第2章 流体静力学-2014

1、第二章第二章 流体静力学流体静力学 流体静压强及其特征 作用在流体上的力 流体平衡微分方程 重力作用下的液体压强分布规律 流体的相对平衡 液体作用在平面上的总压力解析法图解法 液体作用在曲面上的总压力二维曲面2.1 流体静压强及其特征流体静压强及其特征“静”绝对静止、相对静止APpA00lim一一. .静压强定义静压强定义平衡状态二二. .静压强特征静压强特征a.静压强方向沿作用面的内法线方向N/m2（Pa）反证法b.任一点静压强的大小与作用面的方位无关作用在流体上的力0limxyzmFff if jf km zmgfgm 1）质量力：作用在所研究的流体质量中心，与质量成正比重力惯性力单位质量

2、力重力AFA0lim2）表面力：外界对所研究流体表面的作用力，作用在外表面，与表面积大小成正比应力切线方向：切向应力剪切力内法线方向：法向应力压强AFlimpnA0AFA0limFAFnF表面力具有传递性流体相对运动时因黏性而产生的内摩擦力0F0)cos(0 xnxxFxnPPF质量力xFyFzF表面力证明：取微小四面体O-ABCxPyPzPnP11cos()026xnxpdydzpABCn xfdxdydzdydz21103xnxppfdx0dxnxpp nzyxpppp)z , y, x(fp 与方位无关与位置有关dzzpdyypdxxpdpp的全微分2.2 流体的平衡方程流体的平衡方程

3、xPxPxxFfdxdydz一一. .流体平衡微分方程流体平衡微分方程由泰勒展开，取前两项：质量力：0F0 xxxPPF12ppdx dydzx12ppdx dydzx2dxxpp2dxxpp用dxdydz除以上式，并化简得同理10 xpfx10ypfy10zpfz欧拉平衡微分方程（1755）01pf（1）（2）（3）11022xpppdx dydzpdx dydzfdxdydzxx二二. .力的势函数力的势函数(4)对（1）、（2）、（3）式坐标交错求偏导，整理得xyzpppf dxf dyf dzdxdydzdpxyz（）yzffzyyxffyxxzffxz力作功与路径无关的充分必要条件必

4、存在势函数W，力是有势力将（1）、（2）、（3）式分别乘以dx、dy、dz，并相加WWWdWdxdydzxyz（4）式可写为：WWWdxdydzdWdpxyzxWfxyWfyzWfz力与势函数的关系将上式积分，可得流体静压强分布规律三三. .等压面等压面：dp=0（4）式可写为：0 xyzf dxf dyf dzl dfl df0等压面性质： 等压面就是等势面 等压面与质量力垂直广义平衡下的等压面方程zfg zdpf dzgdz cgzp积分写成水头形式：单位m单位重量能量czgpzgp22112.3 重力场中的平衡流体重力场中的平衡流体或写成cgzpgzp2211单位Pa物理意义：能量守恒p

5、/g压强水头z位置水头压强分布规律的最常用公式：ghpzzgpp000帕斯卡原理（压强的传递性）00gzpgzp适用范围：1）重力场、不可压缩的流体2）同种、连续、静止一一. .压强的表示方法压强的表示方法a.绝对压强pab以绝对真空为零点压强pa当地大气压强maaabppghpp2.4 静压强的计算与测定静压强的计算与测定b.相对压强（计算压强、表压）pmc.真空度pv以当地大气压强为零点压强pghpppaabmabavppp注意：pv表示绝对压强小于当地大气压强而形成真空的程度，读正值！pv二二. . 压强单位压强单位工程大气压（at）=0.9807105Pa=735.5mmHg=10mH

6、2O=1kg/cm2（每平方厘米千克力，简读公斤）标准大气压（atm）=1.013105Pa=760mmHg=10.33mH2O换算：1kPa=103Pa1bar=105Pa1 1）测压计）测压计例 求pA（A处是水，密度为，测压计内是密度为的水银）解：作等压面ghgapAgahpA例 求pA（A处是密度为的空气，测压计内是密度为的水）解：ghpA气柱高度不计一端与测点相连，一端与大气相连三三. . 压强的测定压强的测定2 2）压差计）压差计例 求p（若管内是水，密度为，压差计内是密度为的水银）解：作等压面hgphgp21hgppp21h12两端分别与测点相连例 求p （管内是密度为的空气，压

7、差计内是密度为的水）解：hgpp21hgppp21h123 3）微压计）微压计sin1glghpnhlsin1（放大倍数）xyzdpf dxf dyf dzxfa app,z ,x00 xzppdzgdxadpaba00一一. .等加速直线运动流体的平衡等加速直线运动流体的平衡在自由面：相对压强：边界条件：等压面是倾斜平面gzaxppaabgzaxpxgaz0pogaxz2.5 流体的相对平衡流体的相对平衡a重力（g）惯性力（a）由0yzffg ，（惯性力）例一洒水车以等加速a=0.98m/s2在平地行驶，静止时，B点处水深1m，距o点水平距1.5m，求运动时B点的水静压强。解：gzaxpa=

8、0.98m/s2，x=1.5m，z=1m，代入OmH.gp2151注意坐标的正负号aoBzx例一盛有液体的容器，沿与水平面成角的斜坡以等加速度a向下运动，容器内的液体在图示的新的状态下达到平衡，液体质点间不存在相对运动，求液体的压强分布规律。解：cosxfasinzfagdzgadxadpzxp000sincosgzazaxpsincos注意：坐标的方向及原点的位置dzfdxfdpzx二二. .匀速圆周运动流体的平衡匀速圆周运动流体的平衡zrog2rzdpRdrf dzrR2zfg 边界条件：000app,z ,rrzpdzgrdrdp0020gzrp222在自由面：旋转抛物面grz2220p

9、注意：坐标原点在旋转后自由面的最底点由（惯性力）应用（1）：离心铸造机中心开孔例浇铸生铁车轮的砂型，已知h=180mm，D=600mm，铁水密度=7000kg/m3，求M点的压强；为使铸件密实，使砂型以n=600r/min的速度旋转，则M点的压强是多少？ 解：PaghpM41024. 1当砂型旋转gzrpMM2/22srn/202压强增大约100倍ghrM2/22Pa61025. 1应用（2）：离心泵（边缘开口）zo边界条件：当r=R，p=pa=0rRzpgdzrdrdp020gzRrp222222在r=0处，压力最低真空抽吸作用gzRp222应用（3）：清除杂质（容器敞开）杂质m1，流体m杂

10、质受力：mg（浮力）m1g（自重）m12r（惯性离心力）m2r（向心力）m1=m不可清除m1m斜下例1一半径为R的圆柱形容器中盛满水，然后用螺栓连接的盖板封闭，盖板中心开有一小孔，当容器以转动时，求作用于盖板上螺栓的拉力解：盖板任一点承受的压强为222rp任一微小圆环受力rdrppdAdP2整个盖板受力（即螺栓承受的拉力）gVgRgRrdrrdPPR44224242022注意：就是压力体的体积VgR442例2在D=30cm，高H=50cm的圆柱形容器中盛水，h=30cm，当容器绕中心轴等角速度转动时，求使水恰好上升到H时的转数解：O点的位置gRz.zhH z22022由上题可知zRgR2424

11、HhozzmzgRz2 . 02422mgRzz4 . 02222s/rad.972rpmn178602结论：未转动时的水位在转动时最高水位与最低水位的正中间Hhozz解得：例3一圆筒D=0.6m，h=0.8m，盛满水，现以n=60rpm转动，求筒内溢出的水量解：2602n180222.gRz利用例2结论溢出的水量体积320256021m.RzVrad/smz1.解析法a.总压力2.6 流体作用在平面上的总压力流体作用在平面上的总压力解析法图解法pdAdP ghdAdAgysinAydAgdPPsinAyydAcA受压面A对x轴的面积一次矩（面积矩）注意：h与y的区别ApAghAygcccsi

12、nb.压力中心dPydM 力矩合成DPydPydMMDCAyghghdAyDCAyydAyysinsinDCAyydAy2AyIAydAyyCxCD2dAyIx2受压面A对ox轴的面积二次矩（惯性矩）平行轴定理AyIICCx2AyAyIyCCCD2CCCCyAyIy常见图形的yC和IC图形名称矩形三角形CyCI2h312hbh32336hb梯形圆半圆babah23bababah2234362d464dd32421152649d例：封闭容器水面的绝对压强P0=137.37kPa，容器左侧开22m的方形孔，覆以盖板AB，当大气压Pa=98.07kPa时，求作用于此盖板的水静压力及作用点解：设想打开

13、封闭容器液面上升高度为mgPPa4807. 907.9837.137060p01m2mo4mymyC6 . 61160sin44333. 13412mhbICCCCCDymAyIyy65. 605. 06 . 646 . 633. 16 . 6mhC73. 560sin114kNAghPC22560o4myyCyDCD2.图解法依据ghpp0PApAghhAgbhghSbVCC2121作用点：V的形心处2h/3p0 p0 或ghp作压强分布图用分割法求作用点：对AA 求矩矩形面积三角形面积梯形面积llyD2132点算起从AyD例：T为何值，才可将闸门打开？（1）用分割法求P大小，作用点为D；（

14、2）对A点求矩TTlADPlGcoscos2GlATPD或AhJAyJycccDsin（从形心C处算起）C2.7 流体作用在曲面上的总压力流体作用在曲面上的总压力二维曲面1.总压力的大小和方向（1）水平方向的作用力zxghdAghdAdPdPcoscoszCzCAzxxApAghhdAgdPPz大小、作用点与作用在平面上的压力相同PxAxAz（2）垂直方向的作用力xzghdAghdAdPdPsinsingVhdAgdPPzAxzz作用点通过压力体体积的形心V压力体体积gV压力体重量AxAzPz（3）合作用力大小22yxPPP（4）合作用力方向与水平面夹角xzPPtgPPxPz作用于曲面的液体压

15、力设垂直于屏幕的柱体设垂直于屏幕的柱体 ：长度为长度为L，受压曲面为，受压曲面为AB。作用在作用在dA上的水静压力上的水静压力:dF=pdA=g ghdA水平分力为水平分力为dFx：铅直分力为铅直分力为dFz：sinsincoscosghdAdFdFghdAdFdFzxxxzzZAxAxzzAzAzxxxzzxxhdAgghdAdFFhdAgghdAdFFghdAdFhdAdFdAdAdAdA,sin,cosgVhdAgFAghFxAxzzcx压力体压力体压力体：压力体一般由三种面组成的一个封闭体压力体：压力体一般由三种面组成的一个封闭体 底面：受压曲面。底面：受压曲面。 顶面：受压曲面在自由

16、面（相对压强为零）或其延伸面上的投影。顶面：受压曲面在自由面（相对压强为零）或其延伸面上的投影。 侧面：受压曲面边界线所做的铅直投影面。侧面：受压曲面边界线所做的铅直投影面。力的方向不是向上就是向下，确定的方法是看压力体与受压曲面的相对位置。力的方向不是向上就是向下，确定的方法是看压力体与受压曲面的相对位置。 实压力体：当液体与压力体在同一侧时就叫实压力体，实压力体：当液体与压力体在同一侧时就叫实压力体， 形象地讲就是压力体里装有液体（不一定装满）。形象地讲就是压力体里装有液体（不一定装满）。 此时由于液体的作用，此时由于液体的作用，FZ的方向向下。的方向向下。 虚压力体：液体与压力体不在同一侧就叫虚压力体，虚压力体：液体与压力体不在同一侧就叫虚压力体， 这时压力体内没有任何液体，这时压力体内没有任何液体，FZ的方向向上。的方向向上。FZ的作用线一定要通过压力体的形心，的作