4向量组的线性相关性分享资料

1、1 1CH4 CH4 向量组的线性相关性向量组的线性相关性2 2向量组的线性相关性向量组的线性相关性n n维向量的概念维向量的概念向量组的线性相关性向量组的线性相关性线性相关性的判别定理线性相关性的判别定理向量组的秩向量组的秩向量空间向量空间3 3 1 1 N N维向量的概念维向量的概念4 4个数组成的有序数组个数组成的有序数组12,na aa称为一个称为一个维向量维向量，其中称为第个，其中称为第个分量分量（坐标坐标）. .iai维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行矩阵行矩阵，也就是，也就是行向量行向量，12naaa 如：如：记作记作, , ,. .维向量写成一列，称为维向量写成一列，称

2、为列矩阵列矩阵，也就是，也就是列向量列向量，（VectorVector）（naaa,.,21 5 52 2、元素全为零的向量称为元素全为零的向量称为零向量零向量（Null VectorNull Vector）. .3 3、维数相同的列（行）、维数相同的列（行）向量同型向量同型. .元素是复数的向量称为元素是复数的向量称为复向量复向量（Complex VectorComplex Vector）.1 1、元素是实数的向量称为元素是实数的向量称为实向量实向量（Real VectorReal Vector）. .4 4、对应分量相等的、对应分量相等的向量相等向量相等.6 6 1122(),nnabab

3、ab 12,nkkkakaka 1122,nnababab 1212(),(),nnaaab bb ,.,.,向量的加法与数乘合称为向量的向量的加法与数乘合称为向量的线性运算线性运算. .Rkaaan ），（,.,21 7 7（1 1） （交换律）（交换律）（2 2） （结合律）（结合律）()() （3 3）O （4 4）()O ( (设设, , ,均是维向量均是维向量, ,，为实数为实数) )（5 5）1 （6 6）()()() （7 7）() （8 8）() 8 8.,),(21T21维维向量空间向量空间叫做叫做集合集合维向量的全体所组成的维向量的全体所组成的nRxxxxxxXRnnnn

4、.,),(3叫做叫做三维向量空间三维向量空间的集合的集合三维向量的全体所组成三维向量的全体所组成RzyxzyxrRT 9 91010 11,1,0T ，设设3(3,4,0)T 20,1,1T ，12331,(,)21 .11 其中( , )求求解解 12312332， (4,4, 1) .T123321033 12 11 4010 (0,1,2) .T 123 012 1031 11 11 4010 441 11111122nnxxxb 线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应11112211211222221122n

5、nnnmmmnnma xa xa xba xa xa xbaxaxaxb 1212(,.,)nnxxbx 即即Axb 或或121212mA 其第其第个列个列向量向量记作记作12jjjmjaaa 12(,.,)nA 个维个维行向量行向量. .按行分块按行分块111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分块按列分块个维个维列向量列向量. .其第个行其第个行向量向量记作记作 12,iiiinaaa 矩阵与向量的关系中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清. .13132 2 向量组的线性相关性向量组

6、的线性相关性1414一、向量组的线性相关性定义一、向量组的线性相关性定义1212,0k kkk 向向量量共共线线不不全全为为零零的的数数使使得得123123,0k kkkkk 向向量量共共面面不不全全为为零零的的数数, , 使使得得1212,0,0kkkk 向向量量不不共共线线若若则则123123,0,0kkkkkk 向向量量不不共共面面若若则则线性相关线性无关1515的一个的一个线性组合线性组合则称则称 为向量为向量 定义定义 2 2mmakakak 2211 使得使得一组实数一组实数若存在若存在设设n n维向量维向量,2121mmkkkaaa， ,maa12a线性表示线性表示或称或称 能由

7、向量能由向量 ,maa12a)(组成的集合叫做组成的集合叫做向量组向量组. .所所或同维数的行向量或同维数的行向量若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量161612,.,(s1),s 向向量量组组称称为为线线性性相相关关 如如果果定义312,., ,sk kk存存在在不不全全为为零零的的数数使使得得0.2211 sSkkk 112212.0,.0Ssskkkkkk若若则则否否则则称称线线性性无无关关, , 如果向量组中有零向量,则向量组一定线性相关. 一个向量a=0线性相关,而 时线性无关0 两个向量线性相关 它们对应分量成比例即即171712,., s 向向量量组组线线性性相相关关方方程程

8、1122.0 .ssxxx 有有非非零零解解i.e.1211121211212222n11n22(,.,) ,.0.0 .0Tiiiinssssnssaaaa xa xa xa xa xa xa xa xa x 设设方方程程组组 有有非非零零解解二、判别方法1.向量个数 未知数的个数 向量维数 方程的个数 (无)(没)(没)1818121(1,2,3,4,3) ,(1,2,0,5,1) ,TT 例例 . .设设34(2,4, 3, 19,6) ,(3,6, 3, 24,7)TT1234,. 试试判判断断的的线线性性相相关关性性11223344:0kkkk解解 设设123412341341234

9、123423 02246 03 33 04519240367 0kkkkkkkkkkkkkkkkkkk 即即1919对对系系数数矩矩阵阵进进行行初初等等行行变变换换1123224630334519243167A 10110134.000000000000同同解解方方程程组组1342340340kkkkkk 341,0,kk有有无无穷穷多多解解. .取取得得到到方方程程组组的的一一组组解解12341, 3,1,0kkkk (,)=()(,)=()1234300, 即即有有: :1234,. 故故线线性性相相关关202012126 ,(,)( ).mmaaaAaaamR Am 定定理理向向量量组组

10、线线性性相相关关它它所所构构成成的的矩矩阵阵的的秩秩小小于于向向量量个个数数；向向量量组组线线性性无无关关0|,| 121 naaan n线线性性无无关关维维向向量量个个推推论论线线性性相相关关维维向向量量个个时时当当推推论论nm nm, 2 线性相关线性相关维向量维向量个个特别地特别地n n1: 2.212112s,.,(2)s 定定理理1 1: :向向量量组组线线性性相相关关存存在在一一个个向向量量是是其其余余向向量量的的线线性性组组合合或或可可被被其其他他向向量量线线性性表表出出( (示示) ). .维维单单位位向向量量为为），（例例n,.,2 , 1.,0 1 . 0 2n ii 12

11、,.,n 故故线线性性相相关关第i个分量12,.,),nn ( (为为任任意意 维维向向量量1122 .nn 则则12,.,.n 而而线线性性无无关关3.222212s,.,(2)s 定定理理: :向向量量组组线线性性相相关关存存在在一一个个向向量量是是它它前前面面向向量量的的线线性性组组合合12s,.,(2)s 推推论论: :设设是是由由非非零零向向量量组组成成的的,(2)iis 向向量量组组 若若每每个个向向量量都都不不是是它它12s,., 前前面面向向量量的的线线性性组组合合, ,则则线线性性无无关关. .从向量组中找尽量多的线性无关向量2323例例 2 2,742,520,111321

12、 aaa已知已知.,21321相相关关性性的的线线性性及及向向量量组组试试讨讨论论向向量量组组aaaaa解解，矩阵矩阵梯形梯形施行初等行变换成行阶施行初等行变换成行阶对矩阵对矩阵),(321aaa2424 321,aaa，可见可见2),(321 aaaR 751421201 550220201 00022020112rr 13rr 2325rr ；线线性性相相关关故故向向量量组组321,aaa,2),(21 aaR同同时时.,21线性无关线性无关故向量组故向量组aa2525例例 3 3. ., , , ,., , , )2(. , , 21132221121线线性性相相关关性性讨讨论论设设线线

13、性性无无关关已已知知向向量量组组ssssbbbaabaabaabsaaa 证一证一1 122.0,ssx bx bx b 设设, 0)(.)()(1322211 aaxaaxaaxss即即, 0)(.)()(122111 ssssaxxaxxaxx亦亦即即，故有，故有线性无关线性无关因因saaa.,212626.,21线线性性无无关关为为奇奇数数时时向向量量组组所所以以当当sbbbs 为为偶偶数数为为奇奇数数列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行ss; 0; 21)(111.000.00.11000.01110.001s1 0 .0 0 0 132211sssxxxxxxxx.,21

14、线性相关线性相关为偶数时向量组为偶数时向量组当当sbbbs2727121. 2 ,.m 定定理理如如果果向向量量，线线性性无无关关，.,21线线性性表表示示且且表表达达式式唯唯一一，能能由由则则m 三、性质12,.,m 而而向向量量组组，线线性性相相关关282812s: ,., 定定理理3 3 若若线线性性无无关关123: ,., r 2 2. .定定理理若若线线性性相相关关整体无关部分无关部分相关整体相关12r+1,.,.,.rm 则则也也线线性性相相关关.则则它它的的任任一一部部分分组组也也线线性性无无关关2929 3. 4 定定理理设设1212,(1,2,),rp jjp jjjjrjp

15、 jaaaajmaa 有有相相同同的的线线性性相相关关性性与与则则mm ,., ,.,2121的一个排列的一个排列为为其中其中npppn,.,2 , 1,.,2130301212112s12s12s12(,.,),1,2,.,(,.,),.,.,.,.,.,iiiiniiiininsaaaisaaaa 设设则则称称为为的的延延长长向向量量组组也也称称为为的的截截短短向向量量组组定义 12s5: ,.,. 4 4 定定理理若若线线性性无无关关则则其其延延长长组组也也线线性性无无关关1: r, n.nr 推推论论维维向向量量组组线线性性无无关关 在在每每个个向向量量相相同同的的位位置置添添加加个个

16、分分量量后后得得到到的的 维维向向量量组组仍仍线线性性无无关关12s5 : ,.,. 定定理理 若若线线性性相相关关 则则其其截截短短组组也也线线性性相相关关3131练习练习 设向量组设向量组 130,Tk ， 212,Tk ， ， 3021 ，线性相关，则线性相关，则 . .3 .1kor k 32324 4 向量组的秩向量组的秩33334 4 向量组的秩向量组的秩向量组等价向量组等价极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组与向量组的秩向量组的秩与矩阵秩的关系向量组的秩与矩阵秩的关系矩阵的秩与矩阵的运算矩阵的秩与矩阵的运算34341212,:,.mlRSSR设有两个向量组：及若组中的每个向量

17、都能由向 量组线性表示1.1.定义定义4 4SR组组能能由由组组线线性性表表示示，,), 2 , 1(ljj 即对每个向量即对每个向量使使存存在在数数,21mjjjkkk一、向量组等价一、向量组等价.RS若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价SR称 组能由组线性表示35351122jjjmjmkkk 1112121222121212,lllmmmmlkkkkkkkkk 从而从而 1212,jjmmjkkk .)(数矩阵数矩阵称为这一线性表示的系称为这一线性表示的系矩阵矩阵ijlmkK 3636，由此可知由此可知 ； ln2122221112112121,bbbbbbbbbaaac

18、ccllnnln，若若nllmnmBAC :一表示的系数矩阵一表示的系数矩阵为这为这B，线线性性表表示示的的列列向向量量组组组组能能由由矩矩阵阵量量列列向向的的则则矩矩阵阵AC373712m 11121121222212llmmmllaaaaaaaaa ：为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示，的行向量组线性表示，的行向量能由的行向量能由同时同时ABC,38382.2.性质性质 1 1）自反性）自反性 2 2）对称性）对称性3 3）传递性）传递性具有以上性质的关系称为等价关系具有以上性质的关系称为等价关系39391 1 定义定义7 712,rRaaa设设向向量量组组的的一一

19、个个部部分分组组，满满足足;,)(21线线性性无无关关raaai()R则则称称此此部部分分组组 是是向向量量组组的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组简简称称极极大大无无关关组组( ).iiR向向量量组组中中任任意意向向量量可可由由此此部部分分组组线线性性表表示示二、极大线性无关组与向量组的秩二、极大线性无关组与向量组的秩极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩4040.0组组的的秩秩为为规规定定只只含含零零向向量量的的向向量量组等价组等价向量组与它的极大无关向量组与它的极大无关.般般不不是是惟惟一一的的向向量量组组的的极极大大无无关关组组一一.含含向向量量的的个个数数相相等等但但每每一一

20、个个极极大大无无关关组组中中41417 定定 理理向向 量量 组组 与与 它它 的的 任任 意意 一一 个个 极极 大大 线线 性性 无无 关关 组组 等等 价价 R,S,rs定定理理8 8 设设向向量量组组的的秩秩为为向向量量组组 的的秩秩为为 RS.rs 若若 向向量量组组能能由由向向量量组组 线线性性表表示示，则则42420101: : , :, .rsARaaBSbbrs 证证明明 设设 向向量量组组 的的一一个个极极大大无无关关组组为为向向量量组组 的的一一个个极极大大无无关关组组为为，要要证证0, RRRS因因为为组组能能由由组组 线线性性表表示示组组能能由由 组组线线性性表表示示

21、，使使得得即即存存在在系系数数矩矩阵阵),(ijsrkK 000, SSRS组组能能由由组组线线性性表表示示 所所以以组组能能由由组组线线性性表表示示，4343 srsrsrkkkk111111),(),( )0( 0 1 KXxxKsrrsr简记为简记为，则方程组，则方程组如果如果有有非非零零解解，0),( 1 Kxs 有非零解，有非零解，即即0),(1 Xr 0 .Srs 与与线线性性无无关关矛矛盾盾，所所以以），从从而而方方程程组组有有非非零零解解（因因rsKR )( 44447 R,S,rs定定理理设设向向量量组组的的秩秩为为向向量量组组 的的秩秩为为 RS.rs 若若 向向量量组组能

22、能由由向向量量组组 线线性性表表示示，则则等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等推推论论 12 推推论论任任意意连连个个线线性性无无关关的的等等价价的的向向量量组组 所所含含向向量量个个数数相相等等( (反反之之不不对对) )4545三、向量组的秩与矩阵秩的关系三、向量组的秩与矩阵秩的关系464612mA 其第其第个列个列向量向量记作记作12jjjmjaaa 12(,.,)nA 个维个维行向量行向量. .按行分块按行分块111212122211nnmmmnaaaaaaAaaa 按列分块按列分块个维个维列向量列向量. .其第个行其第个行向量向量记作记作 12,iiiinaaa 矩阵与向量的关系

23、中矩阵与向量的关系中注意什么是向量的注意什么是向量的个个数数、什么是向量的、什么是向量的维维数数，二者必须分清，二者必须分清. .4747，：向向量量组组对对于于只只含含有有限限个个向向量量的的maaaA,21. ),(21maaaA 它它可可以以构构成成矩矩阵阵. 8行行秩秩列列秩秩矩矩阵阵的的秩秩定定理理 4848.)0()(),(21时时显显然然成成立立当当，设设 rrARaaaAm证证，关关组组无无的的列列向向量量组组的的一一个个极极大大列列是是所所在在的的因因此此ArDrrDr得得知知所所在在的的列列线线性性无无关关；+1Ar又又由由中中所所有有阶阶子子式式均均为为零零，1Ar 知知

24、中中任任意意个个列列向向量量都都线线性性相相关关. .0 rDr 阶阶子子式式并并设设, r所所以以列列向向量量组组的的秩秩等等于于().AR A类类似似可可证证矩矩阵阵的的行行向向量量组组的的秩秩也也等等于于.为为系系数数矩矩阵阵的的齐齐次次线线性性方方程程组组只只有有零零解解r否否则则以以这这 列列1r 从从而而原原矩矩阵阵存存在在非非零零的的阶阶子子式式，矛矛盾盾. .49491212,(,).mmaaaR aaa向向量量组组的的秩秩也也记记作作：从上述证明中可见从上述证明中可见rDA若若是是矩矩阵阵的的一一个个最最高高阶阶非非零零子子式式，关关组组向向量量组组的的一一个个极极大大无无的

25、的列列列列即即是是所所在在的的则则ArDr. r列向量组的秩等于列向量组的秩等于5050的的线线性性组组合合关关系系对对应应的的列列向向量量组组有有相相同同与与B10 ABA 初初等等行行变变换换定定理理矩矩阵阵，则则 的的列列向向量量5151.,ERTif ABP is I MPAB 证明证明 1212,ssn sn sAB ， ， ， ， ， 12， ， ，sPAP iiP 即即 12， ，sPPP 12s 设设的某些列的某些列12,piii 有关系有关系12120piipilll则相应的则相应的1212piipilll 1212piipil Pl Pl P 1212piipiP lll

26、0 具有相同的具有相同的线性关系线性关系. .12,piii 即即中列向量组中列向量组12,piii与与中列向量组中列向量组5252 :例例.,(2,4,4,9),2,7)(1,1,9)2,2,1,(,6,6)1,1,(,(2,1,4,3)54321并并将将其其余余向向量量线线性性表表出出的的一一个个极极大大线线性性无无关关组组，求求向向量量组组TTTTT 5353解：解：123452111211214(,)4622436979A 设设矩矩阵阵A对对施施行行初初等等行行变变换换变变为为行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵1 12 140 11 10.0 00130 0000A 行行101040110300

27、01300000 ，54543,故故列列向向量量组组的的极极大大无无关关组组含含 个个向向量量1 2 4而而三三个个非非零零行行的的非非零零首首元元在在 、 、 三三列列，124,.aaa所所以以为为列列向向量量组组的的一一个个极极大大无无关关组组( )3R A 所所以以，1234512345,.a a a a ab b b b b因因为为向向量量之之间间与与向向量量之之间间有有相相同同的的线线性性关关系系5555现在现在,3344215bbbb 因此因此3b,21bb ,213aaa .3344215aaaa 5656总结：求极大线性无关组及向量的线性表示的总结：求极大线性无关组及向量的线性

28、表示的方法方法方法方法1：矩阵的初等行变换法：矩阵的初等行变换法（1 1）以向量组中的向量为列向量作矩阵）以向量组中的向量为列向量作矩阵（2 2）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）对矩阵作初等行变换，化为行阶梯形（行最简形）（3 3）取每行第一个非零元所在的列，即为所求）取每行第一个非零元所在的列，即为所求方法方法2：录选法：录选法（1 1）在向量组中选一个非零向量）在向量组中选一个非零向量（2 2）再选一个与）再选一个与1 1 的对应分量不成比例的向量的对应分量不成比例的向量2 （3 3）再选一个不能由）再选一个不能由1 2 线性表出的向量线性表出的向量3 线性表出的向量线性表出的

29、向量5757()(,)()()R AR PAR AQR PAQP Q 为为可可逆逆矩矩阵阵四、矩阵的秩与矩阵的运算四、矩阵的秩与矩阵的运算5858例例14.14.).,(),(11nkaaAC 设设，而而)(ijbB ).(),(min)(BRARABR )()( ARABR 先先证证明明kmknnmCBA 设设证证明明 : nknknkbbbbaa111111),(),( 则则5959).()(ARCR 因因此此),()(, TTTTTBRCRABC 由由上上面面证证明明知知因因的的列列向向量量组组线线性性表表示示，的的列列向向量量组组能能由由即即矩矩阵阵AC).()(BRCR 即即6060

30、练习练习. .()()().R ABR AB 6161.线线性性表表示示能能由由向向量量组组只只需需证证明明向向量量组组AB组组组组和和，并并设设设设两两个个向向量量组组的的秩秩都都为为BAr .00组组线线性性表表示示组组能能由由组组线线性性表表示示，故故组组能能由由因因BABA证明证明: :rrrKbbaa),(),(11 15 . ,.AB例例向向量量组组 能能由由向向量量组组 线线性性表表示示 且且它它们们的的秩秩相相等等.等价等价与向量组与向量组则向量组则向量组BA,:,:1010rrbbBaaA和和的的极极大大无无关关组组依依次次为为使使阶方阵阶方阵即有即有rKr6262raaRK

31、Rrr ),()( 1故故.),(10raaRAr 组线性无关，故组线性无关，故因因.)()(rKRrKRrr ，因因此此但但,),(),( 111 rrrrKaabbK可逆，并有可逆，并有于是矩阵于是矩阵.00组组线线性性表表示示组组能能由由即即AB. 组线性表示组线性表示组能由组能由从而从而AB63635 5 向量空间向量空间6464向量空间概念基与维数向量的坐标6565说明说明.,VRV 则则若若;,VVV 则则若若一、向量空间的概念一、向量空间的概念.VV所所谓谓封封闭闭，是是指指在在集集合合中中可可以以进进行行加加法法及及乘乘数数两两种种运运算算，结结果果还还在在集集合合中中定义定义

32、1 1设设V V 为为 n n 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合V V非空，非空，且集合且集合V V 对于对于加法加法及及数乘数乘两种运算两种运算封闭封闭，那么就称，那么就称集合集合V V 为为向量空间向量空间6666例例2 2是向量空间,),0(2T2RxxxxxVnn因为若因为若,),0(,),0(T2T2VbbbVaaann,), , 0(T22Vbababann则.),0(T2Vaaan例例1 1 .，就就是是一一个个向向量量空空间间维维向向量量的的全全体体nRn6767例例3 3.,),1 (2T2不是向量空间RxxxxxVnn因为若因为若.)2,2,2(2T2Vaaan

33、 则则，Vaaan T2),1(例例4 4.)0 , 0 ,0(T，称为零空间，称为零空间是一个向量空间是一个向量空间 xV练习练习1 1., 0),(321T321是否是向量空间？RxxxxxxxxVi., 1),(321T321是否是向量空间？RxxxxxxxxVi练习练习2 2.是向量空间.不是向量空间6868例例5 5n设设， 为为两两个个已已知知的的维维向向量量，集集合合,Lx R.是一个向量空间是一个向量空间.这这个个向向量量空空间间称称为为由由向向量量， 生生成成的的向向量量空空间间12maaa一一般般地地，由由向向量量组组， ，生生成成的的向向量量空空间间为为,212211RaaaxLmmm 696912(1),;r 线线性性无无关关12(2),.,.rV 中中任任一一向向量量都都可可由由线线性性表表示示那么，向量组那么，向量组 就称为向量就称为向量的一个的一个r, 21V基基， 称为向量空间称为向量空间 的的维数，维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间VrVr二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数定义定义2 2 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足r,21 VVr ,若若V V 的维数为的维数为r r，记做，记做dimdimV V= =r r7070只含有零向量的向量空间只含有零向量的向量空间