1-3概率的公理化体系及性质

1、一、几何概型一、几何概型三、小结三、小结1.3 1.3 几何概型和几何概型和概率的公理化定义概率的公理化定义二、概率的公理化定义二、概率的公理化定义 把有限个样本点推广到无限个样本点把有限个样本点推广到无限个样本点的场合的场合,人们引入了人们引入了几何概型几何概型. 由此形成了由此形成了确定概率的另一方法确定概率的另一方法几何概率几何概率. 概率的古典定义具有可计算性的优点概率的古典定义具有可计算性的优点, ,但但它也有明显的局限性它也有明显的局限性. .要求样本要求样本点有限点有限,如果样如果样本空间中的样本点有无限个本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义概率的古典定义就不适用了就不适用

2、了. .一、几何概率一、几何概率定义定义1.4 ,0(),.m 若对于一随机试验 每个样本点出现是等可能的 样本空间所含的样本点个数为无穷多个 且具有非零的、有限的几何度量 即则称这一随机试验为几何概型定义定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域当随机试验的样本空间是某个区域,并并且任意一点落在度量且任意一点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子相同的子区域是等可能的区域是等可能的,则事件则事件 A 的概率可定义为的概率可定义为( )( )( )L AP AL说明说明：当试验结果等可能出现，且有连续无穷多：当试验结果等可能出现，且有连续无穷多个时个时, 就可考虑几何概率就可

3、考虑几何概率.(),( ).LL AA其中是样本空间的度量是构成事件的子区域的度量 ，这样借助于几何上的度量来合理规定的概率称为几几何何概概率率 几何概率的性质几何概率的性质0()1;P A(1) 对任一事件对任一事件A ,有有210PP( )(),();121212(3),()()()()nnnA AAP AAAP AP AP A对于两两互斥的有限个事件 那末那末.0,0TyTx 两人会面的充要条件为两人会面的充要条件为, tyx 例例1 甲、乙两人相约在甲、乙两人相约在 0 到到 T 这段时间内这段时间内, 在预在预定地点会面定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时

4、间经过时间 t( t0)的一些平行直的一些平行直线线,现向此平面任意投掷一根长为现向此平面任意投掷一根长为b( a )的针的针,试求试求针与任一平行直线相交的概率针与任一平行直线相交的概率.解解,直线的距离直线的距离到最近的一条平行到最近的一条平行针的中点针的中点表示针投到平面上时表示针投到平面上时以以Mxax M.夹夹角角表表示示针针与与该该平平行行直直线线的的 .),(完完全全确确定定置置可可由由那那么么针针落落在在平平面面上上的的位位 x蒲丰资料蒲丰资料ax M 由投掷的任意性可知由投掷的任意性可知, 这是一个几何概型问题这是一个几何概型问题.0 ,sin20 bx.,| ),(中中的的

5、所所有有点点一一一一对对应应与与矩矩形形区区域域果果投投针针试试验验的的所所有有可可能能结结 020axxA 所关心的事件针与任一平行直线相交发生的充分必要条件为中的点，且满足( )( )( )L GGP AL的面积的面积2dsin20 ab .ab2ab 2蒲丰投针问题的应用及意义蒲丰投针问题的应用及意义2)(abAP 那么那么的近似值代入上式的近似值代入上式作为作为即可即可则频率值则频率值的次数的次数算出针与平行直线相交算出针与平行直线相交很大时很大时当投针试验次数当投针试验次数根据频率的稳定性根据频率的稳定性,)(,APnmmn2mbna.2ambn . 的近似值的近似值利用上式可计算圆

6、周率利用上式可计算圆周率已有结论：已有结论：历史上一些学者的计算结果历史上一些学者的计算结果(直线距离直线距离a=1) 3.179585925200.54191925Reina 3.1415929180834080.831901Lazzerini 3.159548910300.751884Fox 3.1373826001.01860De Morgan 3.1554121832040.61855Smith 3.1596253250000.81850Wolf相交次数相交次数投掷次数投掷次数针长针长时间时间试验者试验者的近似值的近似值利用利用蒙特卡罗蒙特卡罗(Monte-Carlo)法法进行计算机模

7、拟进行计算机模拟.85. 0, 1 ba取取 1933年年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义给出了概率的严格定义 ,使概使概率论有了迅速的发展率论有了迅速的发展.二、概率的公理化定义与性质二、概率的公理化定义与性质柯尔莫哥洛夫资料柯尔莫哥洛夫资料; 1)(0,:(1) APA 有有对于每一个事件对于每一个事件有界有界性性;)(,:(2)1 P 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性则则有有即即对对于于事事件件是是两两两两互互不不相相容容的的设设, 2, 1,: (3)21 jiAAjiAAji可可列列可可

8、加加性性 )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性1. 概率的公理化定义概率的公理化定义1.71.7,.(),:),(.EEAAPP A设 是随机试验是它的样本空间对于 的每一事件 赋予一个实数 记为称为事件的概率如果满足下集合数列条件函. 0)()1( P2. 性质性质概率的有限可加性概率的有限可加性则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,)2(21nAAA).()()()(2121nnAPAPAPAAAP ).()()(),()(,)3(APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设).(1)(,)4(APA PAA 则则的对立事件

9、的对立事件是是设设()( )().P BAP BP AB一般情形：一般情形：推广推广 三个事件和的情况三个事件和的情况)(321AAAP).()()()()()()(321313221321AAAPAAPAAPAAPAPAPAP n 个事件和的情况个事件和的情况)(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAPAAAP ).()()()(,)()5(ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式解解,BABABAB因为 ()().P BAP BABP BP AB所以.81)()3(;)2(;)1(.)(,21

10、31, ABPBABAABPBA互斥互斥与与的值的值三种情况下三种情况下求在下列求在下列和和的概率分别为的概率分别为设事件设事件1例例,ABB又因为 10,ABP AB 当时， 1();2P BAP BP ABP B此时 2,ABABAP ABP A当时，故 111();236P BAP BP AB此时 138P AB 当时， 113().288P BAP BP AB此时 ?24,452是多少是多少只鞋子配成一双的概率只鞋子配成一双的概率少有少有只鞋子中至只鞋子中至求求只只双不同的鞋子中任取双不同的鞋子中任取从从例例4A解设只鞋子中至少有两只配成一双14A 只鞋子中恰有两只配成一双242A 只

11、鞋子恰好配成 双1212,AAAA A 于是，且1212( )()()()P AP AAP AP A则41025410224152CCCCC21134A 另解设只鞋子都不能配成双4454102( )CP AC218)(1)(APAP则则21132181例例3 在在12000的整数中随机地取一个数的整数中随机地取一个数,问取到问取到的整数既不能被的整数既不能被6整除整除, 又不能被又不能被8整除的概率是整除的概率是多少多少 ? 设设 A 为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6整除整除”,B为事件为事件“取到的数能被取到的数能被8整除整除”则所求概率为则所求概率为).(BAP)()(BAPBAP

12、 )(1BAP ).()()(1ABPBPAP 解解,33462000333 因因为为,2000333)( AP所所以以,8424200083 由于由于.200083)( ABP得得于是所求概率为于是所求概率为)(BAP 200083200025020003331)()()(1ABPBPAP .43 .2000250)( BP故得故得,25082000 由于由于2. 两个基本概率模型两个基本概率模型古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有古典概型：各样本点等可能出现，样本空间只有有限个样本点。有限个样本点。几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有几几何概型：各样本点等可能出现，样本空间具有

13、几何度量。何度量。三、小结三、小结1. 频率频率 (波动波动) 概率概率(稳定稳定). n( )mP An ( )L AP AL(4),()( )().A BP ABP AP AB设为两个事件 则3. 概率的主要性概率的主要性质质, 1)(0) 1 ( AP;)(,)(01 PP);(1)()2(APAP );()()()() 3(ABPBPAPBAP ()( )( ).ABP ABP AP B特殊情形：当时， 1、甲、乙两人约定在下午、甲、乙两人约定在下午1 时到时到2 时之间到某时之间到某站乘公共汽车站乘公共汽车 , 又这段时间内有四班公共汽车它又这段时间内有四班公共汽车它们的开车时刻分别

14、为们的开车时刻分别为 1:15、1:30、1:45、2:00.如如果它们约定见车就乘果它们约定见车就乘.求甲、乙同乘一车的概率求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的车站的时刻是互相不牵连的,且每人在且每人在1时到时到2 时的任何时时的任何时刻到达车站是等可能的刻到达车站是等可能的.课堂深入课堂深入 xoy 1 2 正正方方形形面面积积阴阴影影部部分分面面积积 p22)12()41(4 .41 45:1 30:1 15:1 1 2 15:1 30:1 45:1设设 x, y 分别为分别为甲、乙两人到甲、乙两人到达的时刻达的时刻,则有则有1212xy解

15、解 当（当（x, y）落在）落在 阴阴影区域内时，则两影区域内时，则两人同乘一车，故所求概率为人同乘一车，故所求概率为2、设、设A,B是两个随机事件，且是两个随机事件，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，问问：（：（1）在什么条件下，）在什么条件下，P(AB)取得最大值，最大值取得最大值，最大值是多少？（是多少？（2）在在什么条件下，）在在什么条件下，P(AB)取得最小值，取得最小值，最小值是多少？最小值是多少？答案：当答案：当 时，时，P(AB)=0.6为最大；为最大； 当当 时，时，P(AB)=0.3为最小。为最小。分析：分析： ABAB min,P ABP AP B P ABP AP BP AB 1.AP A ，0作业作业 习题一（P25）：15. 预习：第四节 条件概率与乘法公式Born: 25 April 19