系统动力学课程

1、1 MATLAB/SIMULINK 简介实例一、垂向动力学2MATLAB 简介MATLAB 是什么？MATLAB是由美国MathWorks公司开发的一种进行科学和工程计算的交互式软件包。它起源于20世纪70年代的 “矩阵实验室”（Matrix Laboratory）。随着软件版本的不断更新，目前已发展到7.0(Release 14.0)版本，其功能已涵盖到了诸如一般数值运算、数字信号处理、系统识别、自动控制、优化设计、神经网络、化学、统计学等各个学科和工程应用领域。MATLAB的功能主要是由各种工具箱 (Toolbox) 来实现的，其核心工具箱可分为两类：即功能性工具箱和学科性工具箱。 3MA

2、TLAB 简介功能性工具箱可应用于多学科，主要可用来扩充其符号计算功能，如符号计算工具箱（Symbolic Math Toolbox）、图形建模仿真功能、文字处理功能，甚至还发展到可以实现硬件实时交互功能，如Real time workshop工具箱。而学科性工具箱专业性较强，如控制系统工具箱（Control System Toolbox）、优化工具箱（Optimization Toolbox）、信号处理工具箱（Signal Processing Toolbox）、系统识别工具箱（System Identification Toolbox）等，这些工具箱都是由该领域的专业人员编写的，针对自己的

3、研究问题，用户可方便地选择使用。4MATLAB 简介通过MATLAB提供的交互式编程语言M语言，用户还可以编写脚本或函数文件实现用户自己的算法。与C和Basic等语言相比较，M语言的特点是简洁直观、更符合人们思维习惯。 5MATLAB 简介The Impact of MATLAB on Engineering and Science 6MATLAB 简介nData Access nData AnalysisnVisualization nNumerical ComputationnAlgorithm DevelopmentnApplication DevelopmentnDeployment

4、and Sharing Results7SIMULINK 简介8SIMULINK 简介Inside Todays Technology Explosion:Embedded Control and Signal Processing9SIMULINK 简介Model elaborationDesignImplementationRequirements and SpecsTest and VerificationContinuous verificationExecutable models-unambiguous-only “one truth”Automatic code generati

5、on-minimizes coding errors Test with Design - detects errors earlierSimulation-reduces “real” prototypes-systematic “what-if” analysisDC10SIMULINK 简介Model-Based Design with Simulink11SIMULINK 简介Simulink是基于MATLAB的图形设计环境，主要用来实现对工程问题的模型化和动态仿真，它的建模范围广泛，可以针对任何能够用数学来描述的系统进行建模。凭借MATLAB在科学计算和作图方面的优势，Simulin

6、k的应用范围覆盖了动力学系统、信号控制、通信设计、金融财会及生物医学等各个领域，可以弥补传统设计和开发工具的不足。在Simulink中，只要有了正确的动力学模型，即可在图形界面中采用鼠标拖放的方法建立起直观的仿真模型进行仿真分析。 12大家在对随后将要进行的关于车辆动力学的建模与分析的三个应用实例的学习过程中，将会逐渐掌握MATLAB/Simulink的用法和特点。13练习一 主动悬架LQG最优控制设计 14所需步骤1. 模型建立写出垂向运动微分方程路面输入模型2. 线性随机最优控制理论的应用确立性能加权函数 采用 LQG 算法来得到最优控制逻辑，即状态反馈 K=?3. 进行仿真Simulin

7、k 模型LSIM (Matlab 下)J151. 车辆悬架建模（被动部分）对于如图所示的一个1/4车辆模型，首先建立运动微分方程：()bbsbwm xKxx ()()w wsbwtgwm xK xxK xxxAxBuyCxDu状态空间（State-Space）形式16Concept of Vibration ModesConsider a 1-DOF mass-spring-damping model:mkczFmzczkzFEquation of motion:Implement the Laplace transform:2() ( )( )mscsk Z sF s17Concept of

8、 Vibration Modes2( )1( )( )Z sHsF smscskSo,If consider H(s) in the standard form:222( )2nnnHsssTherefore,2nkcmm k(*)18Two Ride ModesBody Bounce Mode11 Hz 2()sussssusk kfm kkWheel Hop Mode110 Hz 2susususkkfm1010susussmmkkfor a typical passenger car:19路面输入模型为：)(2)(2)(000twUGtxftxgg上式表明，路面位移可以表示为一随机滤波白

9、噪声信号。这种表示方式来源于试验所测得的路面不平度功率谱密度（PSD）曲线的形状。其中， 为下截止频率， ; 为路面不平度系数， ; 为前进车速， ; 为均值为零的随机输入单位白噪声。0f0G0UwHz3/mcycle/secm1. 车辆悬架建模（被动部分）20我们若选取状态变量为：TbwbwgXxxxxx则可将系统运动方程及路面激励写成状态空间矩阵形式，即：XAXFW其中，A 为状态矩阵，F 为输入矩阵，其值如下：AKmKmKmKKmKmfsbsbswtswtw000001000001000000020FGU00002001. 车辆悬架建模（被动部分）21为高斯白噪声输入矩阵。 ( )Ww

10、t若我们将车身加速度、轮胎动变形、悬架动行程作为性能指标，即：. :. . :. . :bwgbwBA xDTD xxSWS xxConcerned Performance Items are:, (), ()TbwgbwYxxxxx1. 车辆悬架建模（被动部分）22则我们可以将性能指标项写为状态变量以及输入信号的线性组合形式，即：YC X 为输出矩阵：0 0/00 00110 0110sbsbkMkMCCAKmKmKmKKmKmfsbsbswtswtw000001000001000000020TbwbwgXxxxxx1. 车辆悬架建模（被动部分）23根据前面所列出的描述系统运动过程的状态矩阵

11、形式 ，XAXFWYCX可在SIMULINK环境下建立相应的仿真模型。建模中，路面随机白噪声可以用“随机数产生器（Random Number)”或者“有限带宽白噪声（Band-Limited White Noise)”来生成；状态矩阵输入到“State-Space” 模块中去。Band-LimitedWhite Noise1RandomNumber建立好的模型如下图所示：x = Ax+Bu y = Cx+DuState-Space1. 车辆悬架建模（被动部分）24x = Ax+Bu y = Cx+DuState-SpaceSWS.DTD.Band-LimitedWhite NoiseAccel

12、.在噪声产生模块中，随机信号的方差为单位值。1. 车辆悬架建模（被动部分）251. 车辆悬架建模（主动部分）()()()b bswbw wswbtwgMxk xxUMxk xxk xxU运动微分方程这时变为：XAXFWBU状态方程此时变为：YC XD U输出方程：262.线性随机最优控制理论的应用1/4 car modelgxTbwgbwYxxxxxuKX KX控制流程:27我们采用以下这么一个加权函数来衡量所关心的性能指标:22212301lim()()TwgbwbTJqxxqxxq xd tT 为了据此求解状态反馈增益, 必须用状态变量以及输入变量来表达上式:dtNUXRUUQXXTJTT

13、TTT0)2(1limQ: 对应于状态变量的权重矩阵.R: 约束输入信号大小的权重矩阵.N: 耦合项2.线性随机最优控制理论的应用(性能指标的确定)轮胎动变形轮胎动变形悬架动行程悬架动行程车身加速度车身加速度283012000000qQqq2221230001lim()()1 =limTTwgbwbTYYbTbwgbwwgTbwJq xxqxxq xdtTxxxxxxQxxdtTxx 2.线性随机最优控制理论的应用(性能指标的确定)Q, R, N 如何决定?对于以 表达的性能函数, 可以整理为:123,qqq29YCXDU000000()() =TTQNRTTTTTTTTY QYCXDUQ C

14、XDUX C QC XU D Q DUX C Q DUU D QCX 由于所以2.线性随机最优控制理论的应用(性能指标的确定)30控制器设计控制器设计 i.e., K =?i.e., K =? K S E=lqr(A, B, Q, R, N)利用 Matlab 函数 LQR 来计算状态反馈, i.e.,在这里, K:最优状态反馈矩阵 S:Riccati 方程解E: 系统特征值因此, 我们得到了主动控制力为 U=-KX, i.e.:)(54321gwbwbxkxkxkxkxkU31Theorem Continuous-Time Stationary LQR problem and Solutio

15、nConsider the time-invariant controllable system00( )( )( ) with inital condition ( )x tAx tBu tx txand quadratic cost index0( )( )( )( )TTtJxt Qx tut Ru t dtwhere 11TQQ Qis positive semi-definite, R is positive definite and 1(,)A Qis observable. Then the optimal LQR控制理论依据32control input is given by

16、 the stationary state feedback control law *1( )( )( )TssLQu tR B H x tKx t wheressHis the positive definite solution of the algebraicRiccati equation10TTssssssssA HH AH BR B HQThe optimal closed-loop system( )() ( )LQx tABKx tLQR控制理论依据33is asymptotically stable. The minimum value of the performance

17、 index is given by *00( )( )TssJxtH x t(End of the theorem)Note: 1. The controllability of the system dynamics makes sure the performance index is bounded. 2. The observability of the pair guarantees the solution of the Riccati equation is positive definite1( ,)A QLQR控制理论依据34Lsim 是对时域响应进行仿真的函数, 即对于一

18、个线性时不变系统, 计算在输入u(t)的作用下的各个时刻的输出值Y(t)以及状态变量值X(t). 函数命令格式: (Y,X)=lsim(A,B,C,D,u,t,X0)其中: u : 外界输入; t : 仿真时间; X0: 初始状态值; Y: 输出值;X : 状态变量3.仿真方法 (Lsim)35对于我们的1/4车辆主动悬架模型,该命令参数为:Y, St=lsim (Ac, F, C-DK, Dc, w ,T)St: state vector; Y: output value;对于输出多维向量Y(t),我们所关系的性能指标为:BA=Y(:,1);DTD=Y(:,2);SWS=Y(:,3);Ac:

19、 A-BK, Cc:C-DK, Dc:0(? x ?) 3.仿真方法 (Lsim)36仿真结果（时域）0246810-10-8-6-4-202468Time(sec)Mag.(m/s2)Vertical accelerationPassiveactive37仿真结果（时域）0246810-0.06-0.04-0.0200.020.040.06Time(sec)Mag.(m)Dynamic tire deflectionPassiveactive38仿真结果（时域）0246810-0.08-0.06-0.04-0.0200.020.040.060.080.1Time(sec)Mag.(m)Sus

20、pension working spacePassiveactive393.仿真方法 (Simulink)wTo Workspace1tTo Workspacex = Ax+Bu y = Cx+DuState-SpaceSWSManual SwitchK*uGain2K*uGain1C* uGainDTDClockBand-LimitedWhite NoiseBA40频域分析结果Bode DiagramFrequency (Hz)Magnitude (dB)-150-100-500From: Passive/Random Number (1)To: Passive/Demux2 (3)-100

21、-50050To: Passive/Demux2 (1)10-1100101102-100-80-60-40To: Passive/Demux2 (2)Passive SystemActive SystemDTD.Accel.SWS.41作业要求4ts013ISO32040K2 10K10K1000G5e-6u20f0.1q100q1000q0.05 bwss002单位：标准簧上质量：M簧下质量：M悬架弹簧刚度：轮胎等效刚度：悬架等效阻尼：C路面不平度系数：前进速度：下截止频率： 所选加权系数：，所用参数：作业内容：1. 根据所给参数，以及课上所提到的方法， 建立一个主动悬架LQG控制模型，并

22、给出时域、频域分析结果（时域仿真时间：10sec；频域范围：0.1100Hz）。2. 在LQG控制设计中，固定 q1, q2, 将q3 的取值范围变为0.01, 0.1，画出此时的bode图，并比较控制效果（分别对于车身加速度、轮胎动变形、悬架动行程）。3. （可选）对于2中所得的频域结果，仔细观察在各种不同的控制效果中，是否在某一频率点上都与被动系统的响应相交（称这一点为“不动点”）？“不动点” 是否对于三个性能指标都存在？试解释这个现象产生的原因。42作业要求4. 对于车身垂向加速度、轮胎动变形、悬架动行程三个性能指标，利用Quarter Car 模型，研究如何通过改变悬架参数，对其进行优化设计。可以选择的参数有：车身（簧上）质量Ms、车轮（簧下）质量Mus、悬架刚度Ks、悬架（减震器）阻尼Cs，并合理解释。 提示：利用MatLab，考虑频域响应的增益（幅值）大小、频率范围43Example for #4, Hw1Tyre def. resp. as Cs increasesBody acc. resp