1.1.2导数的概念

1、旧知回顾旧知回顾平均变化率的定义平均变化率的定义 我们把式子我们把式子 称为函数称为函数 f(x)从从 到到 的的平均变化平均变化 率率 . （ average rate of change）2121f x-f xx -x1 1x x2 2x x平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述需要用瞬时速度描述具体具体运动状态运动状态. .6 65 5计计算算运运动动员员在在0 0t t这这段段时时间间的的平平均均速速度度，思思考考4 49 9下下面面的的问问题题：（1 1）运运动动员员在在这这段段时时间间里里静静止止吗吗？ （ 2 2）你你认

2、认为为用用平平均均速速度度描描述述运运动动员员的的运运动动状状态态有有什什么么问问题题吗吗？探究讨论：探究讨论：2( )4.96.510h ttt 新课导入新课导入 如何知如何知道运动员在道运动员在每一时刻的每一时刻的速度呢？速度呢？在高台跳水运动中，平均速度不能反映在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态速度描述运动状态.我们把物体在某一我们把物体在某一时刻的速度称为时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度. 汽车在每一刻的汽车在每一刻的速度怎么知速度怎么知道呢？道呢？1.1.2 导数的概念导数的概念 平均变化率近似地刻画了

3、曲线在某一区间上平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势的变化趋势. .l如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? ?105 . 69 . 4)(2ttth求：从求：从2s到到(2+t)s这段时间内平均速度这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hhthvttt t0时，在时，在2,2+ t这段时间内这段时间内 2h 2+h 2+t -h 2t -h 2v =v =2+2+t -t -2 24.94.9 t +13.1t +13.1 t t= =- - t t= = - -4 4. .9 9 t t - -1 13 3. .1 1当当t=0.0

4、1时，时， =-13.149；v当当t=0.001时，时， =-13.1049；v当当t=0.0001时，时， =-13.10049；v当当t=0.00001时，时， =-13.100049；v当当t=0.000001时，时， =-13.1000049；v. 当当t趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速

5、度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此因此, 运动员在运动员在 t = 2 时的时的瞬时速度是瞬时速度是 13.1.v表示表示“当当t =2, t趋近于趋近于0时时, 平均速度平均速度 趋近于确定值趋近于确定值 13.1”.v1 3 .14 .9hvtt 探探 究究: :1.运动员在某一时刻运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示的瞬时速度怎样表示?2.函数函数f (x)在在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示处的瞬时变化率怎样表示?5 . 68 . 9)5 . 68 . 99 . 4(lim)5 . 68 . 9()(9 . 4lim)()(lim000

6、020000ttttttttthtthttt定义定义:函数函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的瞬时变化率瞬时变化率是是 0000( )() ylimlim xxf xxf xxx 称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作)(0 xf 或或 , 即即0|xxy0000( )() ()lim. xf xxf xfxx 一概念的两个名称一概念的两个名称. .瞬时变化率瞬时变化率与与导数导数是同是同. 2.其导数值一般也不相同其导数值一般也不相同的值有关，不同的的值有关，不同的与000)(. 1xxxf 定义定义:函数函数 y = f (

7、x) 在在 x = x0 处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是xfxxfxxfxx lim )()(lim 0000称为函数称为函数 y = f (x) 在在 x = x0 处的处的导数导数, 记作记作)(0 xf 或或 , 即即0|xxy0000( )() ()lim. xf xxf xfxx 例例1 1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需需要对原油进行冷却和加热要对原油进行冷却和加热. 如果第如果第 x h时时, 原油的温度原油的温度(单单位位: )为为 f (x) = x2 7x+15 ( 0 x8 ) . 计算第计算第2h和第和第6h

8、, 原油温度的原油温度的瞬时变化率瞬时变化率, 并说明它们的意义并说明它们的意义.oC解解: 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率就是原油温度的瞬时变化率就是(2)f(6).f和和根据导数的定义根据导数的定义,所以所以,. 3)3(limlim)2(00 xxffxx同理可得同理可得. 5)6( f 在第在第2h和第和第6h时时, 原油温度的瞬时变化率分别为原油温度的瞬时变化率分别为3和和5. 它说它说明在第明在第2h附近附近, 原油温度大约以原油温度大约以3 / h的速率下降的速率下降; 在第在第6h附近附近,原油温度大约以原油温度大约以5 / h的速率上升的速率上升.CCx

9、fxf)2()2(37)(42xxxxx=yx求函数求函数y=x2在在x=1处的导数处的导数.222(1)(1) -12() ,yxxx 解解：22()2,yxxxxx 100limlim(2)2,|2.xxxyxyx 00:-,yxxx 解解0000000000-(-)()()1.xxxxxxxxxyxxxxxxxxx 0000011limlim,2xxyxxxxx 000111|,1.222x xyxx由由得得例例3 已知函数已知函数 在在 处的附处的附近有定义，且近有定义，且 ，求，求 的值的值.y =x0 x = x0 0 x x= =x x1 1y y | |= =2 20 x 求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:（1）求函数的增量）求函数的增量00y = f(x +x)-f(x ).00f(x +x)-f(x )y=xx（2）求平均变化率）求平均变化率0 x0yf (x ) = lim.x（3）求得导数）求得导数归纳归纳课堂小结课堂小结1.瞬时速度的定义瞬时速度的定义 物体在某一时刻的速度称为物体在某一时刻的速度称为瞬瞬时速度时速度. .2.2.导数的定义导数的定义 一般地，函数一般地，函数 在在 处的处的瞬时变化率瞬时变化率是是