高中数学第二章圆锥曲线与方程测试题(含详解)新人教A版选修1-1

1、C2=31mn=4，（时间：120分钟满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知抛物线的准线方程为x=-7,则抛物线的标准方程为（）A. xb2=-28yB.y=28x22C.y=-28xD.x=28y解析由条件可知2=7,.p=14,抛物线开口向右，故方程为y2=28x.答案B222. 设P是椭圆芈+鲁=1上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点，则|PF|+|PF2|等于（）2516A.4B.5C.8D.10解析由题可知a=5,P为椭圆上一点，|PF|+1PF=2a=10.答案D3. 双曲线3m）2-my=3的一

2、个焦点是（0,2），贝Um的值是（）A.1B.1C.22解析把方程化为标准形式七+七=1,mm解得n=1.答案A22xy4. 椭圆25+9=1上一点p到两焦点的距离之积为m则m取最大值时，p点坐标是（）A.（5,0）或（5,0）b.（5,竽）或（2，C.（0,3）或（0，3）d罟f）或（攀2）2）2解析|PF|+|PF2|=2a=10,/.|PF|PF2|w(IPF|+丨PF22)=25.16一个焦点在抛物线22xyA.=13610822xyC.-=11083622xyD.=1279当且仅当|PF|=|PF2|=5时，取得最大值，此时P点是短轴端点，故选C.答案C22XV5. (2010天津)

3、已知双曲线a,-b>=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=_3x,它的y2=24x的准线上，则双曲线的方程为()22xyB. =1927解析本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题.b依题意知?a2=9,b2=27,b=3,c=6,222c=a+b,22所以双曲线的方程为x27=1.答案B6. 在y=2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A.(2,1)B.(1,2)C. (2,1)D.(1,2)解析如图所示，直线I为抛物线y=2x2的准线，F为其焦点，PNLI,AN丄I,yV/0XN、NL由抛物线的定义知，

4、|PF=1PN,|AP+|PF=|AP+|PN>AN1,当且仅当A,P,N三点共线时取等号，P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、CD项，故选B.答案B7. 已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点Mm2）到焦点的距离为4,则m的值为（）A.4或一4B.2C.4D.2或一2p解析由题可知，（2）=4，.p=4.抛物线的方程为x2=8y.将（m2）代入可得m=16，m=±4.故选A.答案A22&设双曲线X2y?=1（a>0，b>0）的离心率为.3，且它的一个焦点在抛物线y2=12x的ab准线上，则此双曲线的方程为（）22xya5石=122B

5、.卷y_=17522xyD.c-=1362解析抛物线y=12x的准线方程为x=-3,c=3,由题意，得a='3，解得a=3,b=6,222c=a+b.22故所求双曲线的方程为xy=1.36答案C9. 动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过点()A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0，2)解析直线x+2=0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0).答案B2210. 椭圆X2+£=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离分别为di,d2,焦距为2c,若abdi,2c,d2成等差

6、数列，则椭圆的离心率为(22A.B.解析由椭圆的定义可知di+d2=2a,又由di,2c,d2成等差数列，c14c=d1+d2=2a,e=a=答案A1211已知F是抛物线y=4x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()A.2121x=y2B.x=2y16C.x2=2y1D.x2=2y21解析由y=卩2?x2=4y，焦点F(0,1),设PF中点Qx,y)、P(xo,yo),2x=0+xo,则2y=1+yo,4yo=x2,2c“x=2y-1.答案C12.已知Fi,F2是双曲线2x2a2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上一点,|PF2|PFi|的最

7、小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(1,3D.(1,2解析IP冋=IPFI|PF|+2a|PF|4a2=丨PF|+1pf|+4a>8a,当|PF|=ppft，即|P冋=2a时取等号.又|PF|>ca,：2a>ca.c<3a,l卩ew3.双曲线的离心率的取值范围是(1,3答案C、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)1y=±qx,贝Ub等于2213. (2010福建)若双曲线x*=1(b>0)的渐近线方程为b1解析由题意知2=q，解得b=1.答案114. 若中心在坐标原点，对称轴

8、为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为，则椭圆的标准方程为.解析若焦点在x轴上，则a=4,由e=-，可得c=23,b2=a2c2=1612=4,22椭圆方程为+y=1,164若焦点在y轴上，则b=4,232，可得a缨，222122又a-c=b,4a=16,a=64.22椭圆方程为字+y=1.16642222答案x_+乞=1或+y=1答案16十64'，或16十4I2X215. 设F1和F2是双曲线-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足/F1PF2=90°,4则厶F1PF2的面积为.|PF|-|PR|=4,解析由题设知22)|PF|2+|PR|2=20,2得|PF|PF|

9、=2.1F1PF的面积S=才PF|PF|=1.答案122xy22216. 过双曲线C：-2=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x+y=a的两条切线，切点分ab别为A,解析如图，设双曲线一个焦点为F,则厶AOF中,|0A=a,|0F=c,ZFOA60°.cc=2a,e=2.a答案2三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)求与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率为5的椭圆的标准方程.52222XV解把方程4x+9y=36写成9+4=1,则其焦距2c=2；：.；5.c=：5.又e=c=¥，二a=

10、5.a5.2222b=a-c=55=20,2222故所求椭圆的方程为鴛+=1,或養+x=1.2520252018. (12分)已知抛物线y2=6x，过点P(4,1)引一条弦RF2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.解设直线上任意一点坐标为(x,y),弦两端点F(X1,y1),F2(X2,y2).22P,P在抛物线上，二y1=6x1,y2=6x2.两式相减，得(y1+y2)(y1y2)=6(x1X2).y1y26v+y2=2,k='=3.X1X21+V直线的方程为y1=3(x4)，即3xy11=0.2y=6x,2由得y2y22=0,y=3x11,屮+v=2,y1y2

11、=22.|RR|=,1+9224X22=22xy19. (12分)已知椭圆方程为-+:=1,在椭圆上是否存在点Rx,y)到定点A(a,0)(其中0vav3)的距离的最小值为1,若存在，求出a的值及P点的坐标；若不存在，说明理由.解设存在点Rx,y)满足题设条件，则222|AP=(xa)+y.222xy2x又Ig+才=1，V=4(1§).222XIAp=(xa)+4(1百)59242=9(x5a)+45a.9/|x|w3,当|a|w3,又0<a<355242即0vaw3时，|Ap的最小值为45a.依题意，得4-第=1,已=±宁？0,3，当常>3,即5vav3

12、.53此时x=3,|AR2取最小值(3a)2.依题意，得(3a)=1,a=2.此时P点的坐标是(3,0).故当a=2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为(3,0).2220. (12分)已知椭圆C：笃+y2=1(a>b>0)，直线I为圆Ox2+y2=b2的一条切线，记ab椭圆C的离心率为e.n(1) 若直线l的倾斜角为&，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；3(2) 在(1)的条件下，设椭圆C的上顶点为A,左焦点为F,过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A,B,F三点的圆恰好与直线l:x+:3y+3=0相切，求椭圆C的方程.解(1) 如图，设直线l与圆O相切

13、于E点，椭圆C的右顶点为D,则由题意易知，OED为直角三角形，n且|0E=b,|0D=a,/ODE=,3IED=,|OD有*=2?e=|0耳2=C(C为椭圆C的半焦距)Cn1椭圆C的离心率e=cos=-.a32,.c1由知，訂2，可设a=2m(n>0)，贝Uc=mb=3m,22椭圆c的方程为4Xn+3m=i.A(0,73m,|AF|=2m直线AF的斜率kAF=3,/AFB=60°在RtAFB中，|FB|=1AF=4mcos/AFB B(3m,0)，设斜边FB的中点为Q则Qm,0),AFB为直角三角形，过A,B,F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q且半径为2m圆Q与直线I:x+_3

14、y+3=0相切，|mn3|门 =2m1+3Tm是大于0的常数，m=1.22故所求的椭圆C的方程为x+y=1.4321(12分)设椭圆C:倉+b=1(a>b>0)，抛物线C2：x2+by=b2.(1)若C2经过C的两个焦点，求C的离心率；AMIN勺设A(0,b),Q33,5b)，又MN为C与C2不在y轴上的两个交点，若垂心为B(0,4b)，且QMN勺重心在C2上，求椭圆C和抛物线C2的方程.解(1)由已知椭圆焦点(C,0)在抛物线上,可得c2=b2,由a2=b2+c2=2c2,18(2) 由题设可知MN关于y轴对称,设Mxi,yi),N(xi,yi)(xi>0),由厶AMN勺垂

15、心为B,亠23有BM-AN=0?x2+(yib)(yib)=0.4由点Nxi,yi)在抛物线上，xi+byi=b2,bb,4),故Xi=,M*b,解得yi=4，或yi=b(舍去)，得厶QMNt心坐标(,3,4).由重心在抛物线上得3+号=b2,b=2,M5,2),N,5,2),2i6又tMN在椭圆上，得a=,322椭圆方程为x6+y=i,3抛物线方程为x2+2y=4.22.(i2分)(20i0北京)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(一，2,0),C.2,0),离心率是-3,直线y=t与椭圆C交于不同的两点MN,以线段MN为直径作圆P,圆心为(1)求椭圆C的方程;若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；(3) 设Qx,y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值.解(1)字專，且c=W，a=.3b='.ac=1.2x2椭圆C的方程为-+y=1