高中《数学选修2-1》中一道教材习题的巧思妙解探究

1、高中数学选修2-1中一道教科书习题的巧思妙解探究求动点的轨迹方程问题是平面解析几何中一类比较重要的问题，它类型多样，方法灵活，既体现了数形结合的重要思想，又对平面几何的基础内容实行了更近一步的量的研究，是高中数学的难点，也是重点。本篇文章就人教A版数学选修2-1中的一道习题的解题方法实行探究，来反映此类题目的灵活性。题目：数学选修2-1P37,练习题3如图，已知点C的坐标是（2,2），过点C的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交与点B,设点M是线段AB的中点，求点M的轨迹方程。解法一（坐标参数法）：设点A,M的坐标分别为（t,O）,（x,y）（1）当t-2时，直线C

2、A斜率：kCA=°=22-12-1KCB二丄二kCA2由直线的点斜式方程得直线cB的方程为：y-2=t22（x-2）令x=0,得y=4-t,即点B的坐标为（0,4-t）因为点M是线段AB的中点，由中点坐标公式，得：x=-,y=口,由x=-得t=2x,代入=,得2222y=匸空即x+y-2=02（2）当t=2时，可得点A,B的坐标分别为（2,0）,（0,2）此时点M的坐标为（1,1）,它仍然适合方程由（1）（2）可知，方程是点M的轨迹方程，它表示一条直线。（此方法由老师教学用书P39提供，该方法用到了斜率公式及直线的点斜式方程，过程比较繁琐）方法二（k参数法）：（1）当直线AC斜率存有

3、时，设其为K（K=O）则BC斜率为-丄，且C（2,2）k二AC的方程为:y-2=k（x-2）令y=0,得A点坐标（2-,0）kBC方程为：y-2二-丄（x-2）令x=0,得B点坐标（0,2+-）kkTM为AB中点，设其坐标为（x,y）,贝Sx十丄x+y=2(x=1且y=1)y.1且k当AC斜率不存有时，则A的坐标为（2,0）,此时B的坐标为（0,2）二M点的坐标为（1,1）,满足方程二由（1）（2）可知，点M的轨迹方程为x+y-2=0方法三（向量法）：设M（x,y）,tM为AB中点且A在x轴上，B在y轴上二A坐标为（2x,0）,B坐标为（0,2y）CA-CBca=(2x-2,-2)，cb=(-

4、2鈿2)-CALcb=-2(2x-2)-2(2y-2)=0二x+y-2=0即为动点M的轨迹方程方法四（直接法圆的定义）：设M(x,y)VACBC,AO-BO点o,A,B,C四点共圆，且AB为其外接圆的直径VM为AB的中点M为该外接圆圆心|MO|=|MC|即x2y2二、.(x一2)2(y2)2x+y-2=0即为动点M的轨迹方程方法五(直接法直角三角形性质)：设M(x,y)VM为AB中点A(2x,0),B(0,2y)vACBCABC为Rr且CM为斜边AB边上的中线-|MC|=2|AB|，即(x-2)2(y-2)2=2化简可得：x+y-2=0x+y-2=0即为动点M的轨迹方程方法六(相关点法)：vA

5、在x轴上，B在y轴上.设A(Xi,o),B(0,y,M(x,y),vM为AB中点y2X=2xy2y12*1)(1)当AC斜率存有且不为0时，2vAC-BCkAcD<Bc二T,kAc=2-(x厂2)，2xkBC2一y222®2-x,2亠厂12-2x2x+y-2=0(x"1)当AC斜率不存有时，A(2,0),B(0,2)则M(1,1)，也满足方程二由(1)(2)可知，动点M的轨迹方程为：x+y-2=0方法七(极坐标法)：以0为极点，X非负半轴为极轴，创建极坐标系，则C（22,4）（1）2设M(匕日)，贝J：vABBC,AO丄BO点o,A,B,C四点共圆，且AB为其外接圆的

6、直径TM为AB的中点M为该外接圆圆心.r=|MC詔（22）2-J：L2cose一二）=2即：cos）sin二=2化为直角坐标可得：x+y-2=0解法八(参数方程法)：设AC的参数方程为：；I；幕;01为直线AC倾斜角，1为参数)x二2tcos设BC的参数方程为：y=2t：sin；W2为直线AC倾斜角，12为参数)则A(2t1cosJ,0),B(0,2t2sinJ),因为M是AB的中点，所以M(1t1cos二1“,1t2sinr22所以M点轨迹的参数方程为:因为yA=2t,sin十=0,Xb=2t2cosr2=0所以t,sinr=t2cosj，且ACBC，所以3=3ji+cosr2=COS（二,石)=卄皿2）=COST,21所以t,=-t2，所以tcos十=_t2sin丁2即t,cost2sinr2=0所以参数方程(1)可化为：x+y-2=0变式训练:过点P(1,5)作直线交x轴于点A,过点P(2,7)作直线PA勺垂线，交y轴于点B,点M在线段AB上，且BM:MA=