线性变换和特征值学习教案

1、会计学1线性变换和特征值线性变换和特征值第一页，共64页。及及即即T是是的线性映射。的线性映射。y = T(x)Ax1111121221222212nnmmmnmnyxaaayaaaxaaayxnmRR到y = T(x)AxnmRR到1122,y = Axy = Ax若121212yy = AxAxA xx11kkyAxnmRR到第2页/共64页第二页，共64页。E:E()=, V,k,VRkkkE(+)=+=E()+E(),E( )= = E()第3页/共64页第三页，共64页。()ijaAnnxAx =xx( I-A)x00)(xIA第4页/共64页第四页，共64页。称为方阵A的特征多项式

2、，方程称为方阵A的特征方程，特征值即为特征方程的根。由于是 的 次多项式，所以方程在复数域内有 个根（重根按重数计算）。xnnI-A0111212122212( )0nnnnnnaaaaaafaaa( )f( )0f( )fn( )0fn第5页/共64页第五页，共64页。方程组的非零解 ，它就是A对应于特征值 的一个特征向量（不是惟一的）。)(f)()()(21nf0)(fn,21i()iI-A x0ipi第6页/共64页第六页，共64页。可得它的一个基础解系可得它的一个基础解系324202423A232422(1) (8)423IA1231,8 121, 0(-I-A)x1234240211

3、04240 xxx 第7页/共64页第七页，共64页。值8的全部(qunb)特征向量。112,0,01121212( ,kkk k1211 388( I-A)x0212333,(0)kk 3第8页/共64页第八页，共64页。zhn)A的迹，记为的迹，记为n12,n n121122nnnaaa12n A1122nnaaa( )tr A第9页/共64页第九页，共64页。11AA( )adj A()mmNmAm1011( )mmmmfaaaaAAAAI1011( )mmmmfaaaa第10页/共64页第十页，共64页。，即，即-2,13,-8。112021001A112021(1)(2)(1) 00

4、01I-A=f3(A) = 2A +A-5I3()25iiif第11页/共64页第十一页，共64页。，即1A-1B = I+A0I-B12320, Aipi1ipp-1iiAppiiI=1(1),1,2,3ippi-1ii(I+A )1IA11i32,02第12页/共64页第十二页，共64页。12,m ,12m , ,12,m ,12m , ,mm第13页/共64页第十三页，共64页。A)直接给出基础解直接给出基础解p,将将n个特征个特征列向量列向量p排在一起排在一起(yq)，就是的，就是的特征向量矩阵。特征向量矩阵。第14页/共64页第十四页，共64页。第15页/共64页第十五页，共64页。

5、第16页/共64页第十六页，共64页。 -0.4941 -0.5580 0.6667 -1.0000 0 0 -0.4720 0.8161 0.3333, 0 -1.0000 0 0.7301 0.1500 0.6667 0 0 8.0000plamda第17页/共64页第十七页，共64页。n-1P AP = B-1P AP()( )RRABA = B第18页/共64页第十八页，共64页。，称为把矩阵A对角化，也称矩阵A可对角化。11AB与n12nOO12,n -1P AP = 第19页/共64页第十九页，共64页。特征值特征值 的特征向量。由于矩阵的特征向量。由于矩阵P可逆，可逆，det(P

6、)0，必必线性无关。线性无关。nnn12nP = p ,p ,p-1P AP = AP = P1212,nn12n12n12nOA p ,p ,p= p ,p ,ppppO1,2,iiniiAp =piipi,12np ,p ,p第20页/共64页第二十页，共64页。定可对角化。定可对角化。12,n n12np ,p ,pn12nP = p ,p ,pAP = P12n-1OP AP = On第21页/共64页第二十一页，共64页。110430102A2110|430(2)(1) ,102I-A1232,112010T1p231210420101I-A10101200013232xxxx 12

7、 1 T2p第22页/共64页第二十二页，共64页。因此不能对角化。 0 0.4082 0.4082 2 0 0 0 0.8165 0.8165, 0 1 0,2 1 -0.4082 -0.4082 0 0 1rpplamda第23页/共64页第二十三页，共64页。正交。正交。12, 12p ,p12121122App , App ,1122TTTTTT121212121212p p( p ) p(Ap ) p =p Ap =ppp p12()0T12p p12T12p p = 012p,p第24页/共64页第二十四页，共64页。(cnzi)n个正交单位特征向量。个正交单位特征向量。-1TP

8、AP = P AP = rr第25页/共64页第二十五页，共64页。0I-A12,r 22, , ()rrttttn11ttiitiit,ip (i =1,2n),n1ppP-1P AP = 第26页/共64页第二十六页，共64页。400031013A,-1PP AP = 求一个正交矩阵使为对角矩阵22400|031(4)(68)(2)(4) ,013 AI1232,4故得特征值12(A-2I)x012320000110 ,0110 xxx 121301,1xxkx012.121p第27页/共64页第二十七页，共64页。234,(4 )0,AI x当时由即：112233000001100110

9、 xxxxxx 任取122331001 ,01xxkkx 23,k k010 ,12012 23pp第28页/共64页第二十八页，共64页。0101/201/21/201/2123P = p ,p ,p244-1TP AP = P AP 0 0 1.0000 2 0 0 -0.7071 0.7071 0, 0 4 0 0.7071 0.7071 0 0 0 4Plamda第29页/共64页第二十九页，共64页。1,2,nx xx21,2,11 112 1213 1 31122222232322(,)22222nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa xa x xa x

10、 xa xijafijaf第30页/共64页第三十页，共64页。ijjiaa21,2,11 112 1213 1 3112212 122223232221122(,)nnnnnnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa x xa x1111212122221,2,12,nnnnnnnnxaaaaaaxx xxaaax f Tx Ax11121121212212,nnnnnnnaaaxaaaxaaaxAx第31页/共64页第三十一页，共64页。3231212423222143213223),(xxxxxxxxxxxxxxf1,

11、1, 3, 144332211aaaa1221133114411,1,0aaaaaa2332244234433,0,02aaaaaa100001231023310111Af第32页/共64页第三十二页，共64页。n分别作下列二个可逆线性变换，分别作下列二个可逆线性变换，求新二次型求新二次型. f Tx Axf TTTx Axy (C AC)y2221122rrd yd yd yff22121223244fxxx xx x第33页/共64页第三十三页，共64页。112233112012001xyxyxyBY1122331211011001/2xyxyCYxy22123232(2)(2)fyyyy

12、y123233234(2)(2)4()yyyyyyyy 22212324yyy第34页/共64页第三十四页，共64页。标准形不是唯一的。12312002201211( ,)11021201111 1/2020001y y yTC AC2222012 1101201100200 1/21111123231(,)11yfy yyyy 222123yyyf第35页/共64页第三十五页，共64页。这个二次型称为这个二次型称为(chn wi)实实二次型的规范形，显然它是唯二次型的规范形，显然它是唯一的一的. f Tx Ax22221111pppprrfk yk ykyk yik1,2,irrizkyii

13、i, 2 , 1,1222211pprfzzzz第36页/共64页第三十六页，共64页。它等于正惯性指数，而系数为它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数也是唯一确负的平方项的个数也是唯一确定的，它就等于负惯性指数。定的，它就等于负惯性指数。f Tx Ax22221111pppprrfk yk ykyk yik1,2,irf第37页/共64页第三十七页，共64页。某些某些 是重根，则将其对应的特是重根，则将其对应的特征向量正交化、单位化。这样征向量正交化、单位化。这样便可得到便可得到n个两两正交的单位特个两两正交的单位特征向量征向量f0AI(1,2, )iiti(1,2, )it0iAI x

14、i,1,2,n 第38页/共64页第三十八页，共64页。算出的特征向量矩阵是一样的，只是排列的顺序不同. ,1,2,nP = ( )f Tx Ax2221122nnfyyy第39页/共64页第三十九页，共64页。使二次型使二次型 出现平方项，再按上出现平方项，再按上面方法配方。面方法配方。ixixix0()ijaij,iijjijkkxyyxyyxy ki jf第40页/共64页第四十页，共64页。5225ATx Ax1221211 222525454825xfxxxx xxxTx Ax第41页/共64页第四十一页，共64页。第42页/共64页第四十二页，共64页。其中其中cossinsinc

15、osP1y2y1y2y1x1x2x2x第43页/共64页第四十三页，共64页。1yP1cossinsincosR = P1122524825TyxyyyTTTTAx = y R ARy =RRy Dy0.70710.70710.70710.70710.70710.70710.70710.70711RR= P 及 第44页/共64页第四十四页，共64页。3007TR AR1221212230374807yyyyyyTx Ax22221211 22122221,545555f x xxx xxxxx第45页/共64页第四十五页，共64页。112222,5yxxyx122121212250,54.2

16、4804.2yf x xyyyyyTx Ax1122125125,021 5021 5yxyx1R即2211228516xx xx第46页/共64页第四十六页，共64页。第47页/共64页第四十七页，共64页。n图图6.3 二次型曲二次型曲面的几种面的几种(j zhn)类型类型第48页/共64页第四十八页，共64页。2211 112122221 12220a xa x xa xb xb xcA的特征值 对应圆锥曲线的类型 驻点是否极值点 (正定或负定) 椭圆极值点 (不定 )双曲线 鞍点（费极值点） 或 (半正定 )抛物线极值线 12120 120 1020第49页/共64页第四十九页，共64

17、页。定理定理6.8 n元实二次型元实二次型正正定定(zhn dn)的充要条件是它的充要条件是它的标准形中的的标准形中的n个系数全为正，个系数全为正，或或 的正惯性指数为的正惯性指数为n。0 x0( 0)f Tx Axf Tx Ax0( 0)f Tx Axff Tx Axf第50页/共64页第五十页，共64页。分必要条件是分必要条件是A的特征值全大于的特征值全大于零。零。f Tx Ax2222211nnydydydfnidi, 2 , 1, 0, 0 x 0 xCy12222211nnydydydf00kdkey 0eCx1k0kdfnidi, 2 , 1, 0ff第51页/共64页第五十一页，

18、共64页。 3） 实对称矩阵实对称矩阵A的特征值全大的特征值全大于于0； 4） 正惯性指数正惯性指数p=n；)(ijaA11121212212kkkkkkkkaaaaaaaaa f Tx Ax0f Tx,x Ax有f第52页/共64页第五十二页，共64页。 4）实对称(duchn)矩阵A的各阶顺序主子式中，奇数阶的全小于0，偶数阶的全大于0 11121121220,0,0aaaaaAf Tx Axf第53页/共64页第五十三页，共64页。A为正定矩阵来解决为正定矩阵来解决22256644fxyzxyxz f522260206A11121121225250,260,80026aaaaa Af第5

19、4页/共64页第五十四页，共64页。32312123222132122232),(xxxxxxxxxxxxf1111213A21110,0,211212012 A(12)21f第55页/共64页第五十五页，共64页。m nA,u,AuvAvu2=TTA AuA vu2=TAA vAuv第56页/共64页第五十六页，共64页。其中，其中， 是矩阵是矩阵U的第的第i列列是矩阵是矩阵V的第的第j列列 .12,n 1210,rnTAUSVr0S0012(,.)rdiag r12nTTTT1122nnA = U SVu v +u v +u v(i1,2,m)(j1,2,n)iujv第57页/共64页第五十七页，共64页。门限值的特征值中，最大和最小的两个元素之比，就是矩阵的条件数，可以调用r=cond(A)算出。第58页/共64页第五十八页，共64页。 2 7 9 -5 4 -9 -9 5 3 -2 -2 5 -1 -3 5 -4 9 0 9 -4A 0.6084 -0.1647 0.7126 -0.3081 -0.7146 -0.0499 0.6750 0.1767 0.3385 -0.0071 0.1132 0.9341 0.0679 0.9851 0.1541 -0.