概统第9.2~9.5节 正态总体假设检验

1、9.2 9.2 正态总体的参数检验正态总体的参数检验拒绝域的推导拒绝域的推导设 X N ( 2)，2 已知，需检验：H0 : 0 ； H1 : 0构造统计量 ) 1 , 0(0NnXU给定显著性水平与样本值(x1,x2,xn )一个正态总体一个正态总体（1 1）关于）关于 的检验的检验P(拒绝H0|H0为真)0H0H)(00kXP)(00kXPH)(00nknXPH)(200ZnXPHnZk2取所以本检验的拒绝域为0：2zU U 检验法 0 0 0 0 02zU zUzU U U 检验法检验法 ( 2 2 已知已知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域) 1 ,

2、0(0NnXU 0 0 0 02tT 0tT tT) 1(0ntnSXTT T 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域例例1 1 设某砖厂生产的砖的抗断强度，设某砖厂生产的砖的抗断强度， 某天从该厂生产的砖中某天从该厂生产的砖中随机抽取随机抽取6 6块，测得抗断强度如下（单块，测得抗断强度如下（单位：位：kg/cm kg/cm ）：）： 32.56 29.66 32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.0331.64 30.00 31.87 31.03检验这天该厂生产的砖的平均抗断强度检验这天该厂生产的砖的

3、平均抗断强度是否仍为是否仍为32.50(kg/cm )32.50(kg/cm )？（取显著？（取显著性水平性水平 ）)21. 1,50.32( NX2205. 0 H0 : =32.5 ； H1 : 32.5 由 已知, 故选检验统计量:对 查表得, ， 故拒绝 , 砖的强度不为32.50（kg/cm )05. 096. 12u由样本值算得， ，于是0H，296. 105. 36/1 . 150.3213.31uU13.31x2解解 根据题意检验假设可设为) 1 , 0(/0NnXU例例2 2 某厂生产小型马达, 说明书上写着: 这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8 安培. 现随

4、机抽取16台马达试验, 求得平均消耗电流为0.92安培, 消耗电流的标准差为0.32安培. 假设马达所消耗的电流服从正态分布, 取显著性水平为 = 0.05, 问根据这个样本, 能否否定厂方的断言?解解 根据题意待检假设可设为 H0 : 0.8 ； H1 : 0.8 未知, 故选检验统计量:(15)/ 16XTTS查表得 t0.05(15) = 1.753, 故拒绝域为753. 1/8 . 0nsx94. 0432. 0753. 18 . 0 x现94. 092. 0 x故接受原假设, 即不能否定厂方断言.解二解二 H0 : 0.8 ； H1 : 4.40943. 1)6(t)6() 1(/0

5、tntnSXt)6(943. 1646. 27/11. 040. 451. 405. 0tt 对 查表得， ，05. 0,而1H接受 ，铁水含碳量有显著提高。解解 根据题意检验假设可设为 2 02 2 02)(22n 2 02) 1(22n 2 0.00040. 此时可采用效果相同的单边假设检验 H0 : 2 =0.00040 ；H1 : 2 0.00040. 取统计量) 1() 1(22022nSn拒绝域 0：220.05(24)36.415415.366 .3900040. 000066. 02420落在0内, 故拒绝H0. 即改革后的方差显著大于改革前, 因此下一步的改革应朝相反方向进行

6、. 在例1中，以显著性水平 检验这天该厂生产的砖的抗断强度的标准差是否为 ？ 例例5 5 ,1 . 0)/( 1 . 12cmkg解解 根据题目要求，本题检验假设为根据题目要求，本题检验假设为0H1 . 11 . 110：；：HH由由 已知，则取统计量为已知，则取统计量为)6()()1222061202nXii（在在 成立时，成立时， 所以，拒绝所以，拒绝 ，接受，接受 . .于是于是由样本值，得由样本值，得1H0H),6(6 .1222/256.14)12061202iiX（从而这天该厂生产的砖的抗断强度从而这天该厂生产的砖的抗断强度的标准差不能认为是的标准差不能认为是 . . )/( 1

7、. 12cmkg例 自动车床加工某种零件，其直径 （单位： ）服从正态分布， 要求 .某天开工后，随机抽取30件,算得样本方差为 ，检验这天加工的零件是否符合要求? (取显著性水平 ） X),(2NX09. 021344. 02s05. 0mm解解 根根拒据题目要求，本题检验假设为据题目要求，本题检验假设为 H0 : 2 =0.09 ；H1 : 2 0.09. 由由 未知，则取统计量为未知，则取统计量为 例例6 6 )29() 1() 1(222022nSn拒绝域为) 1(6 .433 .4309. 01344. 02922n, 6 .42)29() 1(205. 022n1H0H由样本值算得

8、所以，拒绝 ，接受 .即认为零件直径的方差大于0.09，不符合要求。 设 X N ( 1 1 2 ), Y N ( 2 2 2 ) 两样本 X , Y 相互独立, 样本 (X1, X2 , Xn ), ( Y1, Y2 , Ym ) 样本值 ( x1, x2 , xn ), ( y1, y2 , ym )显著性水平 两个正态总体两个正态总体1 2 = ( 12，22 已知) 1 , 0(2221NmnYXU2zU zU (1) (1) 关于均值差关于均值差 1 1 2 2 的检验的检验zU1 2 1 2 1 2 1 2 原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1 2 =

9、 2tT 1 2 1 2 1 2 1 2 tT tT)2(11mnTSmnYXTw2) 1() 1(2221mnSmSnSw其中12, 22未知12 = 22原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域 12 = 22 12 22 12 22 12 22 12 22 12 22) 1, 1(mnFF) 1, 1(1mnFF(2) (2) 关于方差比关于方差比 1 12 2 / / 2 22 2 的检验的检验) 1, 1(2mnFF或) 1, 1(21mnFF1, 2) 1, 1(2221mnFSSF 均未知原假设 H0备择假设 H1检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域例例

10、7 7两种工艺下纺的细纱的强力两种工艺下纺的细纱的强力 与与 都都服从正态分布，且服从正态分布，且 ， . .各抽各抽取容量为取容量为5050的样本的样本, ,算得算得 ， . .问两种工艺下纺的细纱的强力有无明显差问两种工艺下纺的细纱的强力有无明显差异？（取显著性水平异？（取显著性水平 ）解解 由题意，检验假设为由题意，检验假设为由由 ， 已知已知,取统计量取统计量XY2214x224y280 x286y05. 0yxyxH；：02x2yyyxxnnYXU22所以所以, ,拒绝拒绝 , ,接受接受 , ,即两种工艺下即两种工艺下纺的细纱的强力有明显差异。纺的细纱的强力有明显差异。 在在 成立

11、时，成立时， .对显著性水平对显著性水平 , ,查表得查表得由样本值得由样本值得于是于是0H) 1, 0( NU05.096. 12/u07. 25015501428628022U.96. 107. 22/uU1H0H例例8 8 某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，某灯泡厂在采用一项新工艺的前后，分别抽取分别抽取1010个灯泡进行寿命试验。计算得个灯泡进行寿命试验。计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460(2460(h h) )，样本标准差为，样本标准差为56(56(h h); ); 采用新工采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为艺后灯泡寿命的样本均值为25

12、50(2550(h h) )， 样样本标准差为本标准差为48(48(h h) )。设灯泡的寿命服从正态。设灯泡的寿命服从正态分布，问由此是否可以认为采用新工艺后分布，问由此是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高？（取显著性灯泡的平均寿命有显著提高？（取显著性水平水平 , ,假定采用新工艺前、后灯泡假定采用新工艺前、后灯泡寿命的方差不变，这将在后面进行检验）寿命的方差不变，这将在后面进行检验） 01.0解解检验假设为检验假设为 设采用新工艺前、后的灯泡寿命分别设采用新工艺前、后的灯泡寿命分别 用用 , 表示表示 .由 及 未知，但 已知取统计量其中),(2xxNX),(2yyNYyxy

13、xH；：02x2y22yxyxnnSYXT11w2)1()1(22yxyyxxnnSnSnSw 在 时，对显著性水平对显著性水平 , ,查表得查表得由样本值得由样本值得于是，于是，所以，拒绝所以，拒绝 ，接受，接受 ，即采用新工，即采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高。艺后灯泡的平均寿命有显著提高。 0H)18()2(tnntTyx01.055. 2)18(t.86. 3101101184895692550246022T).18(55. 286. 3tT1H0H例例9 9 杜鹃总是把蛋生在别的鸟巢中,现从两种鸟巢中得到杜鹃蛋24个.其中9个来自一种鸟巢, 15个来自另一种鸟巢, 测得杜鹃蛋的长

14、度(mm)如下:m = 155689. 012.2122sy19.8 20.0 20.3 20.8 20.9 20.9 21.0 21.0 21.0 21.2 21.5 22.0 22.0 22.1 22.3n = 94225. 020.2221sx21.2 21.6 21.9 22.0 22.022.2 22.8 22.9 23.2 试判别两个样本均值的差异是仅由随机因素造成的还是与来自不同的鸟巢有关 ( ).05. 0解解 H0 : 1 = 2 ； H1 : 1 2 取统计量) 2(11mnTSmnYXTw718. 02) 1() 1(2221mnSmSnSw拒绝域 0：074. 2)22

15、(025. 0tT074. 2568. 30T统计量值 . 落在0内,拒绝H0 即蛋的长度与不同鸟巢有关.例例1010 假设机器 A 和 B 都生产钢管, 要检验 A 和 B 生产的钢管内径的稳定程度. 设它们生产的钢管内径分别为 X 和 Y , 且都服从正态分布 X N (1, 12) , Y N (2, 22) 现从机器 A和 B生产的钢管中各抽出18 根和13 根, 测得 s12 = 0.34, s22 = 0.29, 设两样本相互独立. 问是否能认为两台机器生产的钢管内径的稳定程度相同? ( 取 = 0.1 )解解设 H0 : 12 = 22 ；H1 : 12 22 查表得 F0.05

16、( 17, 12 ) = 2.59,42. 038. 21)17,12(105. 0F2212/( 17, 12 )SSFF0.95( 17, 12 ) = 拒绝域为:59. 22221SS或42. 02221SS由给定值算得:17. 129. 034. 02221ss落在拒绝域外,故接受原假设, 即认为内径的稳定程度相同.接受域置信区间1假设检验区间估计统计量 枢轴量对偶关系同一函数假设检验与区间估计的联系假设检验与区间估计的联系 假设检验与置信区间对照假设检验与置信区间对照),(22nzxnzx20znx接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布 0 0（ 2 已知) 1

17、 , 0 (0NnXU（ 2 已知) 1 , 0 (0NnXU原假设 H0备择假设 H1待估参数接受域置信区间检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 0 0（ 2未知）) 1(0nTnSXT（ 2未知）) 1(0nTnSXT)2nstx20tnsx,(2nstx接受域置信区间) 1() 1(,) 1() 1(2122222nsnnsn22202221) 1(Sn检验统计量及其在H0为真时的分布枢轴量及其分布原假设 H0备择假设 H1待估参数 2 02 2= 02 2(未知) 1() 1(22022nSn(未知) 1() 1(22022nSn例例11 1

18、1 新设计的某种化学天平，其测量误差服从正态分布, 现要求 99.7% 的测量误差不超过 0.1mg , 即要求 3 0.1.现拿它与标准天平相比，得10个误差数据，其样本方差s2 =0.0009. 解一解一H0: 1/30 ；H1: 1/30 试问在 = 0.05 的水平上能否认为满足设计要求？)9(922022S拒绝域： 未知, 故选检验统计量919.16) 9 (900/ 19205. 022S919.1629. 7900/1922S现故接受原假设, 即认为满足设计要求.解二解二 2的单侧置信区间为)0024. 0, 0()325. 30081. 0, 0() 1() 1(, 0(212

19、nSnH0中的0024. 00011. 09001202满足设计要求.则H0 成立, 从而接受原假设 , 即认为样本容量的选取 虽然当样本容量 n 固定时, 我们不能同时控制犯两类错误的概率, 但可以适当选取 n 的值, 使犯取伪错误的概率 控制在预先给定的限度内.样本容量 n 满足 如下公式：/)(zzn单边检验/)(2zzn双边检验右边检验)(zn0左边检验)(z双边检验1)()(22zz其 中U 检验法中检验法中 的计算公式的计算公式例例1212(产品质量抽检方案)设有一大批产品其质量指标 ,以 小2(,)XN 者为佳. 对要实行的验收方案厂方要求厂方要求: 对高质量的产品 能0()客户要求客户要求: 对低质量产品 能0()以高概率 为客户所接受；(1)以高概率 被拒绝.(1)问应怎