支上，且|PFi4PF2,则此双曲线的离心率e的最大值为5.2上1b23uuuuuux2例2(调研)已知A(1,2),B(1,2),动点P满足APBP,若双曲线a的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是1e222练习1(5.3)已知双曲线二、1(a0,b0)的左右焦点分别为RR,P为abPFi双曲线右支上任意一点，若的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范2围是(1,322练习2(练透)点P是双曲线今自1(a0,b0)左支上的一点，其右焦点ab为F(c,0),若M为线段FP的中点，