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1、因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五个的方法” 在因式分解这一章中,教材总结了因式分解的四个步骤,可概括为四句话:“先看有无公因式,再看能否套公式,十字相乘试一试,分组分解要合适” 然而在初学因式分解时,许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误,或者都学透了,但是试卷上给出的题目却还是不会分解,本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”,以供同学们学习时参考。 一、“八个注意”事项(一)首项有负常提负例1 把a2b22ab4分解因式。 解:a2b22ab4(a22abb24)(ab2)(ab2)这里的“负”,指“负号”。如果多项式的第一
2、项是负的,一般要提出负号,使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如a2b2=(a+b)(ab)的错误。(二)各项有公先提公例2因式分解8a42a2解:8a42a2=2a2(4a21)=2a2(2a+1)(2a1)这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式,那么先提取这个公因式,再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=(2a2+a)(2a2-a)而又不进一步分解的错误.(三)某项提出莫漏1例3因式分解a3-2a2+a解:a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2这里的“1”,是指多项式的某个整项是公因式时,先提出这个公因式后,括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2
3、+a=a(a2-2a) 的错误。(四)括号里面分到“底”。例4 因式分解x43x24 解:x4+3x24(x24)(x21)(x24)(x1)(x1) 这里的“底”,指分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底,不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”,不留“尾巴”,并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x4+3x24(x24)(x21)而不进一步分解的错误。 因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中,与因式分解的四个步
4、骤是一脉相承的。(五)各式之间必须是连乘积的形式例5 分解因式x29+8x=解:x29+8x=x2+8x9=(x1)(x+9)这里的“连乘积”,是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式,否则不是因式分解。有些同学只注意到前两项运用平方差公式,得(x+3)(x3)+8x。结果从形式上看右式不是乘积形式,显然是错误的。正解应是:原式= x2+8x9=(x1)(x+9)(六)数字因数在前,字母因数在后;例6因式分解 解:=3x(x2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前,字母因数在后”,指分解因式中不能写成=x3(x2-6x+9)= x3(x-3)2
5、(七)单项式在前,多项式在后;例7因式分解解:=xy(x2-y2)=xy(x+y)(x-y) 这里的“单项式在前,多项式在后”,指分解因式中不能把单项式写在后面,即不能写成= (x2-y2) xy = (x+y)(x-y) xy(八)相同因式写成幂的形式;例8因式分解x4y-x2y3解:x4y-x2y3=x2y(x2-y2)=x2y(x+y)(x-y) 这里的“相同因式写成幂的形式”,指分解因式中不能相同的因式写成乘的形式,而应该写成幂的形式,即不能写成x4y-x2y3=x2y(x2-y2)= xxy(x+y)(x-y);二、课本未拓展的五个的方法 以下五个方法是因式分解中比较难的一些,需要大
6、家熟练掌握因式分解基本方法:(1)提公因式;(2)公式法:平方差公式,完全平方公式及常用公式;(3)十字相乘。只有熟练掌握了以上三种方法,你才能更好的理解这五种拓展方法。(一)巧拆项:在某些多项式的因式分解过程中,若将多项式的某一项(或几项)适当拆成几项的代数和,再用基本方法分解,会使问题化难为易,迎刃而解。例1、因式分解 解析:根据多项式的特点,把3拆成4+(-1),则=例2、因式分解 解析:根据多项式的特点,把拆成;把拆成则=(二)巧添项:在某些多项式的因式分解过程中,若在所给多项式中加、减相同的项,再用基本方法分解,也可谓方法独特,新颖别致。例3、因式分解解析:根据多项式的特点,在中添上两项,则=例4、因式分解 解析:根据多项式的特点,将拆成,再添上两项,则=(三)巧换元:在某些多项式的因式分解过程中,通过换元,可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式,会使问题化繁为简,迅捷获解。例5、因式分解解析:=设,则 于是,原式=例6、因式分解解析:设,则=(四)展开巧组合:若一个多项式的某些项是积的形式,直接分解比较困难,则可采取展开重组合,然后再用基本方法分解,可谓匠心独具,使问题巧妙得解。例7、因式分解 解析:将多项式展开再重新组合,分组分解=例8、因式分解 解析:=(五)巧用主元:对于含有两个或两
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