第三讲 连续时间随机过程的微分与积分

1、随机信号分析随机信号分析教学教学组组1.2 1.2 连续时间随机过程的微分和积分连续时间随机过程的微分和积分 实际中，经常涉及到随机过程的微分和积分问题。实际中，经常涉及到随机过程的微分和积分问题。对于通常函数而言：这些运算即是极限运算。对于通常函数而言：这些运算即是极限运算。对于随机过程而言：这涉及到随机变量序列的极限和收敛对于随机过程而言：这涉及到随机变量序列的极限和收敛 问题，这些极限都是在均方意义下定义的。问题，这些极限都是在均方意义下定义的。为了讨论随机过程的微分和积分，首先讨论随机过程的连续性。为了讨论随机过程的微分和积分，首先讨论随机过程的连续性。1随机信号分析随机信号分析教学教

2、学组组2一一 随机过程的连续性随机过程的连续性 1 确定函数连续性定义：确定函数连续性定义：对于确定性函数对于确定性函数 ，若若)(xf000lim ()()0 xf xxf x 则则 在在 处连续。处连续。)(xf0 x随机信号分析随机信号分析教学教学组组32 随机过程随机过程 连续性定义连续性定义 如果随机过程如果随机过程 满足满足 )(tX)(tX0)()(lim20tXttXEt则称则称 在均方收敛意义下在在均方收敛意义下在t点连续。点连续。简称随机过程简称随机过程 在在t点均方连续。点均方连续。)(tX)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组43 随机过程随机过程 的的相关函数相

3、关函数连续，则连续，则 连续。连续。)(tX)(tX2()( ) (,)( ,)(, )( , )XXXXE X ttX tRtt ttRt ttRtt tRt t 因此，如果对因此，如果对 时刻，函数时刻，函数 在在 点上连续，则随机过程点上连续，则随机过程 必在必在 t点上连续。如果点上连续。如果 沿着沿着 处处处处 连续，则随机过程连续，则随机过程 对于每个对于每个t都是连续。都是连续。 21,tt),(21ttRXttt21)(tX),(21ttRX12tt)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组54 随机过程随机过程 均方连续，则其数学期望连续。均方连续，则其数学期望连续。 )(

4、tX证证2222YEYEYEY)()()()(22tXttXEtXttXE由均方连续的定义可知，当由均方连续的定义可知，当 ，则不等，则不等式左端趋于式左端趋于0，那么不等式的右端也必趋于，那么不等式的右端也必趋于0。（均值的平方不可能小于（均值的平方不可能小于0） 0 t)()(tXttXY设设随机信号分析随机信号分析教学教学组组6即：即： 0)()()()(tXEttXEtXttXE 注意注意 为确定性函数，由前面知识可为确定性函数，由前面知识可知连续。知连续。 )(tXE)(lim)(lim00ttXEttXEtt可将此结果写成可将此结果写成表明：表明：求极限和数学期望的次序可以交换。求

5、极限和数学期望的次序可以交换。随机信号分析随机信号分析教学教学组组7二二 随机过程的导数随机过程的导数 预备知识：预备知识： 对于一般确定性函数，高等数学给出的对于一般确定性函数，高等数学给出的可导定义如下：可导定义如下： 一阶可导：一阶可导： 如果如果 存在，则存在，则 在在 t 处可导，记为处可导，记为 。 0( )()( )( )limtdf tf ttf tftdtt )(tf)(tf 随机信号分析随机信号分析教学教学组组8二阶可导：二阶可导： hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00 存在，则存在，则 二阶可导，记为二阶可导，记为 。 ),(tsft

6、stsf ),(2如果如果随机信号分析随机信号分析教学教学组组91 随机过程可导的定义随机过程可导的定义 随机过程随机过程 的导数定义为一个极限：的导数定义为一个极限：)(tX0( )()( )( )tdX tX ttX tX tlimdtt 如果这个极限对于过程如果这个极限对于过程 的所有样本函数的所有样本函数都存在，那么都存在，那么 具有导数通常的意义。具有导数通常的意义。 如果这个极限在均方意义下存在，称如果这个极限在均方意义下存在，称 具具有均方意义下的导数。有均方意义下的导数。)(tX( )X t)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组10如果随机过程如果随机过程 满足满足 (

7、)X t0)( )()(lim20tXttXttXEt则称则称 在在t时刻具有均方倒数。时刻具有均方倒数。)(tX随机信号分析随机信号分析教学教学组组112 判别方法判别方法 0)()()()(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt)()()()(222221111ttXttXttXttXE),(),(),(),(1),(),(),(),(1),(),(),(),(1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXX

8、XXX 判断一个随机过程是否均方可微的方判断一个随机过程是否均方可微的方法是采用柯西准则，即法是采用柯西准则，即 而而随机信号分析随机信号分析教学教学组组12若若 时，存在二阶混合偏导时，存在二阶混合偏导12ttt21212( ,)XRt ttt 则则122111222,012222121212121212()( )()( )lim() ( ,)( ,)( ,)20ttXXXX ttX tX ttX tEttRttRttRtttttttt 随机过程在均方意义下可微随机过程在均方意义下可微(可导可导)的的充分条件充分条件：相关函数在它的自变量相等时，存在二阶混合偏相关函数在它的自变量相等时，存在

9、二阶混合偏导数且连续，即存在导数且连续，即存在 2121212),(ttXttttR 随机过程存在导数，首先该过程必须是连续的，但随机过程的随机过程存在导数，首先该过程必须是连续的，但随机过程的连续性不能保证过程有导数。连续性不能保证过程有导数。随机信号分析随机信号分析教学教学组组133 数字特征数字特征 (数学期望数学期望和和相关函数相关函数) 随机过程导数的数学期望等于其数学随机过程导数的数学期望等于其数学期望的导数，即期望的导数，即 )()(tXEdtddttdXE证明：证明： 000( )()( )lim()( )lim()( )lim( )( )ttXXtXXdX tX ttX tE

10、EdttX ttX tEtmttmttdmtmtdt 随机过程随机过程 连续性连续性随机过程的导数运算与数学期望的运算次序可以交换。随机过程的导数运算与数学期望的运算次序可以交换。随机信号分析随机信号分析教学教学组组14 随机过程导数的相关函数，等于可微（可导）随机过程导数的相关函数，等于可微（可导）随机过程的相关函数的混合偏导数随机过程的相关函数的混合偏导数 212121212( , )( , )( )( )XXRt tRt tE X t X tt t 证明：证明： 12121211122212012011122201201122122112120120()( )()( )( )( )lim

11、.()( )()( )lim.(,)( ,)(, )( , )limttttXXXXttX ttX tX ttX tE X t X tEttX ttX tX ttX tEttR tt ttR t ttR tt tR t tt t 21212( , )XR t tt t 随机信号分析随机信号分析教学教学组组15例例 数学期望数学期望 、相关函数、相关函数 随机信号随机信号 。 求随机信号求随机信号 的均值和相关函数。的均值和相关函数。 ( )5sinXmtt2210.5()12( , )3ttXRt te( )X t( )( )Y tX t( ) ( )( )5cosdX tdE Y tEE X

12、 ttdtdt221222121220.5()121212120.5()0.5()221212( , )( , )3() 331 ()ttXYttttRt tR t tet tt ttteettt 解解随机信号分析随机信号分析教学教学组组16三三 随机过程的积分随机过程的积分 1 预备知识预备知识 对于确定性函数对于确定性函数 ，)(xf01( )lim()nbiiaif x dxfx其中其中 1,max,1,2,.,iiiixxxxin随机信号分析随机信号分析教学教学组组17 给定实随机过程给定实随机过程 ，若在确定区间，若在确定区间 上每个样本函数下列积分存在上每个样本函数下列积分存在则称

13、则称Y为随机过程为随机过程 的积分。的积分。 由于对每个试验结果由于对每个试验结果 ，积分都可以，积分都可以得到一个数得到一个数 ；但对不同的；但对不同的 ，积分值，积分值是不同的，于是对于所有的实验结果，是不同的，于是对于所有的实验结果，Y是是一个随机变量。而对于每个样本函数，此积一个随机变量。而对于每个样本函数，此积分是通常意义下的积分。分是通常意义下的积分。 在更一般的情况下，在更一般的情况下， 的积分并不的积分并不对每一个对每一个 都存在，此时需要换一种方式都存在，此时需要换一种方式来定义。来定义。( )X t, a b( )X tbadttXY)( )Y( , )Xt随机信号分析随机

14、信号分析教学教学组组182 随机过程积分的定义随机过程积分的定义 随机过程随机过程 在确定区间在确定区间 上的积分上的积分Y是一个随机变量，即是一个随机变量，即 ( )X t, a bbadttXY)( 若有若有 0)(lim120niiitttXYEi则称则称 为随机过程为随机过程 在在 上的均方积分。上的均方积分。01( )lim( )inbiiatiYX t dtX tt , a b( )X t随机信号分析随机信号分析教学教学组组193 数字特征数字特征(数学期望、均方值、方差、相关函数数学期望、均方值、方差、相关函数) 随机过程积分的数学期望等于随机过程随机过程积分的数学期望等于随机过

15、程数学期望的积分。数学期望的积分。 0101 ( )( )( )( )( )nbiiainbiiaibXaE YEX t dtE limX ttlimE X ttE X t dtmt dt 证明证明：随机信号分析随机信号分析教学教学组组20 随机过程积分的均方值等于随机过程自随机过程积分的均方值等于随机过程自相关函数的二重积分。相关函数的二重积分。211221212121212121212( )( )( )( )( )( )( )( )( , )bbaabbaabbaabbaabbXaaE YEX t dtX t dtEX t X t dt dtE X t X tdt dtE X t X td

16、t dtRt t dt dt 证明：证明：随机信号分析随机信号分析教学教学组组21222121211221212121212 ( , )( )( )( , )( )( )( , )YbbbbXaaaabbXXXaabbXaaE YE YRt t dt dtE X tdtE X tdtRt tmt mtdt dtKt t dt dt 随机过程积分的方差等于随机过程协方差随机过程积分的方差等于随机过程协方差的二重积分。的二重积分。 证明：证明：随机信号分析随机信号分析教学教学组组22 给定实随机过程给定实随机过程 ( )X t( )( )taY tXd为随机过程为随机过程 在区间在区间 的变上限积

17、分。的变上限积分。, a t( )X t随机信号分析随机信号分析教学教学组组2311( )( )taY tXd22( )( )taY tXd1212121212( , ) ( ) ( )( )()( )()( ,)ttYaattaattXaaR t tE Y t Y tEXdXdE XXd dRd d 随机过程积分的相关函数等于对随机过程的随机过程积分的相关函数等于对随机过程的相关函数作两次变上限积分（先对相关函数作两次变上限积分（先对t1, 后对后对t2积分）积分） 随机信号分析随机信号分析教学教学组组24例例 随机信号随机信号 ，其中，其中V是均值为是均值为5，方，方 差为差为1的随机变量

18、。新的的随机信号的随机变量。新的的随机信号 均值、相关函数、协方差函数和方差。均值、相关函数、协方差函数和方差。3( )cos2tX tVet0( )( )tY tXd解解 5, 1E VD V222 1 526E VD VE V ( )X t均值和方差为：均值和方差为：333( )( )cos2 cos2 cos2tttXmtE X tE Vetet E Vet121212331212123()3()21212( , )( )( )cos2cos2 cos2 cos226cos2 cos2ttXttttRt tE X t X tE Vet Vetett E Vett随机信号分析随机信号分析教学教学组组25( )Y t的均值：的均值：300( )( )5cos2ttYXm tmded （分部积分两次）（分部积分两次） 35( )(2sin23cos2 )313tYmtett的相关函数：的相关函数：(