清华 质点动力学-动量

1、 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律一、质点的动量定理：一、质点的动量定理：牛二律：牛二律：tVmFd)(d VtmtVmdddd 0dd tm经典经典am )(d dVmtF 2121 VmVmtt12VmVm 21dtttF I称为冲量，称为冲量，反映了力对时间的累积。反映了力对时间的累积。Vm P均为矢量均为矢量12PPI P PI 称为动量称为动量 过程规律。过程规律。 反映：反映：过程量过程量=状态量的增量状态量的增量 动量定理为矢量方程，常采用分量式，在直角坐标系中：动量定理为矢量方程，常采用分量式，在直角坐标系中： yyyxxxmVmVImVmVI1212 不仅适用于惯性

2、系，而且适用于微观粒子。不仅适用于惯性系，而且适用于微观粒子。 冲量表达式中的力一般是时间的函数：冲量表达式中的力一般是时间的函数：A 恒力：恒力：)(12ttFI tF 21dtttF IP tFF1t2t大小大小=Ft曲线下曲线下(t1,t2)间的面积间的面积B 变力：变力：用一平均力用一平均力 来代替变力来代替变力 ， FF这一平均力称为这一平均力称为。tF1t2tF)(tFF 21dtttFtFItVmVmF 12二、质点系动量定理：二、质点系动量定理：m2m1、 m2系统，受力情况：系统，受力情况：1F外力外力 、 1F2F12F;内力内力 2112FF、2112FF 且：且：在初始

3、时刻在初始时刻t1两质点具有速度两质点具有速度2010VV、在终止时刻在终止时刻t2两质点具有速度两质点具有速度21VV、根据质点的动量定理：根据质点的动量定理： 21101112111d)(:ttVmVmtFFm 21202221222d)(:ttVmVmtFFmm1、 m2系统，有：系统，有： 21021d)(ttiiiiVmVmtFF推广得推广得：m12F21F说明：说明： 过程规律。反映：过程量过程规律。反映：过程量=状态量的增量状态量的增量 矢量式。常用分量式：矢量式。常用分量式： 00yyyxxxPPIPPI 适用于惯性系及微观粒子。适用于惯性系及微观粒子。 在无限小时间间隔内，质

4、点系动量定理可写成：在无限小时间间隔内，质点系动量定理可写成： tPFdd外外反映了外力与动量变化的反映了外力与动量变化的瞬时关系瞬时关系；反映了力是改变运动状态的原因。反映了力是改变运动状态的原因。三、动量守恒定律：三、动量守恒定律： 000PPI外外 0PP当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。 定律为矢量式。分量式：定律为矢量式。分量式： 0000yyyxxxPPFPPF可分别独立使用可分别独立使用 应用时常采用近似守恒条件：应用时常采用近似守恒条件：当外力远小于内力时，可近似认为动量守恒。当外力远小于内力时，可近似认为动量守恒。 定

5、理中的定理中的。 等价（数学上）等价（数学上） 动量定理、动量守恒比牛二律更普遍适用。动量定理、动量守恒比牛二律更普遍适用。 动能与动量都描述了机械运动，都是状态量，动能与动量都描述了机械运动，都是状态量，但两者的描述角度不同：但两者的描述角度不同：动能，标量；动能，标量；动量，矢量；动量，矢量；其变化：其变化： Ek = A 21drrrF与力在空间上的累积作用相关与力在空间上的累积作用相关动能定理动能定理其变化：其变化：IP 21dtttF与力在时间上的累积作用相关。与力在时间上的累积作用相关。动量定理动量定理例例1：有一长：有一长 l =4m，质量，质量M=150kg 的船，静止浮于湖面

6、上。今有的船，静止浮于湖面上。今有 一质量一质量m=50kg 的人，从船头走到船尾。设：水对船的阻力的人，从船头走到船尾。设：水对船的阻力 忽略不计。忽略不计。 求：人和船相对于湖岸各移动的距离。求：人和船相对于湖岸各移动的距离。解：解：取人、船为研究系统。由于水的阻力忽略，因此在水平方向取人、船为研究系统。由于水的阻力忽略，因此在水平方向 0外外F，水平方向动量守恒。，水平方向动量守恒。 vV如图设任意时刻船和人相对于岸的速度为：如图设任意时刻船和人相对于岸的速度为：vV,取初始静止时船头位置为参考位置取初始静止时船头位置为参考位置 则由动量守恒有：则由动量守恒有：0 MVmvMVmv tt

7、tVMtvm00ddS用用S、s表示船和人相对参考位置的移动距离，则：表示船和人相对参考位置的移动距离，则： tttvstVS00dds tttVMtvm00dd tttvstVS00ddMSms 由图知人、船的相对运动终止时有：由图知人、船的相对运动终止时有：vV参考位参考位SsllsS m1m3MmmlSSls例例2：质量为：质量为M的重锤从高为的重锤从高为h处以初速度为零的状态落下，击在处以初速度为零的状态落下，击在 木桩上并使之入土深度为木桩上并使之入土深度为d。已知木桩的质量为。已知木桩的质量为m，且重锤，且重锤 与木桩一同下陷。与木桩一同下陷。 求：求： 土地的平均阻力；土地的平均

8、阻力； 重锤与木桩下陷的时间。重锤与木桩下陷的时间。解：解：M00 Vmhd 如图，全过程可分为以下几个分过程：如图，全过程可分为以下几个分过程：过程过程：重锤：重锤M自由下落。自由下落。初态：初态：V0=0；末态：；末态：ghV2 过程过程：M、m 碰撞过程。碰撞过程。选选M、m为系统，作受力分析：为系统，作受力分析：FmgfMgF初态：初态： ghVMvm2:0:末态：末态：M、m同速，设为同速，设为V同同 内力（相互作用的冲力内力（相互作用的冲力F、F）远大于外）远大于外力（阻力力（阻力f与重力），与重力），因此竖直方向动量守恒：因此竖直方向动量守恒：共共VMmMV)(0 )(2Mmgh

9、MV 共共过程过程：M、m 共同下降共同下降d。gMm)( 阻阻F选选M、m为系统，受力分析如图。为系统，受力分析如图。初态：初态：V=V共共，末态：，末态：V=0M00 Vmhd初态：初态：20)(21共共VMmEk 末态：末态：0 kE动能定理：动能定理：0kkkEEEA gdMmdFA)( 阻阻dMmghMgMmF)()(2 阻阻初态：初态： ghVMvm2:0:末态：末态：M、m同速同速V同同 重锤与木桩下陷的时间。重锤与木桩下陷的时间。M00 Vmhd取向下为正。取向下为正。由动量定理有：由动量定理有：共共阻阻VMmtFgMm)(0)( ghMMmMdght2)(2 四、四、 质心质

10、心 质心运动定理：质心运动定理：、质心：、质心：是系统质量中心的简称。是系统内的一个特殊点。是系统质量中心的简称。是系统内的一个特殊点。设系统由设系统由n个质点组成，每个质点对应一个矢径个质点组成，每个质点对应一个矢径ir iiicmrmr 系系Rt MzmmzmzMymmymyMxmmxmxiiiiiciiiiiciiiiic利用上述结果，采用微积分的方法获得。利用上述结果，采用微积分的方法获得。xzymdrMmrrVc dM为物体的质量。为物体的质量。分量式分量式 MmzzMmyyMmxxcccddd 质心位置与物体的质量及其分布有关，与外力无关。质心位置与物体的质量及其分布有关，与外力无

11、关。 重心是作用于全物体上的重力合力的作用点。重心是作用于全物体上的重力合力的作用点。 在一定条件下，质心与重心可认为重合。在一定条件下，质心与重心可认为重合。条件：作用于物体上各部分的重力平行；条件：作用于物体上各部分的重力平行； 重力加速度为常数。重力加速度为常数。 iiicmrmr 质心运动定律：质心运动定律： iiicmrmr质点系质心运动速度：质点系质心运动速度：trVccdd )(ddMrmtii trmMiidd1MVmii iicVmVM质点系动量定理：质点系动量定理： tPFdd外外tVmiid)(d tVMcd)(d 质点系质心的运动可看成一个质点的运动。这个质点质点系质心

12、的运动可看成一个质点的运动。这个质点 集中了整个质点系的质量和外力。集中了整个质点系的质量和外力。 质心的运动状态完全取决于质点系所受外力，内力不质心的运动状态完全取决于质点系所受外力，内力不 使质心产生加速度。使质心产生加速度。caMF 外外tVMcdd caMF 外外例：有两个电性相同的带电粒子，他们质量均为例：有两个电性相同的带电粒子，他们质量均为m，电荷均为，电荷均为q。 其中一个处于静止，另一个以初速其中一个处于静止，另一个以初速V0由无限远处向其运动。由无限远处向其运动。问问 ：这两个粒子最接近的距离是多少？在这瞬时，每个粒子的：这两个粒子最接近的距离是多少？在这瞬时，每个粒子的

13、速率是多少？你能知道这两个粒子的速度将如何变化？速率是多少？你能知道这两个粒子的速度将如何变化？ （已知库仑力的大小为（已知库仑力的大小为f=kq1q2/r2）解：解：q2o设起始时，设起始时，q1位于位于o点静止。点静止。且：且：V10=0 , V20=V0 , r20= , q1 = q2 =q 2Vq11VFF以以o点为参考点，点为参考点，q1q2连线右为轴。连线右为轴。 任意时刻任意时刻q1 、q2间距为间距为r，两者到参考点两者到参考点o的距离为的距离为r1 、r2 ，相应的速率为，相应的速率为V1 、V2r1r2rtrtrtrdddddd12 21VV 最接近时：最接近时：0dd tr 最接近时