高中不等式所有知识及典型例题(超全)

1、不等式的性质：不等式大小比较的常用方法：1 作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2. 作商（常用于分数指数幕的代数式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7.寻找中间量或放缩法；8.图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三. 重要不等式1.(1)若a,bR，贝Ua2b2_2ab(2)若a,b：=R，贝Uab<（当且仅当a=b时取“=”）72.(1)若a,bR*，则.ab(2)若a,bR*，则ab_2：ab(当且仅当a二b时取“二”)2（3）若a,bR*，则ab"：空"（当且仅当a二b时取“二”）&qu

2、ot;I2丿13. 若xaO，则x+丄32（当且仅当x=1时取“=”）；x若x：0，则X-<-2（当且仅当x=-1时取“二”）X若x式0，则x畠2即x+1启2或x+丄兰-2（当且仅当a=b时取“=”）XXX若ab0，则旦b2（当且仅当a=b时取“二”）ba若ab=0，贝U旦十bA2即aX2或-<-2bababa（当且仅当a二b时取“二”）224. 若a,bR，则（ab）2昇L（当且仅当a=b时取“二”）22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.（2）求最值的条件“一正，二定，三取等

3、”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.5. a3+b3+c3>3abc（a,b,cR+）,3abc（当且仅当a=b=c时取等号）；1,6. n（a1+a2+an）>na1a2an（aR+,i=1,2,，n），当且仅当a1=a2=an取等号；亠、222a+b2+a+b+c3+a+bcb.(0<a<b)变式：a+b+cab+bc+ca;abc()(a,bR);abc<(3)(a,b,c'R)7浓度不等式：<<+,a>b>n>0,m>0;a-naa+m''

4、;'a<a+bcabc2应用一：求最值(2)y=x+X例1:求下列函数的值域（1）y=3x2+2=解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x，求函数y=4x_2-的最大值。44x5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当L匚一：匚£时，求y=x(8_2x)的最大值。2技巧三：分离例3.求、上7x10(x1)的值域。x+1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x+1,化简原式在分离求最值。22(t-1)-7(t-1)+10t5t4丄4y=t-5ttt当1,即t=i时，y_2.t=9(当t=2即x=1时取“=”号)

5、。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(xxa的单x2调性。例：求函数y=x5的值域。解：令，x24二t(t_2)，则y=x5_=/x2.4亠_!=t(t_2)11因t0,t1=1，但tJ解得t=_1不在区间(2：，故等号不成立，考虑单调性。tt因为y=t1在区间1,二单调递增，所以在其子区间2,二为单调递增函数，故y彳。所以，所求函数的值域为5,；。IL22已知0：x1，求函数y二x(1-x)的最大值.；3.o：X：2，求函数y二、,x(2-3x)的最大值.3条件求最值1.若实数满足a2，则3a'3b的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程

6、，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是正数，3a-3b>2.3a3b=2、3ab=6当3a=3b时等号成立，由a，b=2及3a=3b得a=b=1即当a=b=1时，3a'3b的最小值是6.11变式：若log4xlog4y=2，求的最小值.并求x,y的值xy否则就会出错技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性,192:已知x0,y0,且一xy=1，求xy的最小值。2x2+y21,求x1+y2的最大值.a2+b2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<技巧七、已知x,y为正实数,1同时还应化简.1+y2中y2

7、前面的系数为1,x1+y2-2F面将x.a2+与分别看成两个因式:x2+（：；2+:）24即x1+y2ia,b为正实数，2b+ab+a30,求函数y晶的最小值分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。技巧八：已知法-：a-當，302babb22b2+30bb+1由a>0得，0vbv15令t=b+1,1vtv16,ab-2t2+34t312(t+&

8、#165;)+34vt+琴>2t1t68ab<181.y>y1830aba+2b则u2+22u30W0,当且仅当t=4,即b=3,a=6时，等号成立。a+2b>22ab30-ab>22ab52u<32法二：由已知得：令u=、/abab<32,ab<18,二18点评：本题考查不等式-一_.ab（a,b，R）的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知2不等式aa2b30（a,bR）出发求得ab的范围，关键是寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等式以一ab（a,R），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.2变式：1.已知a>0

9、,b>0,ab（a+b）1,求a+b的最小值。2若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x,y为正实数，3x+2y10,求函数W3x+'.2y的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a+b,本题很简单3x+2y<2''C3x_)2+厂2y)2=23x+2y=25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W>0,W23x+2y+23x2y=10+23x2y<10+(,3x)2(.2y)2=10+(3x+2y)=20W<20=25应用二：利

10、用基本不等式证明不等式1.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca1) 正数a，b，c满足a+b+c=1，求证:(1a)(1b)(1c)>8abc丄ViYi例6：已知a、b、cR，且a，b，c=1。求证：i-1i-1i-1-8laAbAc丿分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又仁匕_土，可由此变形入手。aaaa解：ta、b、cR，abc=1。.丄一“口二一涯。同理_1一涯，丄一1一逅。aaaabbcc上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1-11-11一1_竺竺空涯=8。当且仅当a=b=c=】时取等号。abcab3应用

11、三：基本不等式与恒成立问题19例：已知x0,y0且一一=1，求使不等式xy一m恒成立的实数m的取值范围。xy19,xy9x9y,10y9x,解：令xy=k,x0,y0,1，1.1xykxkykkxky.1-10一23。.k-16，m-,161kk应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若ab1,P=lgalgb,Q二1(lgalgb),R=lg(空b)，则P,Q,R的大小关系是_2 21.分析：ab1lga0,lgb0Q(lgalgb)lgalgb=p2a亠b1R=lg()lg、ablgab二Q二R>Q22四. 不等式的解法.1一元一次不等式的解法。2元二次不等式的解法3简单的一元高次不

12、等式的解法：标根法：其步骤是：(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；(3)根据曲线显现f(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。如(1) 解不等式(x1)(x2)2_0。(答:x|x豹或X=2)；(2) 不等式(x2)Jx22x3H0的解集是(答：x|x3或x=1)；(3) 设函数f(x)、g(x)的定义域都是R，且f(x)_0的解集为x|1_x：2，g(x)_0的解集为0，则不等式f(x)L|g(x)：>0的解集为(答:(=,1)U2如)；(4) 要使满足关于x

13、的不等式2x2-9x：0(解集非空)的每一个x的值至少满足不等式x2-4x+3c0和x2-6x+8c0中的一个，则实数a的取值范围是.(答:7,81)84分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如(1) 解不等式享x1x2-2x-3(答：(1,1)U(2,3);(2) 关于x的不等式ax-b0的解集为(1：)，贝U关于x的不等式竺卫0的解集为x-2(答：(皿，-1)U(2,址).5. 指数和对数不等式。6. 绝对值不等式的解法：

14、(1) 含绝对值的不等式|x|va与|x|>a的解集(2) |ax+b|<c(c>0)和|ax+b|>c(c>0)型不等式的解法 |ax+b|<c=-c<ax+bwc; |ax+b|>c=ax+b>c或ax+b<-c.(3) |x-a|+|x-b|>c(c>0)和|x-a|+|x-b|wc(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例1:解

15、下列不等式：(1).x2-2x>x(2).A<<2x【解析】：(1)解法一(公式法)11原不等式等价于x2-2x>x或x2-2x<-x解得x>3或x<0或0<x<1原不等式的解集为x|x<0或0<x<1或x>3I解法2（数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的解集为x|x<0或0<x<1或x>3IIIrIIIII1第（1）题图第（2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为x|x2或x<-3,结果一目了然例2:解不等式：|x|一

16、丄x丄【解析】作出函数f（x）=|x|和函数g（x）=x的易知解集为（一：,0）-1，+：）图象,3解不等式.|x+1|x-1岸一例3:2【解法1】令-2(-1)g(x)=|x1|-|x-1|二2x(-1_x-1)2(x>1)3令""分别作出函数g（x）和h（x）的图象，知原不等式的解集为【解法2】原不等式等价于令T叫心3|x1|x-1|3|x1|-|x-1|_2的解集为分别作出函数g(x)和h(x)的图象，易求出g(x)和h(x)的图象的交点坐标为所以不等式3|x+1|x1|±二【解法3】由2的几何意义可设F1(l,0),F2(l,0),M(x,y),3它

17、MR-MF2=若2，可知M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为(JO),11由双曲线的图象和Ix+1|x-1-知x>1.7含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键.”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集如22(1) 若loga-<1，则a的取值范围是(答：a>1或Ocac);3 32(2) 解不等式旦x(aR)ax111(答:a=0时，x|x：O；aO时，x|x或x：0;aO时，x|x：0或x：0)aa提醒：(1)解不等式是求不等

18、式的解集，最后务必有集合的形式表示；(2)不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式ax-b0的解集为(虫,1)，则不等式上2。的解集为(答：(一1,2)ax+b五. 绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b|<|a|+|b|,当且仅当ab>0时，等号成立。注：(1)绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a,b不共线时，|a+b|<|a|+|b|,它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。(2)不等式|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|中“二”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|<

19、|a+b|< |a|+|b|，在侧“二”成立的条件是ab>0,左侧“二”成立的条件是ab<0且|a|>|b|;不等式|a|-|b|< |a-b|<|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab<0,左侧“=”成立的条件是ab>0且|a|>|b|。定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|<|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。例1.已知名>0,xa|vs,yb£&，求证2x3y-2a3b：5.例2.(1)求函数y=|x-3-x+1的最大和最小值;设aR，函数fx二ax2xa(1乞x乞1

20、).若a兰1，求|fx）的最大值例3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？六.柯西不等式（a+a2p+anbn$兰（a；+a；+a；価2+b；+b汀鮎亡R,i=1,2n）等号当且仅当a1=a2=an=0或bkai时成立（k为常数，i=1,2n）类型一：利用柯西不等式求最值1求函数-二的最大值一:且102沱0，函数的定义域为XE14,且沱0，y=技+屈毎7<+（X=6屯_1

21、3;即时函数取最大值，最大值为一；二:vx-l>0且10-2x>0,函数的定义域为由'127得1-u即1：一一丄.一<1.，解得=127-'时函数取最大值，最大值为-,当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解类型二：利用柯西不等式证明不等式2229>2设-!、；、】为正数且各不相等，求证:a+bb+c卍+ma+b+c>(1+1+1)2=9;2S+B+f)(+)-(2+i)+(i+c)+(c+)a+bb+cc+aa+bb+cc+a又丄、1各不相等，故等号不能成立2229HF>一：I1II：-：./：o类型三：柯西不等式在几何上的应用6.AB

22、C的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证:宀八尙+尙+隹)w证明：由三角形中的正弦定理得一二，所以一匸“，/1_4R21_4Aa同理，上T-于是左边=(/+护+c3XL-+-L-+>36撐-。七证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差(商)后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：丄-1-nn+1n(n+1)nn(n1)n-1nJk+1=3=<£-；=長-Jk+1+Vk2血VF+Vk如(1)已知abc，求证：a2b-b2cc2a-ab2bc2ca2;(2)已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a2_abc(abc);AA已知er，且-，xy，求证:若a、b、c是不全相等的正数，求证：©吁lg专飞宁lgalgblgc；(5) 已知a,b,cR，求证：a2b2b2c2c2a2_abc(abc);若nN*，求证：（n1）21-（n1）：,n21-n;已知|a|-|b|，求证：冒即*冒晋；(8)求证：111|丄：2。2232n2八不等式的恒成立，能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？(常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利