第四章系统频率特性分析

1、 第四章第四章 频率特性频率特性 1频域分析法频域分析法频率特性及其表示法频率特性及其表示法典型环节的频率特性典型环节的频率特性稳定裕度和判据稳定裕度和判据频率特性指标频率特性指标 第四章第四章 频率特性频率特性 2引言引言1. 为什么要对系统进行频域分析？为什么要对系统进行频域分析？ 时域分析法时域分析法：从微分方程或传递函数角度求解系统：从微分方程或传递函数角度求解系统的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处：的时域响应（和性能指标）。不利于工程研究之处：p计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大；计算量大，而且随系统阶次的升高而增加很大；p对于高阶系统十分不便，难以确定解析解；对于高

2、阶系统十分不便，难以确定解析解；p不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以不易分析系统各部分对总体性能的影响，难以确定主要因素；确定主要因素；p不能直观地表现出系统的主要特征。不能直观地表现出系统的主要特征。 第四章第四章 频率特性频率特性 32. 频率响应、频率特性和频域分析法频率响应、频率特性和频域分析法 频率响应频率响应:正弦输入信号作用下，系统输出的正弦输入信号作用下，系统输出的稳态分稳态分量量。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦。（控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成）信号的合成） 频率特性频率特性:系统频率响应和正弦输入信号之间的关系，系统频率响应和正弦输入信号之

3、间的关系，它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。它和传递函数一样表示了系统或环节的动态特性。 数学基础数学基础：控制系统的频率特性反映正弦输入下系：控制系统的频率特性反映正弦输入下系统响应的性能。研究其的数学基础是统响应的性能。研究其的数学基础是Fourier变换变换。 频域分析法频域分析法:利用系统频率特性分析和综合控制系统利用系统频率特性分析和综合控制系统的方法。的方法。 第四章第四章 频率特性频率特性 4 引例引例RC电路电路 对于图对于图4-1所示的所示的RC电路，其传递函数为电路，其传递函数为 式中，式中，T=RC 。( )1)1( )1 ()1oiUsCsUsRCsTs（图图

4、4-1 RC电路电路4.1 4.1 频率特性频率特性 第四章第四章 频率特性频率特性 5设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为设输入电压为正弦信号，其时域和复域描述为所以有所以有将其进行部分分式展开后再拉氏反变换将其进行部分分式展开后再拉氏反变换( )siniu tUt22( )iUU ss221( )1oUUsTss2222( )sin() arctan11tToUTUu tetTTT 第四章第四章 频率特性频率特性 6 uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。显然上述分量。显然上述RC电路的稳态响应为电路的稳态响应为 结论结论：当电路输

5、入为正弦信号时，其输出的稳态：当电路输入为正弦信号时，其输出的稳态响应（响应（频率响应频率响应）也是一个正弦信号，其频率和）也是一个正弦信号，其频率和输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变输入信号相同，但幅值和相角发生了变化，其变化取决于化取决于。22lim( )sin()111 sin11otUu ttTUtj Tj T 第四章第四章 频率特性频率特性 7 若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示，并求其复数比，可以得到求其复数比，可以得到 式中式中 频率特性频率特性G(j)：上述电路的稳态响应与输入正弦信：上述电路的稳态响应与输入正弦信号

6、的复数比，且号的复数比，且G(j) = G(s)|s=j 。 幅频特性幅频特性A()：输出信号幅值与输入信号幅值之比。：输出信号幅值与输入信号幅值之比。 相频特性相频特性 ()：输出信号相角与输入信号相角之差。：输出信号相角与输入信号相角之差。()1()( )1jG jAej T 2211( )11Aj TT1( )arctan1Tj T 第四章第四章 频率特性频率特性 8)()()()()(sVsUsXsXsGio)sin()(tRtxi22)(sRsXi 22)()()()()(sRsVsUsXsGsXio2221)()()(sRpspspssUn(4-1)nppp,21G(s) jsaj

7、sapsbsXniiio1)(4-2)对稳定系统对稳定系统 ), 2 , 1(,nibaai和 第四章第四章 频率特性频率特性 9jsajsapsbsXniiio1)(4-2)t)(jG()()()jG jG jG je (4-7)(4-5)(4-6)(4-4)nitpitjtjoiebeaaetx1)(jRjGjsjsjsRjGjssRsGajsjs2)()()()()()(22jRjGjsjsjsRjGjssRsGajsjs2)()()()()()(22因此，系统的稳态响应为：因此，系统的稳态响应为：( )j tj tosxtaeae()()()jG jGjG je 第四章第四章 频率特性

8、频率特性 10 sin2jeejj()()( )|()|2|()|sin()sin()j tj tosjtG jjtG jcxtaeaeeeR G jjR G jtG jAt|()|; ()cAR G jG j式中，稳态输出的振幅和相位分别为式中，稳态输出的振幅和相位分别为 第四章第四章 频率特性频率特性 11 幅频特性幅频特性：LTI系统在正弦输入作用下，稳态输系统在正弦输入作用下，稳态输出振幅与输入振幅之比，用出振幅与输入振幅之比，用A()表示。表示。 相频特性相频特性：稳态输出相位与输入相位之差，用：稳态输出相位与输入相位之差，用 ()表示。表示。 幅频幅频A()和相频和相频 ()统称统

9、称幅相频率特性幅相频率特性。( )()()tG jtG j |()|( )|()| crAG jRAG jAR()()( )|()|() jj G jAeG jeG j 第四章第四章 频率特性频率特性 12RCssGsXsXio11)()()(TjRCjjGjXjXio1111)()()(jssGjG)()(频率特性系统传递函数微分方程js pjps dtdp 第四章第四章 频率特性频率特性 13 几点说明几点说明 q 频率特性是传递函数的特例，是定义在复频率特性是传递函数的特例，是定义在复 平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与 系统的微分方程、传递函数一样

10、反映了系系统的微分方程、传递函数一样反映了系 统的固有特性。统的固有特性。 q 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的 频率特性与传递函数一样包含了系统或元频率特性与传递函数一样包含了系统或元 部件的全部动态结构参数，因此，系统动部件的全部动态结构参数，因此，系统动 态过程的规律性也全寓于其中。态过程的规律性也全寓于其中。 第四章第四章 频率特性频率特性 14q 应用频率特性分析系统性能的基本思路：应用频率特性分析系统性能的基本思路： 实际施加于控制系统的周期或非周期信号实际施加于控制系统的周期或非周期信号 都可表示成由许多谐波分量组成的傅立叶都可表示成由许多

11、谐波分量组成的傅立叶 级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数， 因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类因此根据控制系统对于正弦谐波函数这类 典型信号的响应可以推算出它在任意周期典型信号的响应可以推算出它在任意周期 信号或非周期信号作用下的运动情况。信号或非周期信号作用下的运动情况。 第四章第四章 频率特性频率特性 15q 频率特性的物理意义频率特性的物理意义：频率特性表征了系：频率特性表征了系 统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；统或元件对不同频率正弦输入的响应特性；q ( ( ) )大于零时称为大于零时称为相角超前相角超前，小于零时称，小于零时称 为为相角滞

12、后相角滞后。tx(t), y1(t), y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2() 第四章第四章 频率特性频率特性 16)(log20jGdB)(L)()(jGlg横坐标：对数相频特性的相角横坐标：对数相频特性的相角纵坐标：对数幅频特性的分贝数纵坐标：对数幅频特性的分贝数 第四章第四章 频率特性频率特性 17)(jG)(jG)()(jG 04.2 4.2 极坐标图极坐标图 第四章第四章 频率特性频率特性 18()()()( )( )jG jG jeUjV 。 第四章第四章 频率特性频率特性 19UjV例：例：1T 221( )1AT( )arctan T 1()1G jj T1( )

13、1G sTs-900-63.50.452T-450.7071/T-26.60.891/2T010 A0 A 第四章第四章 频率特性频率特性 20-3-2-10123-5-4-3-2-1012Real AxisImag Axis图图5-25 极坐标图极坐标图)(ImjG)(RejG)(jG)(123ImRe0 第四章第四章 频率特性频率特性 214.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图 用频域分析法研究控制系统的稳定性和动用频域分析法研究控制系统的稳定性和动态响应时，是根据系统的开环频率特性进态响应时，是根据系统的开环频率特性进行的，而控制系统的开环频率特性通常是行的，而控制系统的开环频

14、率特性通常是由若干典型环节的频率特性组成的。由若干典型环节的频率特性组成的。 本节介绍六种常用的典型环节。本节介绍六种常用的典型环节。 第四章第四章 频率特性频率特性 22ReImKKsG)()G jK( )AK0)(1 比例环节比例环节比例环节的奈氏图比例环节的奈氏图4.2.1 典型环节的极坐标图典型环节的极坐标图 ()jG jKUjVAe ( )UK( )0V 第四章第四章 频率特性频率特性 23( )2 1AReIm01( )G ss积分环节的奈氏图积分环节的奈氏图2 积分环节积分环节211()jGjej( )0U1( )V 第四章第四章 频率特性频率特性 2422( )( )1( )2

15、1G ssG ssG sss 22()()1()12G jjG jjG jj 微分环节的频率特性微分环节的频率特性3 微分环节微分环节 第四章第四章 频率特性频率特性 25 纯微分环节：纯微分环节：jjG)(纯微分环节的奈氏图纯微分环节的奈氏图ReIm0( )( )2A ( )0( )UV 第四章第四章 频率特性频率特性 26一阶微分环节的奈氏图一阶微分环节的奈氏图ReIm0 一阶微分：一阶微分：()1G jj 22()1()arctanA ( )1UV 第四章第四章 频率特性频率特性 27二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性 二阶微分环节：二阶微分环节： 2222(1)(2)A 22

16、()1()2UV 22()12G jj 222221arctan1( )21arctan1 第四章第四章 频率特性频率特性 28惯性环节的奈氏图惯性环节的奈氏图1( )1G sTs1()1G jj T22221( )1( )1UTTVT 001(0)0(0)1(0)0APQ：，时1111( )( )4521111( )( )22ATTTUVTT：，时( )0( )90( )0( )0AUV ：，时0T14 惯性环节惯性环节221( )1( )arctanATT 第四章第四章 频率特性频率特性 292221111()UVTU22211()( )22UV011TK1211)(jjG22221( )

17、1( )1UTTVT UTV 第四章第四章 频率特性频率特性 302222222222222212( ),( )(1)4(1)4TTUVTTTT 2222221( )( )(1)(2)AUVTT222221arctan( )1( )arctan21( )arctan1TUTTTVTT 振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性222221( )212nnnG sT sTsss01221()(1)2G jTjT5 振荡环节振荡环节 第四章第四章 频率特性频率特性 31振荡环节的奈氏图振荡环节的奈氏图07 . 0, 1, 1Tk14 . 11)(2sssG 01, ( )0( )1, ( )0AUV ，

18、当时222222221()(1)4TUTT 22221(1)(2)ATT2222222()(1)4TVTT ，时当T1 1, ( );22A 1( )0, ( )2UV 222221arctan1( )21arctan1TTTTTT 0, ( )( )0, ( )0AUV ，当时00 0V 第四章第四章 频率特性频率特性 32振荡环节的奈振荡环节的奈氏图氏图 第四章第四章 频率特性频率特性 33 001延迟环节的奈氏图延迟环节的奈氏图( )TsG se()jTG je1)(jG()T 6 延迟环节延迟环节 第四章第四章 频率特性频率特性 34小小 结结q 比例环节的极坐标图比例环节的极坐标图q

19、 积分环节的极坐标图积分环节的极坐标图q 微分环节的极坐标图微分环节的极坐标图有三种形式：纯微分、一有三种形式：纯微分、一 阶微分和二阶微分。阶微分和二阶微分。q 惯性环节的极坐标图惯性环节的极坐标图q 振荡环节的极坐标图振荡环节的极坐标图q延迟环节的极坐标图延迟环节的极坐标图 第四章第四章 频率特性频率特性 35设其开环传递函数由若干个典型环节相串联设其开环传递函数由若干个典型环节相串联12( )( )( )( )nG sGs GsGs其开环频率特性：其开环频率特性： 12()()()()nG jGjGjGj12( )( )( )( )12( )( )( )( )njjjjnAeAeAeAe

20、 4.2.2 绘制乃氏图的一般规律绘制乃氏图的一般规律 第四章第四章 频率特性频率特性 36所以，系统的开环幅频和相频分别为：所以，系统的开环幅频和相频分别为：1212( )( )( )( )( )( )( )( )nnAAAA 开环系统的开环系统的幅频特性幅频特性是各串联环节幅频特性的是各串联环节幅频特性的幅值之幅值之积积；开环系统的开环系统的相频特性相频特性是各串联环节相频特性的是各串联环节相频特性的相角之相角之和和。结论：结论： 第四章第四章 频率特性频率特性 37对于一般线性定常系统，传递函数为：对于一般线性定常系统，传递函数为：mn221221(1)21( )(1)21miiinjj

21、jKsssG ssT sT sTs其对应的频率特性为：其对应的频率特性为：221221(1) 12()()(1) 121miiinjjjKjjG jjTjTT j 当当0时，称该系统为时，称该系统为0 型型系统；系统；当当1时，称该系统为时，称该系统为型型系统；系统；当当2时，称该系统为时，称该系统为型型系统；系统； 第四章第四章 频率特性频率特性 38 有时并不需要绘制得十分准确有时并不需要绘制得十分准确 只需要绘出只需要绘出Nyquist图的大致形状和几个关图的大致形状和几个关键点的准确位置（如与坐标轴的交点）就键点的准确位置（如与坐标轴的交点）就可以了。可以了。 开环系统典型环节分解和典

22、型环节幅相曲线开环系统典型环节分解和典型环节幅相曲线的特点是绘制的特点是绘制概略幅相特性曲线概略幅相特性曲线的基础。的基础。 第四章第四章 频率特性频率特性 39概略绘制乃氏图的步骤：概略绘制乃氏图的步骤：00( 0 ) ( 90 ) ( 90 )0KKG j 0()0 (nm)( 90 )nmG jnm 常数确定开环乃氏图的终点确定开环乃氏图的终点G(j)确定开环乃氏图的起点确定开环乃氏图的起点G(j0+)写出系统开环传递函数的频率特性写出系统开环传递函数的频率特性 第四章第四章 频率特性频率特性 40注意：若传递函数不存在微分项注意：若传递函数不存在微分项（纯微分、一阶微分、二阶微分（纯微

23、分、一阶微分、二阶微分等），则幅相特性曲线相位连续等），则幅相特性曲线相位连续减少；反之，若出现微分环节，减少；反之，若出现微分环节，则幅相曲线会出现凹凸。则幅相曲线会出现凹凸。确定开环幅相曲线与实轴的交点（若有）确定开环幅相曲线与实轴的交点（若有）虚频虚频为零或相频为为零或相频为n180确定开环幅相曲线与虚轴的交点（若有）确定开环幅相曲线与虚轴的交点（若有）实频实频为零或相频为为零或相频为n90勾画出开环幅相曲线勾画出开环幅相曲线 （0+）的大致曲线）的大致曲线（越精确越好）（越精确越好） 第四章第四章 频率特性频率特性 41UjV0 K2121TTTTK零型系统（零型系统（=0） 例例10

24、,21TTK12( )11KG sTsT s 22221211KATT12( )arctanarctanTT 第四章第四章 频率特性频率特性 42UjV0 K K零型系统（零型系统（=0=0） 例例2 20,321TTTK123( )111KG sT sT sT s 222222123111KATTT123( )arctanarctanarctanTTT 第四章第四章 频率特性频率特性 43零型系统（零型系统（=0=0） 例例3 33421TTTT4321TTTT0,4321TTTTK41231( )111K T sG sTsT sT s 2242222221231111KTATTT1234(

25、 )arctanarctanarctanarctanTTTT 第四章第四章 频率特性频率特性 44 第四章第四章 频率特性频率特性 45UjV0 型系统（型系统（=1） 例例40,TKKT( )1KG ss Ts 221KAT( )arctan2T 第四章第四章 频率特性频率特性 46型系统（型系统（=1） 例例5)(21TTK2121TTTKT0,21TTK12( )11KG ss TsT s 22221211KATT12( )arctanarctan2TT 第四章第四章 频率特性频率特性 47 第四章第四章 频率特性频率特性 48型系统（型系统（=2） 例例6 例例70,TK0,21TTK

26、2( )1KG ssTs212( )11KG ssTsT s 2221KAT( )arctanT 第四章第四章 频率特性频率特性 49型系统（型系统（=2） 例例8TT0,TK21( )1KsG ssTs 2222211KAT ( )arctanarctanT 第四章第四章 频率特性频率特性 50 第四章第四章 频率特性频率特性 51加极点和加零点的影响加极点和加零点的影响加极点使相位滞后，加零点使相位超前。加极点使相位滞后，加零点使相位超前。(,0在0,)在0,)在 区域内变化时绘出的乃氏图区域内变化时绘出的乃氏图与与区域内变化时绘出的乃氏图相对实轴对称，故一般区域内变化时绘出的乃氏图相对实

27、轴对称，故一般只考虑只考虑区域内变化的乃氏图。区域内变化的乃氏图。当传递函数中含有一阶微分环节时，相位非单调当传递函数中含有一阶微分环节时，相位非单调下降，乃氏图发生弯曲；下降，乃氏图发生弯曲；当传递函数中含有振荡环节时，上述结论不变。当传递函数中含有振荡环节时，上述结论不变。 第四章第四章 频率特性频率特性 52绘制开环概略幅相曲线的规律绘制开环概略幅相曲线的规律nm时终点趋向于原点时终点趋向于原点0时起始于原点时起始于原点 第四章第四章 频率特性频率特性 53 例例4-14-1 已知系统的开环传递函数，绘制系统开环已知系统的开环传递函数，绘制系统开环NyquistNyquist图并求与实轴

28、的交点。图并求与实轴的交点。Nyquist图与实轴相交时 第四章第四章 频率特性频率特性 54 Matlab绘制的乃氏图绘制的乃氏图num=0 0 0 10; %定义分子多项式，定义分子多项式，s的降序排列的降序排列den=0.1 0.7 1 0; %定义分母多项式定义分母多项式nyquist(num,den) 10( )0.510.21G s H ssss 第四章第四章 频率特性频率特性 55 第四章第四章 频率特性频率特性 56 要精确地计算和绘制极坐标图，一般来说比较要精确地计算和绘制极坐标图，一般来说比较麻烦。因此采用频率特性的另一种图示法：麻烦。因此采用频率特性的另一种图示法：对数坐

29、对数坐标图（标图（Bode 图）。它不但图）。它不但计算简单，绘图容易，计算简单，绘图容易，而且一般能直观地表明开环增益、时间常数等参数而且一般能直观地表明开环增益、时间常数等参数变化对系统的影响。变化对系统的影响。1、幅值与频率的关系、幅值与频率的关系:幅频特性曲线幅频特性曲线2、相位与频率的关系：相频特性曲线、相位与频率的关系：相频特性曲线4.3 4.3 频率响应的对数坐标图频率响应的对数坐标图 第四章第四章 频率特性频率特性 57对数频率特性对数频率特性Bode图图 在工程实际中，常常将频率特性画成对数坐标图形在工程实际中，常常将频率特性画成对数坐标图形式，这种对数频率特性曲线又称式，这

30、种对数频率特性曲线又称Bode图，由图，由对数幅对数幅频特性和对数相频特性频特性和对数相频特性组成。组成。 Bode图的横坐标按图的横坐标按lg分度（分度（10为底的常用对数），为底的常用对数），即对数分度，单位为弧度即对数分度，单位为弧度/秒（秒（rad/s） 对数幅频曲线的纵坐标按对数幅频曲线的纵坐标按 线性分度，单位是分贝（线性分度，单位是分贝（dB）。）。 对数相频曲线纵坐标对数相频曲线纵坐标按按 ()线性分度线性分度，单位是度。，单位是度。 由此构成的坐标系称为由此构成的坐标系称为半对数坐标系半对数坐标系。 ( )20lg()20lg ( )LG jA 第四章第四章 频率特性频率特性

31、 58 对数分度和线性分度对数分度和线性分度 图图5-1 对数分度和线性分度对数分度和线性分度 第四章第四章 频率特性频率特性 59 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。同一个横坐标（频率轴）。 当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：增益。幅值和增益的关系为：20lg()增益幅值lg 第四章第四章 频率特性频率特性 60使用对数坐标图的优点：w可以展宽频带；频率是以可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频

32、段的幅频和相以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。频特性。w可以将乘法运算转化为加法运算。可以将乘法运算转化为加法运算。w所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。（渐进线）近似表示。w对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。特性表达式。 第四章第四章 频率特性频率特性 61num=0 1;den=1 1;bode(num,den) 第四章第四章 频率特性频率特性 62幅频特性：幅频特性

33、：0)(KsG)(KjG)(对数幅频特性和相频特性：对数幅频特性和相频特性： 比例环节的比例环节的bode图图4.3.1 4.3.1 典型环节的伯德图典型环节的伯德图1 1 比例环节比例环节相频特性：相频特性：()20 lg()0LK 图5-7 比例环节的Bode图( )AK 第四章第四章 频率特性频率特性 631()G jj1()Gss积分环节的积分环节的Bode图图1, ( )0;10( )20LL ，( )2 dBL/ )()(90204020401101001101002 积分环节积分环节 1A( )20lg( )2L 对数幅频特性为一条斜对数幅频特性为一条斜率为率为20dB/dec的

34、直线，的直线，此线通过此线通过L()=0，=1的点的点 。 第四章第四章 频率特性频率特性 64二重积分：二重积分：21()G jjn重积分重积分?( )40lg( )L 对数幅频特性为一条斜对数幅频特性为一条斜率为率为40dB/dec的直线，的直线，此线通过此线通过L()=0，=1的点的点 。dBL/ )()(9020402040110100110100-180对数幅频特性为一条斜对数幅频特性为一条斜率为率为20.n dB/dec的直的直线，此线通过线，此线通过L()=0，=1的点的点 。 第四章第四章 频率特性频率特性 651( )1G sTs1()1G jTj3 惯性环节惯性环节221(

35、 )1( )arctanATT 对数幅频特性和相频特性为对数幅频特性和相频特性为22221( )20lg20lg 11( )arctgLTTT 1 ( )0TLdB1 ( )20lgTLT dB 第四章第四章 频率特性频率特性 66惯性环节的惯性环节的Bode图图图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。低低通通滤滤波波特特性！性！ 第四章第四章 频率特性频率特性 671( )21G ssMatlab 绘制的惯性环节的绘制的惯性环节的Bode图图 第四章第四章 频率特性频率特性 68惯性环节的惯性环节的Bode图图伯德图误差分析

36、（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当当 时，误差为：时，误差为：o22120lg 1 T 当当 时，误差为：时，误差为：o22220lg 120lgTT 最大误差发生在最大误差发生在 处，为处，为To122max020lg 13()TdBT0.1 0.2 0.5 1 2 510L,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 渐近线,dB 0 000-6 -14 -20 误差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.04 第四章第四章 频率特性频率特性 69 相频特性： ( )arctanT 作图时先用计算器计算几个特殊点：作图时先用计算器计算几个特殊点

37、：。时，当时，当时，当2)(;4)1(1; 0) 0(0TT 由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于( w( w0 0, -45, -45) )点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数当时间常数T T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率不变，仅仅是根据转折频率1/T1/T的大小整条曲线向左或向右平的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上

38、下平移。移。惯性环节的波德图惯性环节的波德图T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45T2.03.04.05.07.0102050100-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4 第四章第四章 频率特性频率特性 705( )1G ssMatlab 绘制的惯性环节的绘制的惯性环节的Bode图图当增益当增益改变时，改变时，相频特相频特性不变，性不变，幅频特幅频特性上下性上下平移。平移。 第四章第四章 频率特性频率特性 71讨论讨论 时的情况。频率特性为：时的情况

39、。频率特性为：01221()(1)2G jTjT4 振荡环节（振荡环节（要重视要重视） 2222221( )( )(1)(2)AUVTT222221arctan( )1( )arctan21( )arctan1TUTTTVTT 2222( )20lg(1)(2)LTT 222221( )212nnnG sT sTsss 第四章第四章 频率特性频率特性 721T( )0dBL1T2( )20lg()40lg()dBLTT 1 ( )0TLdB21 ( )20lg 40lgTLTT dB 第四章第四章 频率特性频率特性 73 第四章第四章 频率特性频率特性 74 第四章第四章 频率特性频率特性 7

40、521 2rn该频率称为谐振峰值频率。可见，当该频率称为谐振峰值频率。可见，当 时，时， 。当当 时，无谐振峰值。当时，无谐振峰值。当 时，有谐振峰值。时，有谐振峰值。10.70720r121221()21rrMA谐振频率，谐振峰值谐振频率，谐振峰值因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可因此在转折频率附近的渐近线依不同阻尼系数与实际曲线可能有很大的误差。能有很大的误差。 对对 求导并令等于零，可解得求导并令等于零，可解得 的极值对应的频率的极值对应的频率 。 Ar A当 ， ， 。001()2A0()20lg2L 第四章第四章 频率特性频率特性 76振荡环节的伯德图振荡环节的伯德

41、图左图是不同阻尼系数情况下左图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性和对数相频的对数幅频特性和对数相频特性图。上图是不同阻尼系特性图。上图是不同阻尼系数情况下的对数幅频特性实数情况下的对数幅频特性实际曲线与渐近线之间的误差际曲线与渐近线之间的误差曲线。曲线。 第四章第四章 频率特性频率特性 77 T0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7288.09413.988.0943.7281.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.292

42、1.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.1370.001.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.000.080.471.412.921.410.470.080.000.00110.0860.341.292.764.306.204.302.761.290.340.086二阶振荡环节对数幅频特性曲线渐近线和精确曲线的误差（dB） 第四章第四章 频率特性频率特性 783 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016 . 010)(2ssjG 第四章第四章 频率特性频率特性

43、79 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函数分别为：分。传递函数分别为：22( )( )1( )21G ssG ssG sss 频率特性分别为：频率特性分别为：22()()1()12G jjG jjG jj 微分环节的频率特性微分环节的频率特性5 微分环节微分环节 第四章第四章 频率特性频率特性 80纯微分环节的伯德图纯微分环节的伯德图 纯微分环节：纯微分环节： ( )20lg20lg( )2ALA 其对数幅频特性为其对数幅频特性为一条斜率为一条斜率为20dB/dec的直线，的直线，它与它与0dB线交于线交于=1点。点。 第四章第四章 频率

44、特性频率特性 81 一阶微分环节：一阶微分环节：相频特性相频特性：几个特殊点如下：几个特殊点如下10, ()0;, ();, ()42 相角的变化范围从相角的变化范围从0到到 。2这是斜率为这是斜率为+20dB/Dec的直线。低、高频渐进线的交点为的直线。低、高频渐进线的交点为1低频段渐进线：低频段渐进线： 1120lg0AA当时，高频段渐进线：高频段渐进线： 1( )20lgAL当时，对数幅频特性对数幅频特性（用渐近线近似）：（用渐近线近似）：一阶微分环节的伯德图一阶微分环节的伯德图 221, ( )arctanA 22( )20lg 1L 第四章第四章 频率特性频率特性 82高频放大！抑制

45、噪声能力的下降！高频放大！抑制噪声能力的下降！0.1/1/10/ 第四章第四章 频率特性频率特性 83一阶微分环节的伯德图一阶微分环节的伯德图一阶微分环节伯德图一阶微分环节伯德图一阶惯性环节伯德图一阶惯性环节伯德图 一阶微分环节的一阶微分环节的Bode图与惯性环节的图与惯性环节的Bode图关于图关于横轴对称。横轴对称。 第四章第四章 频率特性频率特性 84幅频和相频特性为：幅频和相频特性为： 2222222(1)(2) , ( )arctan1A 二阶微分环节：22( )21G sss低频渐进线：低频渐进线：1( )0L时，高频渐进线：高频渐进线：22221( )20lg(1)(2)40lgL

46、 时，转折频率为：转折频率为： ，高频段的斜率，高频段的斜率+40dB/Dec。1o相角相角：10( )0;, ( );, ( )2 当时，可见，相角的变化范围从可见，相角的变化范围从0180度。度。二阶微分环节的频率特性二阶微分环节的频率特性2222( )20lg(1)(2)L 第四章第四章 频率特性频率特性 85二阶微分环节的波德图二阶微分环节的波德图二阶微分环节伯德图二阶微分环节伯德图二阶振荡环节伯德图二阶振荡环节伯德图 第四章第四章 频率特性频率特性 86传递函数：传递函数：sesG)(频率特性：频率特性：jejG)(幅频特性：幅频特性： 1A延迟环节的伯德图延迟环节的伯德图6 延迟环

47、节延迟环节对数幅频特性：对数幅频特性： 20lg0LA相频特性：相频特性：( )()57.3rad 度 第四章第四章 频率特性频率特性 87小 结q 比例环节和积分环节的频率特性比例环节和积分环节的频率特性q 惯性环节的频率特性惯性环节的频率特性低频、高频渐进线，斜率低频、高频渐进线，斜率-20，转折频率，转折频率q 振荡环节的频率特性振荡环节的频率特性伯德图：低频、高频渐进线，伯德图：低频、高频渐进线，斜率斜率-40，转折频率，转折频率q 微分环节的频率特性微分环节的频率特性有三种形式：纯微分、一阶有三种形式：纯微分、一阶微分和二阶微分。分别对应积分、一阶惯性和振荡环微分和二阶微分。分别对应

48、积分、一阶惯性和振荡环节节q 延迟环节的频率特性延迟环节的频率特性T10T10 第四章第四章 频率特性频率特性 88系统开环传函由多个典型环节相串联：系统开环传函由多个典型环节相串联：1()1()( )rkkrjiiG jAe系统开环对数频率特性曲线的绘制系统开环对数频率特性曲线的绘制12( )( )( )( )rG sG s G sG s系统开环对数幅值系统开环对数幅值等于各环节的对数等于各环节的对数幅值之和；相位等幅值之和；相位等于各环节的相位之于各环节的相位之和。和。1212()()()()()()()()nnLLLL 第四章第四章 频率特性频率特性 89 第四章第四章 频率特性频率特性

49、 90 例4-1 已知系统的开环传递函数，试绘制系统的开环Bode图。系统开环包括了五个典型环节2=2 rad/s4=0.5 rad/s5=10 rad/s 第四章第四章 频率特性频率特性 91 例例4-2 绘制开环传递函数绘制开环传递函数 的零型系统的的零型系统的Bode图。图。 解解 系统开环对数幅频特性和相频特性分别系统开环对数幅频特性和相频特性分别 ( )(1)(1 10 )KG sss12322( )( )( )( ) 20lg20lg 120lg 1 100LLLLK123( )( )( )( ) arctgarctg10 第四章第四章 频率特性频率特性 92例5-5的Bode图

50、第四章第四章 频率特性频率特性 93 因此，首先确定低频起始段的斜率和位置，然后因此，首先确定低频起始段的斜率和位置，然后确定线段交接频率（转折频率）以及转折后线段斜确定线段交接频率（转折频率）以及转折后线段斜率的变化，那么，就可绘制出由低频到高频的开环率的变化，那么，就可绘制出由低频到高频的开环对数渐近幅频特性曲线。对数渐近幅频特性曲线。 第四章第四章 频率特性频率特性 94) 12)(1() 12)(1()()(2222212222211111110sTsTsTssssKasasasbsbsbsbsHsGijnnnnmmmm 依据传递函数确定各环节的交接频率依据传递函数确定各环节的交接频率

51、, ,并将交接频并将交接频率由低到高依次标注到半对数坐标纸横轴上（不率由低到高依次标注到半对数坐标纸横轴上（不妨设为：妨设为：1 1、2 2、3 3）系统开环对数频率特性曲线的绘制系统开环对数频率特性曲线的绘制 控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统控制系统一般由多个环节组成，在绘制系统Bode图前，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积图前，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式。的形式。 第四章第四章 频率特性频率特性 95低频段特性取决于低频段特性取决于 ，直线斜率为，直线斜率为20 dB/dec。为获得低频段，还需要确定该直线上的一点，可以为获得低频段，还需要确定该直线上的一点，可以

52、采用以下三种方法：采用以下三种方法：nA:A:在在 内任选一点内任选一点0, ,计算其值。计算其值。n（若采用此法，推荐取（若采用此法，推荐取01）nB:B:取特定频率取特定频率01，则则n C:C:取取 为特殊值为特殊值0，则，则 00lg20lg20)(KLaKLalg20) 1 ()(0aL10KsKmin低频起始段的绘制低频起始段的绘制 1)(0aL1K1 1Klg20Klg201 1 第四章第四章 频率特性频率特性 96 (1) (1) 0型系统的低频起始段的绘制型系统的低频起始段的绘制当处于低频段时当处于低频段时0型系统传递函数型系统传递函数低频段高度低频段高度H=20lgK（dB

53、）( )G sK 第四章第四章 频率特性频率特性 97(2) I(2) I型系统的低频起始段的绘制型系统的低频起始段的绘制 当处于低频段时当处于低频段时I I型系统传递函数型系统传递函数系统系统Bode图的低频段渐近线斜率为图的低频段渐近线斜率为- -20dB/dec低频段渐近线低频段渐近线或其延长线或其延长线与横轴相交，与横轴相交，交点处频率交点处频率 =K低频段渐近线或其延长线在低频段渐近线或其延长线在 =1=1时的幅值为时的幅值为20lgK( )G sK s 第四章第四章 频率特性频率特性 98 (3) II(3) II型系统的低频起始段的绘制型系统的低频起始段的绘制 当处于低频段时当处

54、于低频段时IIII型系统传递函数型系统传递函数系统系统Bode图低频段渐近线的斜率为图低频段渐近线的斜率为- -40dB/dec 低频段渐近线或其延长线与横轴相交，低频段渐近线或其延长线与横轴相交，交点处频率交点处频率低频段或低频段的延长线在低频段或低频段的延长线在 =1时时的幅值为的幅值为20lgK2( )G sK sK 第四章第四章 频率特性频率特性 99 按交接频率由低频到高频的顺序，在低频渐近线的基按交接频率由低频到高频的顺序，在低频渐近线的基础上，每遇到一个交接频率，根据环节的性质改变渐础上，每遇到一个交接频率，根据环节的性质改变渐近线斜率，绘制渐近线，直到绘出交接频率最高的环近线斜

55、率，绘制渐近线，直到绘出交接频率最高的环节为止。节为止。)90()90()(mn惯性环节，斜率改变惯性环节，斜率改变 decdB /20振荡环节，斜率改变振荡环节，斜率改变 40/dB dec一阶微分环节，斜率改变一阶微分环节，斜率改变 二阶微分环节，斜率改变二阶微分环节，斜率改变 20/dB dec40/dB dec如需要绘制精确对数幅频特性曲线，则可在各交接频如需要绘制精确对数幅频特性曲线，则可在各交接频率处加以修正。率处加以修正。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得。 低频段：低频段： 高频段：高频段： 注意：对数幅频特性曲线上一定要标明斜率！注

56、意：对数幅频特性曲线上一定要标明斜率！ 第四章第四章 频率特性频率特性 100例：例：) 1087. 0(7)(sssG11.5 第四章第四章 频率特性频率特性 101例例4-1系统开环特性为：系统开环特性为：) 14 . 025. 0)(125. 0(10)(2ssssGk试画出伯德图。试画出伯德图。解解：1、该系统是、该系统是0型系统，所以型系统，所以5 . 0,25. 0,10, 021TTk则则dBkTT20log20, 21, 4122112、低频渐进线：斜率为、低频渐进线：斜率为 ，过点（，过点（1，20）dB020 3、伯德图如下：、伯德图如下：1012420( )L4060 第

57、四章第四章 频率特性频率特性 102244060红线红线为渐进线，为渐进线，蓝线蓝线为实际曲线。为实际曲线。 第四章第四章 频率特性频率特性 103例例4-2已知已知)05. 01)(125. 01)(101 ()1001 (10)(223ssssssG，试画伯德图。，试画伯德图。解解：1、,2005. 01, 8125. 01, 1 . 0101,01. 01001; 2;60log20,1043213kk2、低频渐进线斜率为、低频渐进线斜率为 ，过（，过（1，-60）点。）点。2040/dB dec 4、画出伯德图如下页：、画出伯德图如下页：3、高频渐进线斜率为、高频渐进线斜率为 ：20

58、()60/nmdB dec 第四章第四章 频率特性频率特性 104)60, 1 ( 2123红线红线为渐进线，为渐进线，蓝线蓝线为实际曲线。为实际曲线。 第四章第四章 频率特性频率特性 105例例4-3具有延迟环节的开环频率特性为：具有延迟环节的开环频率特性为： ，试画，试画出伯德图。出伯德图。jejGjk13)(5 . 0解：5 . 125 . 021313)(jjjkeeejG 可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特可见，加入了延迟环节的系统其幅频特性不变，相位特性滞后了。性滞后了。3log20100101)(L100101)(1tg5 . 0)(4590 第四章第四章 频率特性

59、频率特性 106最小相位系统最小相位系统非最小相位系统非最小相位系统若系统传递函数的所有零点和极点均在若系统传递函数的所有零点和极点均在s平面的左平面的左半平面，则该系统称为最小相位系统。半平面，则该系统称为最小相位系统。若系统传递函数的有零点或极点在若系统传递函数的有零点或极点在s平面的右半平面的右半平面，则该系统称为非最小相位系统。平面，则该系统称为非最小相位系统。最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统4.3.3 4.3.3 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统 第四章第四章 频率特性频率特性 107对于最小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯对于最

60、小相位系统，其传递函数由单一的幅值曲线唯一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。一确定。对于非最小相位系统则不是这种情况。 1111)(TjTjjG1120,11)(TTTjTjjGjT111T11TjT1图图4-184-18最小相位系统和非最小相位系统的零最小相位系统和非最小相位系统的零- -极点分布图极点分布图最小相位系统和非最小相位系统最小相位系统和非最小相位系统 第四章第四章 频率特性频率特性 108Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-20-15-10-5010-210-1100101102-180-135