高中概率与统计复习知识点与题型

1、概率与统计知识点与题型3.1.1 随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：(1) 必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；(2) 不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；(3) 确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；(4) 随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；(5) 频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现nA的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=n为事件a出现的概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的

2、增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。(6) 频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n,它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3概率的基本性质1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若AnB为不可能事件，即AnB=e,那么称事件A与事件B互斥；(3) 若AnB为不可能事件，AUB为必然

3、事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；(4) 当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B);若事件A与B为对立事件，则AUB为必然事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)2、概率的基本性质：1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0，因此0<P(A)<1；2) 当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(AUB)=P(A)+P(B)；3) 若事件A与B为对立事件，则AUB为必然事件，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1,于是有P(A)=1P(B)；4) 互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同

4、时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 古典概型及随机数的产生1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。（2）古典概型的解题步骤； 求出总的基本事件数；A包含的基本事件数 求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=总的基本事件个数3.3.1 几何概型及均匀随机数的产生1、基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发

5、生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：构成事件A的区域长度（面积或体积）p（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；（1）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出现的可能性相等.一、随机变量1. 随机试验的结构应该是不确定的试验如果满足下述条件： 试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验2. 离散型随机变量：如果对

6、于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若E是一个随机变量，a,b是常数则ab也是一个随机变量一般地，若E是随机变量，f（x）是连续函数或单调函数，则f（）也是随机变量也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量设离散型随机变量E可能取的值为：X1,X2,xi,E取每一个值X1（i1,2,）的概率P（Xi）pi，则表称为随机变量E的概率分布，简称E的分布列.X1X2XiPp1p2pi有性质pi0,i1,2,;piP2Pi1.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：0,5即可以取05之间的一切数，包括整数、小数、无理数3二项

7、分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：P(Ek)C：pkqnk其中k0,1,n,q1p于是得到随机变量E的概率分布如下：我们称这样的随机变量E服从二项分布，记作B(np),其中n,p为参数，并记C：pkqnkb(k;np).二项分布的判断与应用 二项分布，实际是对n次独立重复试验关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布 当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列4.

8、几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(AJq，那么P(Ek)卩眞!AAk).根据相互独立事件的概率乘法分式：P(Ek)P(AjP(A2)P(Ak1)P(Ak)qk1p(k1,2,3,)于是得到随机变量E的概率分布列123kPqqp2qpk1qp我们称E服从几何分布，并记g(k,p)qk1p，其中q1p.k1,2,35超几何分布：一批产品共有N件，其中有M(MvN)件次品，今抽取n(1nN)件，则其中的次品数E是一离散型随机变量，分布列为knkP(Ek)CMCnNM(0cNkM,0nkNM).分子是从M件次品中取k

9、件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定mvr时Cmr0，则k的范围可以写为k=0,1,n.超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取门件(Knwa+b,则次品数E的knk分布列为P(Ek)CaCnbk0,1,n.Cab超几何分布与二项分布的关系设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数E服从超几何分布若放回式抽取,则其中次品数的分布列可如下求得：把ab个产品编号，则抽取n次共有(ab)n个可能结果，等可能：kknka(nk)含Ckakbnk个结果，故p(nk)cn(a)k(1a)nk,k0,1,2,n，即B(n).我们(ab)ababab先

10、为k个次品选定位置，共ck种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(Ek)P(nk),因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为X1X2XiPp1p2pi则称EXiPiX2P2Xnpn为E的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平2随机变量ab的数学期望：EE(ab)aEb 当a0时，E(b)b，即常数的数学期望就是这个常数本身 当a1时，E(b)Eb，即随机变量E与常数之和的期望等于E的期望与

11、这个常数的和 当b0时，E(a)aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积单点分布:两点分布:Ec1c其分布列为：P(1)c.E0q1pP，其分布列为：(p+q=1)E01Pqp二项分布：ek丄pkqnknp其分布列为B(n,p).(P为发生的概率)k!(nk)!几何分布：E1其分布列为q(k,p).(P为发生的概率)p3.方差、标准差的定义当已知随机变量E的分布列为P(Xk)Pk(k1,2,)时，则称(XnE邙“为E的方差.显然D0,故.D.为E的根方差或标准差随机变量E的方差与标准差都反映了随机变量E取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动越小.4

12、方差的性质.随机变量b的方差D()D(ab)a2D.(a、b均为常数)单点分布:0其分布列为P(1)P两点分布:pq其分布列为:E01Pqp二项分布:npq几何分布:5. 期望与方差的关系如果E和E都存在，则E()设E和是互相独立的两个随机变量，则E(E,D()DD期望与方差的转化：DE2(E)2E(E()E(E)(因为E为一常数)EE0.三、正态分布.1密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量E落在任一区间a,b)内的概率等于它与x轴.直线Xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)的曲线叫E的密度曲线，以其作为图像的函数f(x)叫做E的密度函数，由于“(x轴上方,是必然事件，故密度曲

13、线与x轴所夹部分面积等于1.2.正态分布与正态曲线:如果随机变量E的概率密度为：f(x)(x)21厂e2.(xR,为常数，且0)，称E服从参数为曲线简称为正态曲线.的正态分布，用N(,2)表示.f(x)的表达式可简记为N(,2)，它的密度正态分布的期望与方差：若N(,2)，则E的期望与方差分别为：E,D正态曲线的性质. 曲线在x轴上方，与x轴不相交. 曲线关于直线x对称.中间高、两边低”的钟形 当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出曲线.x轴为渐近 当xV时，曲线上升；当x>时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以线，向x轴无限的靠近越小，曲线越瘦

14、 当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖”表示总体的分布越分散;高”，表示总体的分布越集中3标准正态分布：如果随机变量E的概率函数为（x）x21-y=e2(x),贝y称E服从标准正态分布即N(0,1)有(x)P(x),(x)1(x)求出，而P（avEb的计算则是P（ab)(b)(a).注意：当标准正态分布的（x）的X取0时，有（x）0.5当（x）的X取大于0的数时，有（x）0.5.比如）0.07930.5则05必然小于0，如图.正态分布与标准正态分布间的关系：若N（,2）则E的分布函数通常用F（x）表示，且有P（Ex)F(x)(T习题1.6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是

15、1A.12C.2有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概率是2A.45B.2157D.153甲乙两人独立的解同一道题，甲乙解对的概率分别是P!,P2，那么至少有1人解对的概率A.P1P2B.P1P2C.1P1P2D.1(1P1)(1P2)4从数字1,2,3,4,5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率()1A.-52B.53C.54D.-55.有2n个数字,其中一半是奇，一半是偶数，从中任取两个数,则所取的两数之和为偶数的概率是B、12nn1D、一2n16有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学生，恰好是2名男生或2名女生

16、的概率是()2A.45P箱移到Q箱，再从Q箱返回P箱中的概率等于1()1913A.B.C.D.-51001005C92/C103乘以C92/C103从Q箱中随意取出3个球放入P箱，则红球从16，18，20，B=11，13,&已知集合A=12，14,15，17，19，在A中任取一个元素2 71B.C.D.151537已知P箱中有红球1个，白球9个，Q箱中有白球7个，（P、Q箱中所有的球除颜色外完全相同）现随意从P箱中取出3个球放入Q箱，将Q箱中的球充分搅匀后，再用ai（i=1，2，3，4，5）表示，在B中任取一个元素用bj（j=1，2，3，4，5）表示，则所取两数满足ai>bi的概

17、率为（）3 311A、B、C、D、一4 5259在圆周上有10个等分点，以这些点为顶点，每3个点可以构成一个三角形，如果随机选择3个点，刚好构成直角三角形的概率是（）直径有5个1111A.B.-C.-D.-43253个次品全部被抽10. 已知10个产品中有3个次品，现从其中抽出若干个产品，要使这出的概率不小于，则至少应抽出产品11. 甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是（）B、0.52C、12. 某小组有三名女生，两名男生，现从这个小组中任意选出一名组长，则其中一名女生小丽当选为组长的概率是13. 掷两枚骰子，出现

18、点数之和为3的概率是14. 某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是15我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如下表所示:年降水量/mm100,150)150,200)200,250)250,300概率则年降水量在200,300(m,m)范围内的概率是S16、向面积为S的厶ABC内任投一点卩，则厶PBC的面积小于一的概率是。217、有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为18、在等腰RtABC中，在斜边AB上任取一点M，则AM的长小于AC的长的概率为19甲、乙两名篮球运动员

19、，投篮的命中率分别为与.(1) 如果每人投篮一次，求甲、乙两人至少有一人进球的概率；(2) 如果每人投篮三次，求甲投进2球且乙投进1球的概率.20.加工某种零件需要经过四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分别为9 876、，且各道工序互不影响10 987(1)求该种零件的合格率(2)从加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率(3) 假设某人依次抽取4件加工好的零件检查，求恰好连续2次抽到合格品的概率(用最简分数表示结果)21.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为&、n，£和n的分布列如下：£012n012P613

20、P5321101010101010则比较两名工人的技术水平的高低为思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小22.某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为12345P商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.(I)求事件A:“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)；(H)求的分布列及期望E.参考答案:1-5、BDDBC6-11、CBBBCD112.-513.1814.2715.16、17、1018-2219:解：设甲投中的事件记为A，乙投中的事件记为(1)所求事件的概率为: