无限脉冲响应数字滤波器的设计09101学习教案

1、会计学1无限无限(wxin)脉冲响应数字滤波器的设计脉冲响应数字滤波器的设计09101第一页，共125页。)(jeX0)(jeYc0)()()(nhnxny)()()(jjjeHeXeY0)(jeHc16.1 基本概念基本概念 第2页/共124页第1页/共124页第二页，共125页。数字滤波数字滤波(lb)(lb)器：器： 是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某系改变输入信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。些频率成分的器件。优点：优点： 高精度、高稳定性、体积小、重量轻、灵活；高精度、

2、高稳定性、体积小、重量轻、灵活；不要求阻抗匹配；不要求阻抗匹配；可实现特殊滤波可实现特殊滤波(lb)(lb)功能；功能；通过通过A/DCA/DC和和D/ACD/AC，使用数字滤波，使用数字滤波(lb)(lb)器对模拟信器对模拟信号处理号处理第3页/共124页第2页/共124页第三页，共125页。 一、一、 数字滤波器的分类数字滤波器的分类(fn li)1、一般分类、一般分类(fn li)经典滤波器：输入经典滤波器：输入(shr)(shr)信号中的有用频率成分和希信号中的有用频率成分和希望滤除望滤除 的频率成分占用不同频带的频率成分占用不同频带 通过选频滤波器达到滤波目的通过选频滤波器达到滤波目

3、的现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信 号的统计号的统计(tngj)(tngj)分布规律，从干扰中最佳提分布规律，从干扰中最佳提取取 信号，如：信号，如： 维纳滤波器、维纳滤波器、 卡尔曼滤波器、卡尔曼滤波器、 自适应滤波器等自适应滤波器等第4页/共124页第3页/共124页第四页，共125页。w0-|H(ejw)|低通(LF)频率响应2-2w0-|H(ejw)|高通(HF)频率响应2-2w0-|H(ejw)|带通BF频率响应2-2w0-|H(ejw)|带阻BS频率响应2-2特点：特点：(1)(1)单位脉冲响应是非因果且无限长，不可能实现

4、单位脉冲响应是非因果且无限长，不可能实现(shxin)(shxin)，只能尽，只能尽可可 能逼近；能逼近；(2)DF(2)DF的传输函数是以的传输函数是以2 2为周期，低通的中心频带处于为周期，低通的中心频带处于2 2的整的整 数倍处，高通的中心频带处于数倍处，高通的中心频带处于的奇数倍附近。的奇数倍附近。 2、按功能、按功能(gngnng)分：分：LP、HP、BP、BS、全、全通滤波器通滤波器 第5页/共124页第4页/共124页第五页，共125页。0)(jeHc10)(jeHc1如何用实际特性逼近如何用实际特性逼近(bjn)理想特性？理想特性？第6页/共124页第5页/共124页第六页，共

5、125页。3、按实现、按实现(shxin)的网络结构或单位抽样响应分：的网络结构或单位抽样响应分：IIR滤波器滤波器（N阶阶） NkkkMkkkzazbzH101FIR滤波器滤波器（N-1阶阶） 10NnnznhzH全极点全极点(jdin)系统或零、极点系统或零、极点(jdin)系统系统全零点全零点(ln din)系统系统第7页/共124页第6页/共124页第七页，共125页。 二、 数字滤波器的设计过程 1）按设计任务，确定滤波器性能要求(yoqi)，制定技术指标； 2）用一个因果稳定的LTI系统的系统函数H(z)逼近此性能指标，根据不同要求(yoqi)可以用IIR系统函数，也可以用 FIR

6、系统函数去逼近； 3）利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结构、字长的选择等。第8页/共124页第7页/共124页第八页，共125页。 三、三、 数字数字(shz)(shz)滤波器的技术指标滤波器的技术指标jwejjwjweeHeH|H(ejw)|系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后系统的幅频特性：表示信号通过该滤波器后各频率各频率(pnl)成分衰减情况。成分衰减情况。(ejw)系统的相频特性：反映各频率系统的相频特性：反映各频率(pnl)成分通成分通过滤波器后在时间上的延时情况。过滤波器后在时间上的延时情况。第9页/共124页第8页/共124页第九页，共125页。第10页/共124页第9

7、页/共124页第十页，共125页。011 通带截止频率通带截止频率阻带阻带(z di)截止频率截止频率111PSSP2过渡带过渡带通带通带阻带阻带(z di)jweH 通带容限通带容限1 阻带(z di)容限2第11页/共124页第10页/共124页第十一页，共125页。在通带内，幅度在通带内，幅度(fd)(fd)响应以最大误差响应以最大误差11逼近于逼近于1 1，即，即 在阻带内，幅度在阻带内，幅度(fd)(fd)响应以误差小于响应以误差小于22而逼近于零，即而逼近于零，即 2| )(|jeHs|1| )(|11jeH|p 在过渡带，从通带平滑地下降在过渡带，从通带平滑地下降(xijing)

8、到阻带到阻带第12页/共124页第11页/共124页第十二页，共125页。在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹在具体技术指标中往往使用通带允许的最大衰减（波纹(bwn)）和阻带应达到的最小衰减描述，定义分别为：和阻带应达到的最小衰减描述，定义分别为： 2010lg20| )(|lg20| )(| )(|lg20)1lg(20| )(|lg20| )(| )(|lg20ssppjjjsjjjpeHeHeHeHeHeH 假定假定|H(ej0)|=1(已被归一化已被归一化)|H(ejc)|=0.707，则，则 =3 dB；wc为为3db通带截止频率通带截止频率|H(ejs)|=0.001

9、，则，则 =60 dB。ps第13页/共124页第12页/共124页第十三页，共125页。NkkMkkNkkkMkkkzdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(IIRIIR滤波器的系统函数的设计就是确定各系数滤波器的系统函数的设计就是确定各系数ak, bkak, bk或零极点或零极点(jdin)ck(jdin)ck，dkdk和和A A，以使滤波器满足给定，以使滤波器满足给定的性能要求。的性能要求。四、四、 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计(shj)方法方法第14页/共124页第13页/共124页第十四页，共125页。设计方法通常有以下两种：设计方法通常有以下两种： 1. 1

10、. 先设计模拟先设计模拟(mn)(mn)滤波器，再转换为数字滤波器滤波器，再转换为数字滤波器wp , wsp, sH(s)H(z)巴特沃思设计巴特沃思设计(shj)切比雪夫设计切比雪夫设计(shj)脉冲响应不变脉冲响应不变双线性变换法双线性变换法第15页/共124页第14页/共124页第十五页，共125页。2. 2. 直接直接(zhji)(zhji)设计法设计法 零极点位置累试法零极点位置累试法 计算机辅助设计法计算机辅助设计法第16页/共124页第15页/共124页第十六页，共125页。第17页/共124页第16页/共124页第十七页，共125页。第18页/共124页第17页/共124页第十

11、八页，共125页。6.2 常用模拟常用模拟(mn)低通滤波器的设计方法低通滤波器的设计方法 常用的模拟滤波器原型有常用的模拟滤波器原型有: : 巴特沃思（巴特沃思（ButterworthButterworth）滤波器）滤波器 具有单调下降具有单调下降(xijing)(xijing)的幅频特性的幅频特性 切比雪夫（切比雪夫（ChebyshevChebyshev）滤波器）滤波器 幅频特性在通带或阻带有波动幅频特性在通带或阻带有波动 椭圆（椭圆（EllipseEllipse）滤波器）滤波器 通带和阻带均为等波纹特性通带和阻带均为等波纹特性 贝塞尔（贝塞尔（BesselBessel）滤波器）滤波器 通

12、带内有较好的线性相位特性通带内有较好的线性相位特性以这些数学函以这些数学函数命名的滤波数命名的滤波器是低通滤波器是低通滤波器的原型器的原型第19页/共124页第18页/共124页第十九页，共125页。图图 各种各种( ( zhn zhn) )理想模拟滤波器的幅频特性理想模拟滤波器的幅频特性 )(jaH低通带通带阻高通)(jaH)(jaH)(jaH000c第20页/共124页第19页/共124页第二十页，共125页。|Ha(j )|0.707 p s通带通带阻带阻带过过渡渡带带10 C p s通带通带过过渡渡带带阻带阻带 (dB) 衰减衰减 p S 0第21页/共124页第20页/共124页第二

13、十一页，共125页。22220lg100lg10saaspaapjHjHjHjH图中c称为(chn wi)3dB截止频率，因 ()1/2, 20lg()3acacHjHjdB()1/ 2, 20lg()3acacHjHjdB22lg10lg101010saspapajHjHjH，即处幅度已归一化到如果第22页/共124页第21页/共124页第二十二页，共125页。2、 逼近方法逼近方法用频率响应用频率响应(pn l xin yn)的幅度平方函数逼近的幅度平方函数逼近)()(| )(|*2jHjHjHaaa由于滤波器冲激响应由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数，因而是实函数，因而(yn r)Ha

14、(j)满足满足 )()(*jHjHaajsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2第23页/共124页第22页/共124页第二十三页，共125页。u 如何如何(rh)由由|Ha(j)|2求求Ha(s)？jsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|2稳定的滤波器要求左半平面的极点一稳定的滤波器要求左半平面的极点一定属于定属于(shy)Ha(s)(shy)Ha(s)，则右半平面，则右半平面的极点必属于的极点必属于(shy)Ha(-s)(shy)Ha(-s)；将以虚轴为对称轴的对称零点的任一将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为半作为Ha(s)Ha(s)的零

15、点，虚轴上的零点一的零点，虚轴上的零点一半归半归Ha(s)Ha(s)。第24页/共124页第23页/共124页第二十四页，共125页。由由|Ha(j)|2|Ha(j)|2确定确定Ha(s)Ha(s)的方法：的方法：由幅度平方函数得象限由幅度平方函数得象限(xingxin)(xingxin)对称的对称的s s平面函平面函数；数；将将Ha(s)Ha(-s)Ha(s)Ha(-s)因式分解，得到各零极点；因式分解，得到各零极点；对比对比Ha(j)Ha(j)和和Ha(s)Ha(s)，确定增益常数；，确定增益常数；由零极点及增益常数，得由零极点及增益常数，得Ha(s)Ha(s)。第25页/共124页第24

16、页/共124页第二十五页，共125页。2222236492516jHa 222223649251622sssjHsHsHsaaa 67252sssksHa 672544200ssssHkjHsHaasa第26页/共124页第25页/共124页第二十六页，共125页。二、二、 巴特沃思低通逼近巴特沃思低通逼近(bjn)NcajH22)/(11|)(|u N为正整数，代表为正整数，代表(dibio)滤波器的阶数。滤波器的阶数。u 当当=0时，时，|Ha(j0)|=1； u 当当=c时，时，|Ha(jc)|=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jc)|=3 dB， c为为3 dB截截止频率。（

17、止频率。（3分贝带宽）分贝带宽）第27页/共124页第26页/共124页第二十七页，共125页。 1) 在通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小；在通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小； 2) 过渡带及阻带过渡带及阻带(z di)内快速单调减小；内快速单调减小； 3) N越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄；越大，通带内特性越平坦，过渡带越窄； 4) 3dB不变性不变性;1. 1. 幅度幅度(fd)(fd)函数的特点函数的特点第28页/共124页第27页/共124页第二十八页，共125页。NcjsNcaaajssHsHjH2221111)()(Ha(s)Ha(-s)的极点的极点(jdin)为为 N

18、kjccNkejs2122121)() 1(k=0,1, 2, , 2N-1 Ha(s)Ha(-s)的的2N个极点个极点(jdin)等间隔分布在半径为等间隔分布在半径为c的的圆上。圆上。 2. 2. 幅度平方幅度平方(pngfng)(pngfng)特性特性的极点分布的极点分布全极点系统全极点系统第29页/共124页第28页/共124页第二十九页，共125页。ooc / 3jjc / 4(a) N3(b) N4 极点在极点在s平面呈象限平面呈象限(xingxin)对称，分布在巴对称，分布在巴特沃思圆上，共特沃思圆上，共2N个；个； 极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为/N rad； 极点极点(j

19、din)不会落在虚轴上（起点不会落在虚轴上（起点(/2)+ (/2N)）；）； N=奇数奇数 实轴上有极点实轴上有极点(jdin)，N=偶数偶数 实轴上无极点实轴上无极点(jdin)。第30页/共124页第29页/共124页第三十页，共125页。 为形成稳定的滤波器，Ha(s)Ha(-s)的2N个极点中只取S左半平面(pngmin)的N个极点为Ha(s)的极点，而右半平面(pngmin)的N个极点构成Ha(-s)的极点。10)()(NkkNcasssHNkjckes21221k=0,1, 2, , 2N-1 3. 滤波器系统滤波器系统(xtng)函数函数Ha(s)230121 33231345

20、 jccjjccjccsessesesse 设设N=3N=3，极点有，极点有6 6个，它们个，它们(t men)(t men)分分别为别为 32323jccjccaessessH第31页/共124页第30页/共124页第三十一页，共125页。 cspaapHsHu由于各滤波器的幅频特性不同由于各滤波器的幅频特性不同(b tn(b tn) )，为使设，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对计统一，将所有的频率归一化。这里采用对3dB3dB截止截止频率频率cc归一化归一化u s/c=j/c s/c=j/c u =/c =/c，称为归一化频率；称为归一化频率；u p=j p=j，p p称为归一

21、化复变量，归一化巴特沃斯称为归一化复变量，归一化巴特沃斯的传输函数为的传输函数为101( )()aNkkccHsss101( )()aNkkHppp4 4、归一化系统、归一化系统(xtng)(xtng)函数函数第32页/共124页第31页/共124页第三十二页，共125页。121()22,0,1,1kjNkpekN2101211( )aNNNHpbb pb pbpp第33页/共124页第32页/共124页第三十三页，共125页。 （1）确定(qudng)模拟滤波器的技术指标p, s，p s ； （2） 根据技术指标求出滤波器阶数N：5. 5. 滤波器的设计滤波器的设计(shj)(shj)步步骤

22、骤NcppapapjHjH2211lg201101 . 02pNcp通带截止频率关于通带截止频率关于c归一化归一化NcssasasjHjH2211lg201101 . 02sNcs阻带截止频率关于阻带截止频率关于c归一化归一化第34页/共124页第33页/共124页第三十四页，共125页。1101 . 02pNcp1101 . 02sNcs1101101 . 01 . 0spNsp,pssp 令令：110110k1 . 01 . 0spspspspkN lglg 取大于等于取大于等于(dngy)N(dngy)N的的最小整数最小整数第35页/共124页第34页/共124页第三十五页，共125页。

23、3）求出归一化系统）求出归一化系统(xtng)函数函数Ha (p) NkkapppH11Nkjkep21221k=0,1, 2, , N-1 巴特沃思圆巴特沃思圆第36页/共124页第35页/共124页第三十六页，共125页。第37页/共124页第36页/共124页第三十七页，共125页。巴特沃斯归一化低通滤波器分母巴特沃斯归一化低通滤波器分母(fnm)多项式的因式分解多项式的因式分解第38页/共124页第37页/共124页第三十八页，共125页。巴特沃斯归一化低通滤波器分母巴特沃斯归一化低通滤波器分母(fnm)(fnm)多项多项式系数式系数第39页/共124页第38页/共124页第三十九页，

24、共125页。 4）去归一化）去归一化 caspaacsHpHsHspc)(通带指标刚好通带指标刚好(gngho)，阻带指标有，阻带指标有富裕富裕阻带指标阻带指标(zhbio)刚好，通带指标刚好，通带指标(zhbio)有富裕有富裕pNcp1 . 02101sNcs1 . 02101Npcp211 . 0) 110(Nscs211 . 0) 110(第40页/共124页第39页/共124页第四十页，共125页。0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN 第41页/共124页第40页/共124页第四十一页，共125页。归一化传输

25、归一化传输(chun sh)函数为函数为401()()akkHppppk=ej (+(2k+1)/2N) k=0,1,2,N-15745632541530jjjjjepepepepep第42页/共124页第41页/共124页第四十二页，共125页。5432432101( )aHppb pb pb pb pb b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361 11618. 11618. 0122ppppppHa第43页/共124页第42页/共124页第四十三页，共125页。将将p=s/cp=s/c代入代入Ha(p)Ha(p)中得到中得到(d (d

26、 do)do)：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb10.1210.12(101)25.2755/(101)210.525/psaNcpaNsckrad skrad s 此时算出的截止频率比题目中给出的小，或者说在截止频率处的衰减(shui jin)大于30dB，所以说阻带指标有富裕量。b0=1.0000、b1=3.2361、b2=5.2361、b3=5.2361、b4=3.2361第44页/共124页第43页/共124页第四十四页，共125页。比同阶的比同阶的Butterworth滤波器具有滤波器具有(jyu)更陡峭更陡峭的过渡带和更优的阻带衰减特性的过渡

27、带和更优的阻带衰减特性.振幅具有振幅具有(jyu)等波纹等波纹.(1) Chebyshev低通滤波器特点低通滤波器特点(tdin)第45页/共124页第44页/共124页第四十五页，共125页。第46页/共124页第45页/共124页第四十六页，共125页。 ，表示通带波纹大小，表示通带波纹大小， 越大，波纹越大越大，波纹越大01N：滤波器的阶数：滤波器的阶数)(11)()(2222pNaCjHA ：N阶阶Chebyshev多项式多项式( )NCx通带截止频率:p第47页/共124页第46页/共124页第四十七页，共125页。1),(1),arccoscos()(xNArchxchxxNxCN

28、第48页/共124页第47页/共124页第四十八页，共125页。)1ln(,22xxArchxeechxxx第49页/共124页第48页/共124页第四十九页，共125页。N为偶为偶数数2( 0)1/ 1aHjN为奇为奇数数( 0)1aHj0 v )(11)(22pNaCjH211)(,jHap时之间等波纹起伏和在通带内2111:p增大迅速下降随通带外:p第50页/共124页第49页/共124页第五十页，共125页。(2) 设计设计(shj)原理原理)(11)()(222pNaCjHA)(11)()(22pNaajsCsHsH)(,sHa确定求极点第51页/共124页第50页/共124页第五十

29、一页，共125页。;,和参数确定阶数和由技术指标Nsspp)()(11psArchkArchN其中其中(qzhng)1101101 . 01 . 011psk1101 . 0p第52页/共124页第51页/共124页第五十二页，共125页。)()2(sHa求)1(1, 2 , 1,)212cos()212sin()(ArshNNiNichNichjssHpipiiiia其中的极点确定)(sHa用左半平面的极点构成第53页/共124页第52页/共124页第五十三页，共125页。6.3 6.3 模拟模拟(mn)(mn)滤波器的频率变换滤波器的频率变换 AF滤波器LP其他AF滤波器HP, BP, B

30、S设：传输(chun sh)函数归一化截止频率归一化拉氏变量(binling)p=jq=j归一化传输函数G(p)H(q) sG各类模拟滤波器的设计过程图 HPBPBS指标LP指标G(j)传输函数传输函数频率变换频率变换设计jHjHjHBSBPHP sH第54页/共124页第53页/共124页第五十四页，共125页。0jGjH0sccscssc低通到高通低通到高通第55页/共124页第54页/共124页第五十五页，共125页。sccs00:00:sccs0csccsssc第56页/共124页第55页/共124页第五十六页，共125页。jjjcccc2ssccjs ccc11qpsscc1第57页

31、/共124页第56页/共124页第五十七页，共125页。 qppGqH1 csqqHsH spcpGsH第58页/共124页第57页/共124页第五十八页，共125页。解解:高通技术要求高通技术要求(yoqi)： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB归一化频率归一化频率低通技术低通技术(jsh)要求：要求：11,23,15psspsdBdB5 . 01cscsscpcppffff第59页/共124页第58页/共124页第五十九页，共125页。0.10.1321010.181012lg2.47,3lg1( )221psspssppspspkkNNG pppp 求模拟求模

32、拟(mn)(mn)高通高通H(s)H(s)： pccccspfsssspGsHc22232233第60页/共124页第59页/共124页第六十页，共125页。设计技术设计技术(jsh)(jsh)成熟成熟有相当简便的有相当简便的公式和图表公式和图表模拟滤波器模拟滤波器)(sHaAF由此设计由此设计数字滤波器数字滤波器)(zHDF要求要求DFDF特性特性(txng)(txng)模仿模仿AFAF的特性的特性(txng)(txng)实际上是个映射实际上是个映射(yngsh)(yngsh)问题问题MappingMapping离散时间域离散时间域(Z(Z平面平面) )转换关系转换关系连续时间域连续时间域(

33、S (S平面平面) )第61页/共124页第60页/共124页第六十一页，共125页。（1 1） H(z) H(z)的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿(mfng)Ha(s)(mfng)Ha(s)的频率响应的频率响应 也即也即S S平面虚轴平面虚轴jj必须映射到必须映射到Z Z平面的单位圆平面的单位圆ejej上上（2 2） 因果稳定的因果稳定的Ha(s)Ha(s)应能映射成因果稳定的应能映射成因果稳定的H(z)H(z) 也即也即S S平面的左半平面平面的左半平面ReRes s00必须映射到必须映射到Z Z平面单位平面单位 圆的内部圆的内部|z|1 |z|1 对转换对转换(zhunhun)关系提

34、出两点要求关系提出两点要求:满足上述转换关系满足上述转换关系(gun x)的映射方的映射方法有：法有：脉冲响应不变法脉冲响应不变法和和双线性变换法双线性变换法第62页/共124页第61页/共124页第六十二页，共125页。一、一、 变换原理变换原理数字滤波器的单位脉冲响应序列数字滤波器的单位脉冲响应序列(xli)h(n)(xli)h(n)模仿模拟滤波器的冲模仿模拟滤波器的冲激响应激响应ha(t)ha(t)，即将，即将ha(t)ha(t)进行等间隔采样，使进行等间隔采样，使h(n)h(n)正好等于正好等于ha(t)ha(t)的采样值，满足：的采样值，满足： 6.4 用脉冲响应不变法设计用脉冲响应

35、不变法设计(shj)IIR数字滤波器数字滤波器 nTtathnhHa(s)H(z)第63页/共124页第62页/共124页第六十三页，共125页。 sHzHaezsT)(Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时域采样时域采样(ci yn)h(n)ZTh(n)H(z)所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换(binhun)(binhun)方法方法sTez S S平面平面(pngmin)(pngmin)到到Z Z平面平面(pngmin)(pngmin)的映射关系为：的映射关系为：kTjsHTjksHTkaska21)(1)(,)(,)(,)()(zHzsHezs

36、HssHthAFasTaaas得到得到平面上平面上映射到映射到将将关系关系的映射的映射然后再经过然后再经过得到得到周期延拓周期延拓平面上沿虚轴平面上沿虚轴在在的拉氏变换的拉氏变换的的 第64页/共124页第63页/共124页第六十四页，共125页。 j S/2- S/23 S/2ImZReZjwsTrezezTerTjs第65页/共124页第64页/共124页第六十五页，共125页。二、混叠失真二、混叠失真(sh zhn)(sh zhn)数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应间的关系为 TkjHTeHkaj21)(数字滤波器的频率数字滤波

37、器的频率(pnl)响应是模拟滤波器频率响应是模拟滤波器频率(pnl)响应的周响应的周期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率期延拓。正如采样定理所讨论的，只有当模拟滤波器的频率(pnl)响应是限带的，且带限于折叠频率响应是限带的，且带限于折叠频率(pnl)以内时，数字滤以内时，数字滤波器的频响在折叠频率波器的频响在折叠频率(pnl)内重现模拟滤波器的频响而不产内重现模拟滤波器的频响而不产生混叠失真。生混叠失真。 0)(jHa2|sTTjHTeHaj1)(|第66页/共124页第65页/共124页第六十六页，共125页。 任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的，任何一个实际

38、的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的， 变变换后就会产生换后就会产生(chnshng)(chnshng)周期延拓分量的频谱交叠，即产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生(chnshng)(chnshng)频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。于原模拟滤波器的频响，而带有一定的失真。 当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设

39、计的数字滤波器才能得到良好的效果。的数字滤波器才能得到良好的效果。 脉冲响应不变法只适合脉冲响应不变法只适合(shh)(shh)于设计于设计LPLP和和BPBP滤波器滤波器第67页/共124页第66页/共124页第六十七页，共125页。图图 脉冲响应不变法脉冲响应不变法(bin f)(bin f)中的频响混叠现象中的频响混叠现象 3 2)j(aHoo23 T)(ejHT2TTT2第68页/共124页第67页/共124页第六十八页，共125页。第69页/共124页第68页/共124页第六十九页，共125页。 三、模拟三、模拟(mn)(mn)滤波器的数字化方法滤波器的数字化方法 设模拟设模拟(mn

40、)(mn)滤波器的系统函数滤波器的系统函数Ha(s)Ha(s)只有单阶极点，只有单阶极点，且假定分母的阶数高于分子的阶数且假定分母的阶数高于分子的阶数 NkkkassAsH1)(NktskaatueAsHLthk11)()()(NknTskNknTskanueAnueAnThnhkk11)()()()()( NkTskNknTsnknNknTsknnzeAzeAzeAznhzHkkk111100111)()()()(第70页/共124页第69页/共124页第七十页，共125页。（1 1）极点：）极点：S S平面平面s=sk Zs=sk Z平面上平面上z=eskTz=eskT（2 2）系数相同：

41、）系数相同：Ak Ak （3 3）稳定性不变：）稳定性不变：S S平面平面ReResksk0 Z0 Z平面平面|eskT|1|eskT|1（4 4）零点位置）零点位置(wi zhi)(wi zhi)没有这种代数对应关系没有这种代数对应关系 NkTskNkkkazeAzHssAsHk1111第71页/共124页第70页/共124页第七十一页，共125页。21211)()(:sssHa形式一极点极点(jdin)-(jdin)-1 1j j1 1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111121211cos12cosTTTzeTzeTze第72页/共124页第7

42、1页/共124页第七十二页，共125页。21211)()(:ssHa形式二极点极点(jdin)-(jdin)-1 1j j1 1+=0nnnT1jnT1jnT1nnz)ee(21ez )n( h)z(H1111112211112121,()sin1 2cosTTTjsz eTz eTz e 第73页/共124页第72页/共124页第七十三页，共125页。TjHTeHaj1)(| 如果采样频率很高，即如果采样频率很高，即T很小，数字滤波器可能具有太高的增益，容易很小，数字滤波器可能具有太高的增益，容易溢出，这是不希望的。为了使数字滤波器增益不随采样频率而变化溢出，这是不希望的。为了使数字滤波器增

43、益不随采样频率而变化(binhu)，可以作以下简单的修正，令，可以作以下简单的修正，令 h(n)=Tha(nT) NkTskzeTAzHk111)(TjHkTjTjHTTeHakaj21)(| 第74页/共124页第73页/共124页第七十四页，共125页。例例 6-3 6-3 设模拟滤波器的系统设模拟滤波器的系统(xtng)(xtng)函数为函数为 3111342)(2sssssHa试利用脉冲响应不变法将试利用脉冲响应不变法将Ha(s)Ha(s)转换成转换成IIRIIR数字数字(shz)(shz)滤波器的系统函数滤波器的系统函数H(z) H(z) 解：解： 数字滤波器的系统数字滤波器的系统(

44、xtng)(xtng)函数为函数为 TTTTTTTezeezeeTzezTezTzH423131311)(1)(11)(设设T T=1=1，则有，则有 21101831. 04177. 013181. 0)(zzzzH第75页/共124页第74页/共124页第七十五页，共125页。 模拟滤波器的频率响应Ha(j)以及(yj)数字滤波器的频率响应H(ej)分别为: 2201831. 04177. 013181. 0)(432)(jjjjaeeeeHjjH）（把把|Ha(j)|Ha(j)|和和|H(ej)|H(ej)|画在图上。由该图可看出画在图上。由该图可看出(kn ch)(kn ch)，由于，

45、由于Ha(j)Ha(j)不是充分限带的，所以不是充分限带的，所以H(ej)H(ej)产生了严重的频谱混叠失真。产生了严重的频谱混叠失真。 第76页/共124页第75页/共124页第七十六页，共125页。图图 例例6-36-3的幅频特性的幅频特性 / T2/ T2)j(aH)(ejHoo第77页/共124页第76页/共124页第七十七页，共125页。四、优缺点四、优缺点 1 1、优点：、优点： 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是波器的单位冲激响应，也就是(jish)(jish)时域逼近良好；时

46、域逼近良好； 模拟频率模拟频率和数字频率和数字频率之间呈线性关系之间呈线性关系=T=T。 因而，一个线因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性相位的数字滤波器。然是一个线性相位的数字滤波器。 第78页/共124页第77页/共124页第七十八页，共125页。 2、缺点、缺点是有频率响应的混叠效应是有频率响应的混叠效应(xioyng) 脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器脉冲响应不变法只适用于限带的模拟滤波器(例如，例如， 衰衰减特性很好的低通或带通滤波器减特性很好的低通或带通滤波器)

47、，而且高频衰减越快，混叠，而且高频衰减越快，混叠效应效应(xioyng)越小。越小。 不适于高通和带阻滤波器的设计，由于它们在高频部分不不适于高通和带阻滤波器的设计，由于它们在高频部分不衰减，衰减， 因此将完全混淆在低频响应中。因此将完全混淆在低频响应中。第79页/共124页第78页/共124页第七十九页，共125页。第80页/共124页第79页/共124页第八十页，共125页。6.5 6.5 用双线性变换法设计用双线性变换法设计(shj)IIR(shj)IIR数字滤波器数字滤波器 一、变换原理一、变换原理从从S S平面到平面是多值的映射关系造成频率响应的混叠失真平面到平面是多值的映射关系造成

48、频率响应的混叠失真克服：克服：第一步先将整个第一步先将整个S S平面压缩平面压缩(y su)(y su)映射到映射到S1S1平面的平面的-/T-/T/T/T一一条横带里；条横带里；第二步再通过标准变换关系第二步再通过标准变换关系z=es1Tz=es1T将此横带变换到整个将此横带变换到整个Z Z平面上去。平面上去。这样就使这样就使S S平面与平面与Z Z平面建立了一一对应的单值关系，平面建立了一一对应的单值关系， 消除了多值变消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象。换性，也就消除了频谱混叠现象。 第81页/共124页第80页/共124页第八十一页，共125页。j 平面的单位圆外的右半平面平面的

49、单位圆上平面的虚轴平面的单位圆内的左半平面映射zszszsezzHsHsTsa11111)()( 1j 1 S/2- S/2ImZReZ 第82页/共124页第81页/共124页第八十二页，共125页。 为了将S平面的整个虚轴j压缩到S1平面j1轴上的-/T到/T段上，可以通过以下(yxi)的正切变换实现 2tan22tan21TTT式中式中, T, T仍是采样间隔。仍是采样间隔。 当当11由由-/T-/T经过经过0 0变化变化(binhu)(binhu)到到/T/T时，时，由由-经过经过0 0变化变化(binhu)(binhu)到到+， 也即映射了整个也即映射了整个jj轴。将式（轴。将式（5

50、-5-4242）写成）写成 2/2/2/2/11112TjTjTjTjeeeeTj第83页/共124页第82页/共124页第八十三页，共125页。 将此关系解析(ji x)延拓到整个S平面和S1平面，令j=s，j1=s1， 则得111111/2/21/2/2222 1tan21sTsTsTsTsTsTsTeeesT eeTTe再将再将S1S1平面平面(pngmin)(pngmin)通过以下标准变换关系映射到通过以下标准变换关系映射到Z Z平面平面(pngmin)(pngmin)： z=es1T 从而从而(cng r)(cng r)得到得到S S平面和平面和Z Z平面的单值映射关系为：平面的单值

51、映射关系为： 11112zzTssTsTsTsTz222121S S平面与平面与Z Z平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双线性变换。比，因此称为双线性变换。 第84页/共124页第83页/共124页第八十四页，共125页。二、逼近的情况二、逼近的情况 双线性变换双线性变换(binhun)(binhun)符合映射变换符合映射变换(binhun)(binhun)应满足的两点要应满足的两点要求。求。 （1 1）把）把z=ejz=ej代入式，可得代入式，可得 jTjeeTsjj2tan2112即即S S平面的虚轴映射平面的虚

52、轴映射(yngsh)(yngsh)到到Z Z平面的单位圆。平面的单位圆。 第85页/共124页第84页/共124页第八十五页，共125页。（2 2） 将将s s= =+j+j代入式得代入式得 jTjTz22222222|TTz第86页/共124页第85页/共124页第八十六页，共125页。 由此看出： 当0时， |z|0时，|z|1。 即 S平面的左半平面映射到Z平面的单位圆内，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外，S平面的虚轴映射到Z平面的单位圆上。 因此，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得(su d)的数字滤波器也一定是稳定的。 第87页/共124页第86页/共124页第八十七页，共12

53、5页。三、优缺点三、优缺点 优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为优点是避免了频率响应的混叠现象。这是因为S S平面平面(pngmin)(pngmin)与与Z Z平面平面(pngmin)(pngmin)是单值的一一对应关系。是单值的一一对应关系。S S平面平面(pngmin)(pngmin)整个整个jj轴单值地对应于轴单值地对应于Z Z平面平面(pngmin)(pngmin)单位圆一周，单位圆一周， 即频率轴是单值变换关系。即频率轴是单值变换关系。2tan2TS S平面上平面上与与Z Z平面的平面的成非线性的正切成非线性的正切(zhngqi)(zhngqi)关系。关系。 第88页/共124页

54、第87页/共124页第八十八页，共125页。双线性变换法的频率双线性变换法的频率(pnl)(pnl)变换关系变换关系 o2tan2T在零频率在零频率(pnl)附近，模拟附近，模拟角频率角频率(pnl)与数字频率与数字频率(pnl)之间的变换关系接近之间的变换关系接近于线性关系；于线性关系；当当进一步增加时，进一步增加时，增增长得越来越慢，最后当长得越来越慢，最后当时，时，终止在折叠终止在折叠频率频率=处，因而双线处，因而双线性变换就不会出现由于高性变换就不会出现由于高频部分超过折叠频率而混频部分超过折叠频率而混淆到低频部分去的现象，淆到低频部分去的现象， 从而从而(cng r)(cng r)消

55、除了频消除了频率混叠现象。率混叠现象。第89页/共124页第88页/共124页第八十九页，共125页。模拟角频率模拟角频率和数字角频率和数字角频率的映射的映射(yngsh)(yngsh)关系关系22tanT Ha(j ) 2 第90页/共124页第89页/共124页第九十页，共125页。 频率之间的非线性变换关系，就产生了新的问题。 首先，一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到非线性相位的数字(shz)滤波器，不再保持原有的线性相位了； 其次，这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应近似等于某一常数（这正是一般典型的低通、高通、带通、带阻型滤波器的响

56、应特性），不然变换所产生的数字(shz)滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变。 第91页/共124页第90页/共124页第九十一页，共125页。双线性变换法幅度和相位双线性变换法幅度和相位(xingwi)(xingwi)特性的非线性映射特性的非线性映射ooo)j (aH)(ejHooo)(eargjH)j (argaH第92页/共124页第91页/共124页第九十二页，共125页。 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到(d do)幅频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘的临界频率点产生了畸变， 这种频率的畸变，可以通过频率的预畸来加以校正。也就是将临界模拟频率事先加以畸

57、变， 然后经变换后正好映射到所需要的数字频率上。 第93页/共124页第92页/共124页第九十三页，共125页。)(jeH)( jHa)2tan(2T第94页/共124页第93页/共124页第九十四页，共125页。)(jeH)2tan(2T)( jHa第95页/共124页第94页/共124页第九十五页，共125页。四、模拟四、模拟(mn)(mn)滤波器的数字化方法滤波器的数字化方法 双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较双线性变换法比起脉冲响应不变法来，在设计和运算上也比较直接和简单。由于双线性变换法中，直接和简单。由于双线性变换法中，s s到到z z之间的变换是简单的代数之

58、间的变换是简单的代数关系，即关系，即 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa频率响应也可用直接频率响应也可用直接(zhji)代换的方法得到代换的方法得到 2tan2)()(2tan2TjHjHeHTaj第96页/共124页第95页/共124页第九十六页，共125页。 （1） 如果给出的是待设计的带通滤波器的数字(shz)域转折频率（通、 阻带截止频率）1、2、3、4及采样频率(1/T)，则直接利用式2tan2T计算出相应的模拟滤波器的转折频率计算出相应的模拟滤波器的转折频率11、22、33和和44。这样得到。这样得到的模拟滤波器的模拟滤波器Ha(s)Ha(s)的转折频率的转折

59、频率11、22、33和和44，经双线性变换后，经双线性变换后就映射就映射(yngsh)(yngsh)到数字滤波器到数字滤波器H(z)H(z)的原转折频率的原转折频率11、22、33和和44。 设计设计(shj)步骤：步骤：第97页/共124页第96页/共124页第九十七页，共125页。 如果给出的是待设计如果给出的是待设计(shj)的带通滤波器的模拟域转折频率（通、的带通滤波器的模拟域转折频率（通、 阻阻带截止频率）带截止频率）f1、f2、f3、f4和采样频率和采样频率(1/T)，则需要先计算数字滤波器的，则需要先计算数字滤波器的转折频率（通、阻带截止频率）转折频率（通、阻带截止频率）、2、3

60、 和和4。 =2fT 再进行再进行(jnxng)(jnxng)预畸变得预畸变得11、 3 3和和4 4 2tan2THa(s) Ha(s) 经双线性变换后映射到数字滤波器经双线性变换后映射到数字滤波器H(z)H(z)的转折频率的转折频率11、22、 3 3、44，并且，并且(bngqi)(bngqi)能保证数字域频率能保证数字域频率11、22、33、44与给定的模拟域转折频率与给定的模拟域转折频率f1f1、f f、f f、f4f4成线性关成线性关系。系。第98页/共124页第97页/共124页第九十八页，共125页。 （3 3）将）将 代入代入H Ha a( (s s) )，得，得H H( (