黄金分割法,进退法,原理及流程图

1、黄金分割法的优化问题(1) 黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于a,b区间上的任何单股函数求极小值问题，对函数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法，即在搜索区间a，b内适当插入两点al,a2,并计算其函数值。al,a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小，从而得到极小点的数值近似解。(2) 黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为沿某一已知方向求目标函数的

2、极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分割法(0.618法)。该方法用不变的区间缩短率0.618代替斐波那契法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似，实现起来比较容易，也易于人们所接受。黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间a,b内搜索极小点a*的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收敛速度均匀、效果较好而着称，是许多优化算法的基础，但它只适用于一维区间上的凸函数，即只在单峰区间内才能进行一维寻优，其收敛效率较低。其基本原理是：依照去劣存优”原则、对称原则、以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间。具体步骤是：在区间a,b内取点：al，a2把a,b分为三段。如果

3、f(a1)>f(a2)，令a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a)如果f(a1)<f(a2)，令b=a2，a2=a1,a1=b-r*(b-a)如果|(b-a)/b|和|(y1-y2)/y2|都大于收敛精度s重新开始。因为a,b为单峰区间，这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小，然后在保留下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，将使搜索区a,b逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题的近似最优解。黄金分割法原理如图1所示，(3) 程序流程如下:4实验所编程序框图yf给定a=-3,b=5收敛精度&=0.001

4、是否a1=b-r*#ineludemath.h#definef(x)x*x+#ineludestdio.hy1>=y22*x-0=0.618y1=f(a1)a2=a+H*(M)/bI<2=f(a2)J(y2-y1)/y2I<doublkxXg2y1=y2a2=a1y2=y1doubQ严砌ble*a,double*b,doub|ee,inb卫if(fabsa1=b-r*(b-a)y1=f(a1)a2=a+r*(b-a)s=f(*b+*a)/2)2=f(a2)elsex1=*b-0.618*(*b-*a);x2=*a+0.618*(*b-*a);*a=x1;else*b=x2;*

5、n=*n+1;s=calc(a,b,e,n);returns;main()doubles,a,b,e;intn=0;scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&e);s=calc(&a,&b,e，&n);printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%dn",a,b,s,n);5程序运行结果如下图：2进退法(1)算法原理进退法是用来确定搜索区间(包含极小值点的区间)的算法，其理论依据是：f(x)为单谷函数(只有一个极值点)，且a,b为其极小值点的一个搜索区间，对于任意X1,x2a,b，如果f

6、x1fX2，则旧兀为极小值的搜索区间，如果f捲fx.，则x为极小值的搜索区间。因此，在给定初始点X。，及初始搜索步长h的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算fX。h。（1）如果fXo:fXoh则可知搜索区间为X,Xoh，其中X待求，为确定X，后退一步计算f（Xo-，h），为缩小系数，且0：1，直接找到合适的*，使得f（X*h）fXo，从而确定搜索区间Xo-叮h,Xoh。（2）如果fXofXoh则可知搜索区间为Xo,X，其中X待求，为确定X，前进一步计算f（X-h），为放大系数，且1，知道找到合适的*，使得fxoh:f（xo'*h），从而确定搜索区间*Xo,Xo+九h。进退法求极值基

7、本思想：对f（X）任选一个初始点X1及初始步长ho，通过比较这两点函数值的大小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为“高一低一高”形态。算法原理1. 试探搜索：选定初始点X1,X2=Xi+ho，计算yi=f（x"，y2=f（X2）（a）如yi>y2,转2向右前进；b）如yi<y2,转3向左后退；图8.12. 前进搜索加大步长h=2h，产生新点X3=X2+2ho;a）如y2<y3,则函数在Xi，X3内必有极小点，令a=Xi，b=X3搜索区间为a，b;（b）如y2>ya，令Xi=X2，yi=y2；X2=X3，y2=ya；h=2h重新构造新点X3=X2

8、+h，并比较y2、y3的大小，直到z<y图8.23. 后退搜索令h=-ho，令X3=Xi，y3=yi；xi=X2，屮；X2=X3，甘屮；h=2h；产生新点X3=x2+h；（a）如y2<y3，则函数在xi，X3内必有极小点，令a=X3，b=Xi，搜索区间为a，b（b）女口y2>ya，令xi=X2，yi=y2；X2=X3，y2=ya；h=2h重新构造新点X3=X2+h,并比较y2、y3的大小，直到y%令a=Xi,b=x3,搜索区间为a,b;图8.3（2）算法步骤用进退法求一维无约束问题minf（x）,xR的搜索区间（包含极小值点的区间）的基本算法步骤如下：（1）给定初始点x（0）

9、，初始步长ho，令h=h°，x二x（0），k=0；（2）令x=xh，置k=k1；（3）若f（x（4）£f（x），则转步骤（4），否则转步骤（5）；（4）令x（2）=xx二x，fx（2）二fx（1），fx二fx（4），令h=2h，转步骤（2）；（5）若k-1，则转步骤（6）否则转步骤（7）;（6）令h=-h，x二x，fx（2）=fx，转步骤（2）；（7）令x（3）=x（2）,x=x（1）,x=x（4），停止计算，极小值点包含于区间xx或x，x（3）算法的MATLAB实现在MATLAB中编程实现的进退函数为：minJT功能：用进退法求解一维函数的极值区间。调用格式：minx,m

10、axx二minJT（f,x0,h0,eps）其中，f:目标函数；x0:初始点；h0:初始步长；eps精度；miix:目标函数取包含极值的区间左端点；maxx:目标函数取包含极值的区间又端点。进退法的MATLAE程序代码如下：functionminx,maxx=minJT（f,x0,h0,eps）%目标函数:f;%初始点:x0;%初始步长:h0;%精度:eps;%目标函数取包含极值的区间左端点：minx;%目标函数取包含极值的区间又端点：maxx;formatlong;ifnargin=3eps=1.0e-6;endx1=x0;k=0;h=h0;while1x4=x1+h;%试探步k=k+1;f4=subs(f,findsym(f),x4);f1=subs(f,findsym(f),x1);iff