线性代数总复习学习教案

1、线性代数线性代数(xin xn di sh)总复习总复习第一页，共64页。.2112221122211211aaaaaaaaD ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa1、二阶三阶、二阶三阶(sn ji)行列式行列式的计算的计算第1页/共64页第二页，共64页。2、n阶行列式的计算阶行列式的计算(j sun) 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kk性质行列式中如果有两

2、行（列）元素成比例，性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零(1) 利用行列式的性质计算利用行列式的性质计算（化为三角形）（化为三角形）第2页/共64页第三页，共64页。性质性质(xngzh)5(xngzh)5若行列式的某一列（行）的若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和元素都是两数之和. .性质把行列式的某一列性质把行列式的某一列(y li)（行）的各元素乘以（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(y li)(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变第3页/共64页第四页，共64页。例例 计算计算(j sun)行列式行列式0

3、112012120112110 D解解21rr D0112012121102011 第4页/共64页第五页，共64页。13rr 142rr 4130211021102011 23rr 143rr 2200420021102011 34rr 2000420021102011 4)2()2()1(1 0112012121102011 D第5页/共64页第六页，共64页。(2) 利用利用(lyng)行列式展开计算行列式展开计算定理定理(dngl) (dngl) 行列式等于它的任一行（列）的各行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即元素与其对应的代数余子式乘积之和，即inin

4、iiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 njnjjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 第6页/共64页第七页，共64页。例例3351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 第7页/共64页第八页，共64页。0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 第8页/共64页第九页，共64页。1、矩阵、矩阵(j zhn)的逆的求法的逆的求法（1）公式）公式(gngsh)法（伴随法）法（伴随法）.1nnn2n12n22121n21111的的代代数数余余子子式式中中元元素素为

5、为行行列列式式的的伴伴随随矩矩阵阵，为为其其中中，其其中中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA 第9页/共64页第十页，共64页。（2）初等变换法）初等变换法):(EA行的初等变换行的初等变换):( E1 A第10页/共64页第十一页，共64页。例例1 1 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解343122321 A2 .1存在存在 A412182466 1111) 1( A34122 2112) 1( A33123 （公式（公式(gngsh)法）法）第11页/共64页第十二页，共64页。 343122321A3113) 1( A43222 1221) 1( A

6、34326 2222) 1( A33316 3223) 1( A43212 1331) 1( A12324 2332) 1( A12315 3333) 1( A22212 第12页/共64页第十三页，共64页。 332313322212312111AAAAAAAAAA得得故故 AAA11 22256346221.11125323231 ,222563462 6, 6, 2, 3, 22221131211 AAAAA2, 2, 5, 4, 233323123 AAAAA第13页/共64页第十四页，共64页。（初等变换法）（初等变换法） 103620012520001321 10034301012

7、2001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 343122321A第14页/共64页第十五页，共64页。 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（ 13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（ 13 r第15页/共64页第十六页，共64页。 . 1BA 矩矩阵阵的的方方法法，还还可可用用于于求求利利用用初初等等行行变变换换求求逆逆阵阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等初等(chdng)行变换行

8、变换第16页/共64页第十七页，共64页。2、矩阵、矩阵(j zhn)的秩的秩矩阵矩阵(j zhn)秩的求法秩的求法 把矩阵把矩阵(j zhn)用初等行变换变成为行阶用初等行变换变成为行阶梯形矩阵梯形矩阵(j zhn)，行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵(j zhn)中中非零行的行数就是矩阵非零行的行数就是矩阵(j zhn)的秩的秩.第17页/共64页第十八页，共64页。例例 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 46063332422084211221):(BbA解解第18页/共64页第十九页，共64页。 4606333242208421

9、1221B 13600512000240011221131222rrrr 143rr 第19页/共64页第二十页，共64页。 10000500000120011221 000001000001200112212322rrr 243rr 53 r34rr . 3)(, 2)( BRAR第20页/共64页第二十一页，共64页。1、线性组合、线性组合mmb 2211，使，使，一组数一组数如果存在如果存在和向量和向量给定向量组给定向量组mmbA ,: 2121的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA定义定义(dngy)(

10、dngy)第21页/共64页第二十二页，共64页。存在矩阵存在矩阵 ， Ab 使得使得矩阵方程矩阵方程bAX 有解有解判定判定(pndng)(pndng),()(bARAR b),21mA （ 线性表示线性表示能由能由第22页/共64页第二十三页，共64页。),()(BARAR 能能由由（),21sbbbB ),21mA （ 线性表示线性表示(biosh)存在矩阵存在矩阵 ，KAKB 使得使得矩阵方程矩阵方程BAX 有解有解第23页/共64页第二十四页，共64页。例例设设,22111 a,31212 a,04113 a,1301 b证明向量证明向量 能由向量组能由向量组 线性表示，并线性表示，

11、并b321,aaa求表示式。求表示式。解解只需证矩阵只需证矩阵),(321aaaA 与矩与矩),(),(321baaabAB 阵阵有相同有相同(xin tn)的秩。的秩。下面把矩阵下面把矩阵 化为行最简形：化为行最简形：B法一法一第24页/共64页第二十五页，共64页。),(),(321baaabAB 1032341201211111行的初等变换行的初等变换 00000000121023012)()( BRAR向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。b321,aaa第25页/共64页第二十六页，共64页。由最简形知，方程组由最简形知，方程组bAx 的通解为的通解为从而从而(cng

12、r) 012123cx ccc1223 cccaaaAxb1223),(321321)12()23(caacac 其中其中 为任意常数。为任意常数。c第26页/共64页第二十七页，共64页。法二法二设设bakakak 332211即即也即也即 22111k 31212k 04113k 1301 13234202121321321321kkkkkkkkkkk第27页/共64页第二十八页，共64页。321)12()23(caacac 其中其中 为任意常数。为任意常数。c解得其通解解得其通解(tngji)为为 231 ck122 ckck 3332211akakakb 故向量故向量 可由向量组可由向

13、量组 线性表示，且线性表示，且b321,aaa其中其中 为任意常数。为任意常数。c第28页/共64页第二十九页，共64页。0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组:,21线线性性无无关关n 定义定义(dngy)(dngy)则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A2、线性相关性、线性相关性02211 nn 01 n 第29页/共64页第三十页，共64页。.)(; ),( , 2121mARmAmm 条条件件是是必必要要向向量量组组线线性性无无关关的的充充分分秩秩小小于于向向量量

14、个个数数的的矩矩阵阵要要条条件件是是它它所所构构成成的的线线性性相相关关的的充充分分必必向向量量组组 定理定理(dng(dngl)l)判定判定(pndng)(pndng)第30页/共64页第三十一页，共64页。线线性性相相关关维维向向量量个个nnn , 21nRARn ),( )(21 0|,| |21 nA 无无关关线线性性维维向向量量个个nnn , 21nRARn ),( )(21 0|,| |21 nA 第31页/共64页第三十二页，共64页。， 742520111321 .21321的线性相关性的线性相关性，及及，试讨论向量组试讨论向量组 已知已知例例1第32页/共64页第三十三页，共

15、64页。 751421201),(321 2325rr ， 000220201., 2),(,2),(2121321321线性无关线性无关向量组向量组线性相关；线性相关；，向量组，向量组可见可见 RR 75122020112rr 1312rrrr 550220201第33页/共64页第三十四页，共64页。., , 321133322211321的的相相关关性性讨讨论论线线性性无无关关已已知知向向量量组组例例2 2bbbbbb 0 ,332211321 bxbxbxxxx使使设有设有, 0)()( 133322211 xxx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦即亦即线性

16、无关，故有线性无关，故有，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx解解第34页/共64页第三十五页，共64页。02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解bbbxxx 第35页/共64页第三十六页，共64页。3、最大无关、最大无关(wgun)组及向量组的秩组及向量组的秩，r ,21设有向量组设有向量组 ，A满足满足(mnz)下面两个条件：下面两个条件：如果能在如果能在 中选出中选出 个向量个向量rArA ,:210（1）向量组）向量组 线性无关；线性无关；

17、0A线性表示。线性表示。（2）向量组）向量组 中的每一个向量都能由向量组中的每一个向量都能由向量组A则称向量组则称向量组 为向量组为向量组 的的最大无关组最大无关组。 0AA最大无关组所含向量的个数最大无关组所含向量的个数 称为称为向量组的秩向量组的秩。r第36页/共64页第三十七页，共64页。向量向量(xingling)(xingling)组的秩的求法组的秩的求法maaa,21向量组向量组 的秩的秩),(21maaaA 的秩的秩矩阵矩阵. 最大无关组最大无关组行即是行向量组的一个行即是行向量组的一个所在的所在的最大无关组，最大无关组，列即是列向量组的一个列即是列向量组的一个所在的所在的，则，

18、则的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式是矩阵是矩阵若若rDrDADrrr最大无关最大无关(wgun)(wgun)组的求法组的求法第37页/共64页第三十八页，共64页。 97963422644121121112 A设矩阵设矩阵 例例.用用最最大大无无关关组组线线性性表表示示属属最最大大无无关关组组的的列列向向量量无无关关组组，并并把把不不的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大求求矩矩阵阵A第38页/共64页第三十九页，共64页。行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵施行初等行变换变为施行初等行变换变为对对 A解解，知知3)( ARA ， 00000310000111041211初等行变换初等行变换 .

19、3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关且且 列向量组的一个最大无关组为列向量组的一个最大无关组为A421,aaa第39页/共64页第四十页，共64页。 00000310003011040101 初等行变换初等行变换AB 因此因此(ync)213aaa 4215334aaaa 第40页/共64页第四十一页，共64页。定理定理(dngl) n元线性方程组元线性方程组bAx 1),()(bARAR 有唯一有唯一(wi y)解解2) nbARAR ),()(无解无解3)nbARAR ),()(无穷无穷(wqing)多解多解定理定理 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解

20、有非零解0 AxnAR )(第41页/共64页第四十二页，共64页。定理定理 设设nm 矩阵矩阵 的秩的秩 ，ArAR )(则齐次线性则齐次线性 的解集的解集 的秩为的秩为线性方程组线性方程组0 Ax. rnRS S rnrnkkkx2211其中其中 为任意实数。为任意实数。rnkkk ,21非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解(tngji)(tngji)非齐次线性方程组非齐次线性方程组bAx 的一个特解为的一个特解为* 齐次线性方程组齐次线性方程组0 Ax的基础解系为的基础解系为rn ,21则非齐次线性方程组则非齐次线性方程组bAx 的解解为的解解为第42页/共64页第四十三页，共6

21、4页。例例 求解求解(qi ji)非齐次方程组非齐次方程组1234123412341234512333819377xxxxxxxxxxxxxxxx 解：解：1511112133(,)3811119377A b 15111072440000000000 第43页/共64页第四十四页，共64页。31 31 310777244017770000000000 1342341 331 3777424777xxxxxx 令令3142,xcxc则则112212314213313777424777 xccxccxcxc 12(,c c为任意常数）为任意常数）法法1：第44页/共64页第四十五页，共64页。法法

22、2：令令, 043 xx得得 0074713 又原方程组对应又原方程组对应(duyng)的齐次方程组的通解是的齐次方程组的通解是 432431747271373xxxxxx令令 10,0143xx得基础解系得基础解系 1074713,01727321 所以原方程组的通解是所以原方程组的通解是2211 kk 12(,k k为任意常数）为任意常数）第45页/共64页第四十六页，共64页。（1）如何求）如何求 的特征值？的特征值？A0| EA 解特征方程解特征方程特征方程的根即为矩阵特征方程的根即为矩阵 的特征值。的特征值。A（2）如何求属于特征值）如何求属于特征值 的特征向量？的特征向量？ 解齐次

23、线性方程组解齐次线性方程组 0)( xEA 其非零解即为属于特征值其非零解即为属于特征值 的特征向量的特征向量 1、特征值与特征向量的求法、特征值与特征向量的求法第46页/共64页第四十七页，共64页。例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A第47页/共64页第四十八页，共64页。 由由解方程解方程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于

24、11 ).0( 1 kpk第48页/共64页第四十九页，共64页。 由由解方程解方程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础得基础(jch)解系为：解系为：,401,11032 pp :232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 第49页/共64页第五十页，共64页。 n 21 APP1使得使得(sh de) 则则若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 ，),(21nxxxP （1） 为矩阵为矩阵 的特征值的特征值i A（2） 为对应于特征值为对应于特征值 的特征向量。的特征向量。ixi

25、2、方阵、方阵(fn zhn)的对角化的对角化第50页/共64页第五十一页，共64页。 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A第51页/共64页第五十二页，共64页。 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解之得基础(jch)解系解系,0121 .1002 第52页/共64页第五十三页，共64页。 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入

26、将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线性无关线性无关由于由于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A第53页/共64页第五十四页，共64页。注意注意(zh y) , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P第54页/共64页第五十五页，共64页。. , 1素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理nAAPPPnA 3、实对称、实对称(duchn)矩阵的对角化矩