电大微积分初步_2014年1月试题及答案剖析

1、中央广播电视大学20132014学年度“开放专科”期末考试微积分初步试题2013年1月一、单项选择题（每小题4分，本题共20分）1函数f（x）=x的定义域是（C）.ln（x+2）C.（-2,-1）U（-1,+Q2当k=(x2+1x土0B)时，函数f(x)斗，在x=0处连续.k,x二0B.13.下列结论中（D）不正确.D.f（x）在x二x0处连续，则一定在x0处可微.4下列等式成立的是（A）.A.fJf（x）dx二f（x）dx5下列微分方程中为可分离变量方程的是（C）dyC.二xy+y;dx6函数f(x)=xln(x-2)+i：5-x的定义域是（D)D（2，3）U（3，57.设y=lg2x，则d

2、y=（A）A.1dxxln108下列函数在指定区间（-8,+8）上单调减少的是（B）.B3-x9.若函数f(x)二x+JX(x>0),贝叮广(x)dx=(C).10微分方程y'二0的通解是(d)d.y=c二、填空题(每小题4分，本题共20分)1.函数f(x1)二x22x+2，贝yf(x)二x2+12.若lim沁=3.xt0x曲线y=x-2在点(1,1)处的切线方程是.x+2y-3=04.J(sinx)rdx二sinx+c5.微分方程xy+(y')4sinx二ex+y的阶数是36.函数f(x2)二x24x+2，贝Vf(x)=x2-2若函数f(x)<3xsin+1,x丰

3、0,x，在x=0处连续，则k=_1k,x=009.1)8.曲线y=、：x在点(1,1)处的切线斜率是9.J1(sinxcos2xx2)dx二110.微分方程(y")3+4xy二y6sinx的阶数为5.(12.1)三、计算题(本题共44分，每小题11分)1.计算极限lim一9xt3x22x3x29(x+3)(x3)x+33+33解：lim=lim=lim=-xt3x22x3xt3(x+1)(x3)xt3x+13+1212.设y=Inx+sin，求dyx解：y'_1+cos1(1)r_11cos1xxxxx2111dy二y'dx_(_cos)dxxx2x1cos3.计算不

4、定积分Jxx211一sm+cxcos11解：Jxdx=-Jcosd()_x2xx4.计算定积分Jexlnxdx1解：Jexlnxdx=x2lnx12eJexdx=e211221一一x24e=(e2+1)14x2+2x155.计算极限limx3x29x2+2x15(x3)(x+5)解:lim_lim_limxt3x2一9xt3(x+3)(x一3)xt3x+36.设y_xix+cos3x，求dy3解：y_x2+cos3x,sin3x)dx7.计算不定积分（2xl）10dx解：8.计算定积分J1xexdx0J(2x-1)10dx=-J(2x-1)10d(2x-1)二丄(2x-1)11+c222解：J

5、*1xexdx二xex0-J1exdxe-(e-1)100四、应用题（本题16分）1.欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？32解：设底边的边长为x，咼为h，用材料为y，由已知x2h=32，得h=x232128y=x2+4xh=x2+4x-=x2+x2x令y，二2x-128二0，解得x=4是唯一驻点，易知x=4是函数的极小值x232点，此时有h二=2,所以当x=4,h=2时用料最省。422. 用钢板焊接一个容积为4m3的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？（期末复习指导P.37四应用题

6、第3题）解：设水箱的底边长为x,高为h,表面积为S,4由题意x2h4，则h-，x216所以S（x）x2+4xhx2+，xS'(x)二2x-16,x2令S'(x)=0，得X=2,因为本题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当x=2,h=1时水箱的面积最小S(2)=12.此时的费用为：S(2)X10+40=160(元)、，m“口jhj*十川”、v,'iA丿匸f亠J.F&.9/1. 函数/(X)“4-K的定义域足(-2,l)u(,4ln(x42)2函数/(x)=-4的定义域是(-2,-I)u(-1,2ln(x4-2)3函数/(x)-“4-J的定义域是(-1,0)2(0

7、,2.ln(x41)4. 函数f(x)=-的定义域是(-2,-1)u(-1,如)ln(x4-2)5. 函/(.V)=:的定义域是(2,3)u(3,4s)ln(x-2)6函数/(X)=,1的定义域是72)7函数/(H)=1+a/5-V的定义域是(-1,0)2(0,5)ln(X+1)8函数/(x+2)二+4x+7,则/(X)=L+'9函/(x1)=x2-2x+7,则/(x)=?2-6.10. 函数/(x+2)=x2+4x+5,则/(x)=X1+I11. 设/(x+1)=Z2+2x-1=才2-2I忆着函数/(工+1)+'+2x+2/(x)=y=x2B若葯数/(X-1)=.V2-2x-

8、5,9Afx)=6H-函=3(X1l)2的单迥増加区间1,400)极限与连渎(般是填空题的第2題)若lim=2f则i=2-z°kxsin6x2若Hm二2,则i=3.i0sinkxsin2x3. lim=2.x14. timxsin=1.*-*exsinx5. lirn=0.2R2xI x+2,x无06. 若函f(x)=，在x=0处连续则k=2k.x=027. 若函5ft/（x）=xsinU在丫=0处连续，贝必=丄x=02xsin+A,x扯08设苗数/(x)=x在x=0处连续，则*=21.xsin+t,x09若函数/（工）“x在-v=0处连续.则*=t1, x=0丄-2_310. 函数

9、，二一的何断点是1x+I导数的几何总义（一菠足填空起的第3题）1仙线y=ex在点（0,1）处的切线方=x41.2. |U|线y=yfx在.点(1,1)处的训线方程足y-x+2 27丄三3曲线在yrx在点（1,1）处的训线方程足+：久曲线在任总一点处的切线斜率为J7,且曲线过点（1,1）,則曲线方程为y二-X7+丄3 35. 曲线/（X）=Jx+1在（0,1）点的切线魁率是丄.6曲线/（x）=71在点（1，2处的切线斜率是丄27曲线7=V7在点（I,1）处的训线斜率足丄.2_7曲线y=忑在点(1,I)处的训线斜率足丄.8曲线/(x)=ex+1在(0,2)处的切线斜率是丄.导数与枳分(一般是填空题

10、的第A題1若厂A(x-1)(*-2)0-3),则；(0)-戈.2. LJII/(x)=2则厂(x)=2x(ln2)3己知/(工)二J+3J则厂(3)=27(14In3).4. 若Jf(x)dx=sin2x+c则/(x)-2cos2x5. ln(x2+l)dx=g6. f2xdx=4-cJIn27若丄足/（才）的一个嵯函数，»J/V）=29. J(.sinx)zd.v=sinx+c3)dx=F(2x-3)+c211. J(5xS-3x+2)dx=§12Jde'+C13若Jsinxdx=-cosx牛C14由定枳分的几何盘义知，-x2dx=-al%415.若jf(x)dx

11、=cos2x4-c,则fx)=-4cos2x16.若J/(才)必=-vInx-Fc则f'(x)X微分方程的基本处识(般足填空鎚或这择题的第5题)1. 微分方程y,y(0)=I的特解为y=r2. 微分方程=2x満足初始条件y(0)=1的特解为J，=X2+I3. 微分方yiy=0的通解为y=：nr"4微分方程'+4xyw=y5sinx的阶数为3.5. (yY+lny4-7W=sin2x为3阶微分方程.6. 緻分方+4xy<4)=y$sinx的阶数为27. 微分方程xym+(”')"sinx=ec*>的阶数是？&微分方程(才)彳+4秒口

12、/血*的阶数为生9. 微分方程°+(»屮+卩“0的阶数足210. 微分方程（/）'+昇。sinX=/的阶数为411. 微分方程兀”+（，'）'=0的阶数足12. 微分方程（/）'+4x<y，S）=yhsinx的阶数为。二、单项这择题（侮小题4分，20分）咬数的的基本知识（般是单项选挥也的第1.&）设函数y=-Vsin.v,则该甬数足（A.）A.镯苗数B.奇函数C.卄奇卄偶函数D既奇又偶函数2下列函数屮为奇函数是（D.）AxsinxBInxCx4-x*Dln(x+V1X'3. 设函数），=则该函数足（B.）26.函数y的网

13、形关丁（A.）对称.A.奇函数B假函数C卄奇卄僻函数D.既奇又偶函数XX4设护e+C,则该函数是(B)4.攻例取y=2A.奇函数B偶晞数c.卄奇TF能苗数D.既奇又偶函数XX5.设函数y=-一2,则该函数是(A)A.奇函数B偶函数C.卄奇卄偶函数D.既奇又偶函数A.坐标販点B.*轴C.y轴D.坐标收点D单调増加D先塔百减D.先减后增C先单调上升再单调下降1）单调上升2+27函数/（x）x的关丁（D.）对称2Ay=xB.x轴C.y紬&函数y=x*4-4x-6在区间（-4,4）足（A）A.先减后増B.光増后减C.单调减少9. 用数y=x4-2x4-7在区间（-2,2）足（C.）A.单调减少

14、B.单调堆加C先减后増10. ®=（x+I）2在区间（-2,2）&（D.）A单调隼加B.单调减少C先增后碱H函数尹=+1在区间（-2,2）足（B>A.单调下降B.先单调下降再单调上升12. 下列函数在指定区间（-8,+8）上单洞减少的足（D.）AsinxBc'CD3-x13. 下列函数在指定区间（_e,+8）上单调増加的是（B.）AsinxB2CD.5-x114函数y=+lnx的定义域为（D）X-4Ax>0B24Cx>0且x1Dx>0且xh415.函/(x)=一-一的定义域足（C）ln(.v+1)A.(-1宀)B.(0,+a)C.(-1,0)5

15、0,R)D.(0,l)u(l)16.设(兀+1)=x2+2.V-3,则/(X)=(D.)X1-4Ax1-1B.x1-2C:.J-4IXL7.设/(x+11)=X*1,则/(x)=(C.)A.X(X4-1)B.v2Cx(x-2)D.("2)(1)18.设/(X-1)=X2-1,则/(X)=(A.)A.X(X4-2)B.V1C.X(x-2)D.(x+2)(x-1)极限与逹续(絵足年或班洋題的越2题)“sinx1若函8(/(x)=,则limf(x)=(A-).B0D.不存在A. 丄2sinx2. Qll/(x)=1,当(C.)时./(x)为无穷小址.XT+83. 当X->0时，下列变

16、址屮为无穷小i±的是(匚)xsinxB.Cta(1+x)xD.2Xx-sinx4.己知/(x)=当才一>X扎+3C(D.)时.f(x)为无穷小址B.gC.1fx1+2,.v05.当A：=(C.)时.函数f(x)=4；,在x=0处连续.k,x=0A0B1C2D3fex4-2,x06.当仪=(D.忖.函数=x在X-0处连续.k,一0A0B1C2D3fex4-1,.207当&=(C.)时，预数f(x)=<在x=0处连续.k.-v=0A0B1C2De+1r.x2+1,20&当(A.)时，函数/(x)=<,在x二0处连续.Ikx=0ALB2C-1D0x&quo

17、t;-1.x09.当*=(B.)时，苗数/(x)=彳,在x=0处连续.1kx=0A.0B.-1C1D210. 葯数二'的何断点足<A.>-3x+2B.x=3Cx=l,x=2,x=3D无间断点B.函数的极值点一定发生在其胚点上.D.函数的极值点一定发生在不可导点上.A极值点B.披但点C.驻点D间斷点6下列等式屮止确的是(D.)A.sinxdx=d(cosx)IB.Inxdx=d()x<K2V?)导数与积分（般是单项进舜题的第34题）1. M/（x）=Inx在戈=巳处的切线方程足（C.）1I1h.y=XBy=X1C.yn才+1eee2. 在切线船率为2:（的枳分曲线族屮，

18、通过点（1,4）的曲线为（C.Ay=x2+IBy=x：+2Cy=/+33. 下列給论屮（C）止确.A/（x）在x=x0处连续则一定在.J处可微.C.f（x）在x：=q处不逹续，则一定在X。处不可94. 若函数厂3在点人：处可站则（B.）是错泯的.A.函数F（才）在点“：处冇定义Blin>/（x）=A,但MK/（xjc.甬数fG）在点处处连续d.函数fG）在点旳处可微5. 澜足方程厂（x）=0的点一定足甬数/（X）的（C.）7以下等式戚龙的足a.A.In3B-r=<1(1+J)1+xdxlC=fly/xD.Inxdx=d()A.dx2x9.若/(x)=x+BdxIn10C.dxxD.

19、1dxxln1010.下列等式成必的足(A.)A一(/(x)dx=f(x)d.v丿B.f厂(x)肛=/(x)11.Jx/V(x)d.v=(A.)C.-x22D.Cdj/(.v)dx=f(x)DC.-.v2fr(x)+c2D.12. 如果等式j/(x)erd.v二-ex+cX13. 下列无穷积分收敛的是(乩,则/(x)=<0.)C.D.-VA.B严IC.L-d.vD14.J(e"x.sinx+2x2)dx=(D.)A.OC.4D.-315. 设/G)足连续的奇函数，則定积分Jf(x)dx(3.D0A2(°f(x)dxB.|°f(x)dxC.if(x)dx16.

20、 下列结论屮(A)不止确.A. f(x)在x=x0处连续，则一定在叫处可微B. f(x)在.丫二处不连续则一定在.J处不可丫C. 可导甬数的极值点一定发生在其驻点上朗数是单调下降的D. 若/(x)在a,b内/'(x)<0恒冇则在a,b内II17. JVJ/(x)/xJx=+c,则/(x)=(B.)1I11A.8.-7C.一D.-XXXX18. 若J；(2x+=2,则0(A.1)1A.1B.-1C.0D.2微分方祝的埜本知识(绞足填空趣或选择题的第3题1微分方程(”)'+4xyw=ySsinx的阶数为(B.A.2：B.3；C.4：D.52.微分方程（”）'+4.&#

21、176;严=ySyin*的阶数为（C.D.5A.1B.2(3. 微分方程h=y+I的通仰是(A.).y=Cex1：B.y=e14. 微分方程=y4-1的通仰为（B.A.y=ce4-1:B.y=ctC.5. 微分方程八y,y（0）=1的特解为（CAy=0.5x6.函数j，二足微分方程D-B.y=e）的解C.D.B.A.yl-¥y=O7.微方T&yy的通解为(C.)<rxA.yeDy2y=0B.ycey=ce&下列微分方程屮为可分离变址方程的是（B.）dydyA.=x+y；B.dxdxC.=xy+$mx:d.rD.=x(y+x)dx9.下列微分方程屮，（D）足线性微

22、分方程.C.Dynsinx->,re=jInxAyx2*-cosy-yrBy'yyx=sinxs计算題（本題共44分，每小題M分:计算題（本題人44分，每小题1L分计绰极限（般足计律题的第1题）、，x6x+81计算极限hm2x-3.V+2x6x+R2.计算极限hm2x3v4-23.计算极限Hm2.V48.计算极限lim3x*+2x-15J-9x-19.计算极限lim2丨x-5x44W.计算极限Hmx-*fx-5x4-4(x-4)(x2)1解：原式=lim»(x-2心-1)原式七(日口2蚪z(x-2Xx+2)3和r曲式二lim»(x2)(x；2)4x-4=lim

23、*_I=limx+24律賦亠©m(x_4)(x-1)X-22lim6解:7解:(3)(2)2lim=4(x-3)(x+3)3x2-3x4-2”(X-IX-v-2)nm=2lim22丫+X-62丄(x.3)(x-2)3-V+2怙(X-lXx2)I=.=x-2z(X-x+2)(X45)(x-3)48.：凉式二HmS(一3)(.丫+3)39解匸原式=lim叶l)(x-1)X+1Hm=2z1(V-4)(.v-1)*-1x-43(x+5)(x-1)x+5610解:收式=limIhtiS52工亠(x-4)(x-l)i.v-43原式心一九212计算极限Km-一二.鬱解：(X-lXx+1)I,v-1

24、3x42.(x-2)(x-1)x-2113.计算极限lim3解：疏式=lim=lim*-1.V*4-5x6x-*1(X+6)(x-I)nx十67求导数h或求微分dy(假足计篦题的第2题)1.设y=+9求y'1解：yr=/-x2&x+1x3.设卩=.v2ex,求y'.3解：yf=2xex+=(一)=(2.Xx-I)4设y=sin5x+co,'x,求y'4解：y9-5cos5.v+3c<wxx(-sinx):=5cos5x-3sinxcos1xa3-sinx3寸5设y=x24-Incosx.求y'5解，yf=x+=x2kmX2cosx26设y=

25、Inxcos5x9求dy.6斛12yr=-4-3cosx(-sinx)1上dy=(3sinxcosx)dxXX7.设y=e"+cosx求dy7解*cc一2my=2estnxdy=-(2exX+sinx)dx8.设y=e'414-Inx9求dy.8解:,E1=e-1+e1dy=(卜)dx2Vx+1X2Jx+Ix9.设y=Inx+cose",求好.9解x"=2ex人T14/*V人I9解:9.设y=Inx+cose”，求3e13=_esmex=(丄_e10.设y二xyfx+Incosx求dy10解:XV=X2-rInCOSXr3|丄1/、y=x+(-sinx)2

26、cosx31dy=tanx)dx11设=24-sin3xf求dy.12.设y=ex4-xfx求dyy9=2hy2+3cos3xdy=(2In24-3cos3x)clx12解:3dy=(-2e2=+-x丄)dx2计篦不定积分（殺是计郑题的第3题）1计算不定积分“2*l），rtdx1f(2x-l)，nd.v-f(2x-1)"d(2.v-1)=一(2x1)"+cJ2J222.计算不定积分“12x）dx2解：f(1-2x)*d.rf(1-2x)?d(l-2x)=(12x)"+c2八203计算不定枳分卩1-2x）sdx5153解：f(I-2Jdx=-f(I-2JJ(1-2J

27、=-(1-2J+c12-12COS4一计算不定积分J一fdxIsin5.计算不定枳分J-dxcos7xX1sin111cosd=-sinXXXI11sind()=cos+cXXX6. 计算不定积分J一dwx17. 计绰不定枳分J-U：d.vsinyx寸cosyxrdx.|-dx=-ed()=_亡：+c&计算不定积分J9.计算不定积分J6解:10. 计算不定积分5/XX11. 计算不定积分j-j=dx10 °d.Y-2(1-b7T)2d(l+77)=-(1+V7)j+C1Vx13exl/11 S：f厂=dx=f厂亠=d(5+/)=2*v5+4-cJ5+/a/5+ex12.计偉不

28、定积分Jxcos.vd.v12J计算定积分（般定计算题的第4题）J1eL计算:定枳分fdx1：（zTiThTJ,xcosxdx-xsinJ.vinxdx=xsinx4-cosx4-cdx=f.:d(1+Inx)=2Ji+InxxJ+bix1Jl+In:v=213.计算定积分J*.vexd.v4.计算定积分j2xcxdx4解:5.计养定积分Jxed.v5解:J/e(I451nx)d(+51n.v)=(1+51nx)102e-2e4-2=21I2二一+1=1.1+5InJi*=(36-1)-106.计绰定积分2j*xe-xd.v2xezdx=2fxe'dx=-2xe7计算定积分JInxdx

29、j:Inxdx=xIn.yI；-J；dx=2e2-(e2-1)=e2+18.计算定枳分jvd.v8解:|；lnxdx=xlnx|：xdQnx)=e_*dx=19.计绰定积分J,xcosxdxzxccmxdx=xxinxf1sinxdx0几X=+CCX6X210.计算:定枳分f一伽xdxJo2x1/It-snxdx=|xsin还=-xcusxj+222-|cosxdx21亥尢LT11.计算定积分jsinsdx11娜：Jsinxdx=-xcos+jcosxt/.v=sin.v=四.应用题（本题Ki分）L欲做一个底为止方形，容积为32工方米的长方体开口容器.怎样妆法用料煨省？解：设底边的边长为x,禹

30、为h,用材料为y,由己知J*=K=32,h=二,x表面枳y=x2+4xft=.V2-,x4F>V令j：=2x-=0f得才=2?=64,此时x=4,h=-一2xx由实际问题可勿I,X=4足函数的极小值点，所以当X=4,h=2时用料最省。|17欲妆二个底为止方形，容枳为则工方米的长方体开口容器，怎样做法用料炭省？|（本題的解法与1同，只需把扫2.5代入即可。）108娜：设底边的边长为*禹为方用材料为y由己知方=108,A=x221082432表向枳y=x*+4.vft=x+4x=x+xx令y'222xt-=0解得X二2'二216此时X=6,h=3xxIQQ由实际问题可勿I,x-6足函数的极小值点，所以当x=6,A=3时用斜飛省。36匚2：欲做二F/ft班芳瓶暮积务62.5立方米甬诗命开焉器厂丽徹疾用舸姦省可解：本题的解法与1同，只帑把#62.5代入即可。2用钢板焊接一个容枳为4m'的底为止方形的无