第五章__大数定律与中心极限定理

1、第一节第一节 大数定律大数定律第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理第第5章概述章概述 大数定律和中心极限定理就是大数定律和中心极限定理就是使用使用极限极限方法方法研究大量随机现象统计规律性研究大量随机现象统计规律性. 阐明阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性大量重复试验的平均结果具有稳定性的的一系列定律都称为一系列定律都称为大数定律大数定律. 论证论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布一分布的定理称为的定理称为中心极限定理中心极限定理.契比雪夫不等式契比雪夫不等式.,)(,)(222成成立立不

2、不等等式式则则对对于于任任意意正正数数方方差差具具有有数数学学期期望望设设随随机机变变量量定定理理XPXDXEX 切比雪夫不等式切比雪夫不等式切比雪夫不等式也可以写成切比雪夫不等式也可以写成22(|)1PX 大数定律大数定律 概率论中有关阐明概率论中有关阐明大量随机现象平大量随机现象平均结果的稳定性均结果的稳定性的一系列定理的一系列定理。 迄今为止迄今为止,人们已发现很多人们已发现很多大数定律大数定律(laws of large numbers),所谓大数定律，简单地说，就是所谓大数定律，简单地说，就是大大量数目的随机变量所呈现出的规律量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般，这种规律一般

3、用随机变量序列的某种收敛性来刻画。用随机变量序列的某种收敛性来刻画。lim | 1lim |0nnnnPXaPXa，或等价地，则称则称 Xn 依概率收敛依概率收敛于于a, , 记作记作: :lim,( )PnnnXa PXa 或12,nXXXa定义1 设是一个随机变量序列，是一个常数，若对任意正数 ，有1212,lim1,1lim. . .nnnnnnnX XXXXX XXXXXasX asX 定义2 设是一个随机变量序列，若存在随机变量X（可以是一常数），使P我们称随机变量序列以概率收敛于 ，或说几乎处处收敛于X，并记为，或。11nniiXXn若若lim()0,(),nnnXE XPn则称随

4、机序列X 服从大数定律。12,()nnXXXE X定义3 设是一个随机变量序列，数学期望存在，令1.1.伯努利大数定伯努利大数定律律lim | 1nnPpn5.1,0,nEnApA定理设试验 重复进行了 次 事件 在每次实验中出现的概率为表示事件 发生的次数,则对任意有证明证明: ( , ),nb n p因为(),()(1)nnEnp Dnpp故21(1)(),()()nnnppEpDDnnnn从而2| 1DXP XEX 由切比雪夫不等式，lim()1nnPpn从而22()(1)()11nnDppnPpnn n 令2(1)11ppn伯努利大数定律说明了伯努利大数定律说明了当重复独立试验次数当重

5、复独立试验次数 n 很大时，频率与其概率之差可为任意小很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其即说明了其频率的稳定性频率的稳定性。从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以用事件发生的频率来近似代替概率。用事件发生的频率来近似代替概率。1,(1,2)0iiAXiniA第次实验中事件 发生 若记，第次实验中事件 不发生1,nniiX则11,nniiXnn1111( )(),nniiipP AE Xnn从而定理可写成：1111lim()1nniiniiPXE Xnn2.2.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 1211,()(1,2)0,11lim()1n

6、inniiniiXXXcD Xc iPXE Xnn设相互独立的随机变量序列的数学期望与方差都存在,且存在常数 ,使得,则对任意有211111111()1nnniiiiiiPXE XDXnnn 21cn 证明证明: 由期望与方差的性质知1111()()nniiiiEXE Xnn11()niiDXn211()niiD Xn21ncncn利用切比雪夫不等式,1111lim()1nniiniiPXE Xnn所以 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律表明，当表明，当n很大时，很大时，X1，X2 , ,，Xn的算术平均值的算术平均值 niiXnX11的取值，集中在其数学期望的取值，集中在其数学期望11()()

7、niiE XE Xn附近。附近。121,()(),1lim()1niininiXXXE XD XPXn2推论 设随机变量序列相互独立,且具有相同的期望和方差：= ,=则对任意正数 ，有这使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。这使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。12,nXXX由大数定律知，只要由大数定律知，只要n充分大，则以接近于充分大，则以接近于1的概率保证的概率保证这便是在这便是在n较大情况下反映出的客观规律较大情况下反映出的客观规律,故称为故称为“大数大数”定定律律 如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得次，得n个测量值

8、个测量值 ，它们可以看成是，它们可以看成是n个相个相互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望和方差和方差 ， 2niiXn11 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有特别重要的地位。正态分布占有特别重要的地位。 那么，那么，如何判断一个随机变量服从正态分布如何判断一个随机变量服从正态分布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多工程测量中产生的误差道

9、，很多工程测量中产生的误差X都是服从正态分都是服从正态分布的随机变量。布的随机变量。 分析起来，造成误差的原因有仪器偏差分析起来，造成误差的原因有仪器偏差X1、大气折射偏差大气折射偏差X2, ,温度变化偏差温度变化偏差X3、估读误差、估读误差造成的偏差造成的偏差X4等等，这些偏差等等，这些偏差Xi 对总误差对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影响，虽然每个响，虽然每个Xi的分布并不知道，但的分布并不知道，但 却服从正态分布。却服从正态分布。iXX例如：(1, )nXBp设随机变量序列独立同分布于两点分布,1( , )nnkkYXB n p那么

10、其部份和服从二项分布，5,10,20( ,0.5)nb n分别对画出二项分布密度的图形n 易知，当 变大时，这些图形越来越接近正态分布的密度曲线.0246810121416182000.020.040.060.080.10.120.140.160.180246810121416182000.050.10.150.20.250246810121416182000.050.10.150.20.250.30.35lim( )( )nnF xF x则称则称 Xn 依依分布分布收敛收敛于于X, , 并称并称F F（x x）为）为( )nF x 极限分布函数。( ),1,2,. ( )(1,2,.)( )

11、,nx nF xXnF xxn定义1 设F分别为随机变量序列，及随机变量X的分布函数，若对的任一连续点 有 n设为任一随机变量序列，其和的标准化随机变量111()()nniiiinniiEYDlim( )nnP Yxx 在什么条件下满足？ 这是此后这是此后300多年来，概率论研究的一个多年来，概率论研究的一个中心，故称作中心，故称作中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）。）。 2122112.,()()0,(1,2).(),(1,2,.),1lim2nnnnnnkknknknkntynnXXXE XaD XnXaBDXYnByRP Yyedt2n定义52 设是

12、相互的随机变量序列,且,=,= 令= 若对于一致有则称随机变量序列独立具有有限的数X 服从中心学期极望和方差限定理。5.2.15.2.1. .林德林德伯伯格格-列列维定理维定理( (独立同分布独立同分布) ) 12111111,()()0(1,2).()()( ),1lim( )lim()( )2niiniinnniiiiiinniinniinnnXXXE XD XiXXEXXnYnDXF xxXnF xPxxn 2定理2 设是相互的随机变量序列,且,= ,=则随机变量之和的 的分布函数对任意实数 满足独立同分布具有数学期望和方差标准化随机变量22txedt%例2 某单位有500部电话分机,假

13、定每部分机有4的时间要用外线通话，且各分机是否要用外线相互独立，问该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以90%以上的概率保证每部分机用外线时不必等候.解:00,设X表示5台中同时要用外线通话的分机数 则(500,0.04)XB()20,()19.2E XD X且:(20,19.2) ()XN由中心极限定理近似N设 表示安装外线数目,由题意()0.9P XN5001()()kkP XxPXx即5001202020= ()19.219.219.2kkXxxP 25.69x:(1.30)0.9032查 表 得 推论：推论：棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理221lim( )(1)2txnnXn

14、pPxedtxnpp1( , ), (1,2),nXB n pnxR定理设随机变量则对任意有. .1900003例523：一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3度的概率为 ，若船舶遭受了次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇角大于3度的概率是多少？解:90000,X设 表示次波浪冲击中纵摇角大于3度的次数 则1(90000, )3XB:由中心极限定理(2950030500)2950030500()(1)(1)(1)PXnpXnpnpPnppnppnpp即5 2()-0.99952 5 2（）290000,1/3,np()()bnannn 1niiP aXb11()n

15、iianbnPXnnnn111(,)nnniiiiiiXNEXDX结论：21(,)niiXN nn即注意:(1),0.1,ppnpnp泊松分布告诉我们 当时 二项分布可用泊松分布作近似计算,而上述定理不受 值的限制.但若 很大,很小(5),则用正态分布作近似不如泊松分布精确.(2),nnnn很大 是一个较为模糊的概念 经验告诉我们 如果取50(有时可放宽到30),则近似程度便可以满足一般要求.当然, 越大精度越好.niXEX 设为独立同分布随机变量序列，02iDX111lim1niniPXn、由大数定律知，对任意正数 ， 有11niiPXn 大数定理并未给出的表达式，但是保证了它的极限为1最后

16、，我们指出最后，我们指出大数定律与中心极限定理的区别大数定律与中心极限定理的区别： 因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见，可见中心极限定理的结论更为深入中心极限定理的结论更为深入.这时，对于任意的这时，对于任意的0及某固定的及某固定的n，有，有211nn nnnXPXnPniii112、而在以上条件下，中心极限定理亦成、而在以上条件下，中心极限定理亦成.中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限在后面的课程中，我们还将经常用

17、到中心极限定理定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.思考题：思考题： 在人寿保险公司里有在人寿保险公司里有3000个同一年龄的人参个同一年龄的人参加人寿保险加人寿保险. .在一年里在一年里, ,这些人的死亡率为这些人的死亡率为0.1%. 参参加保险的人在一年的头一天交付保险费加保险的人在一年的头一天交付保险费100元元, ,死亡死亡时时, ,家属可以从