一轮复习配套讲义：第3篇第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

1、第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲1 . 了解任意角的概念；了解弧度制的概念.2 .能进行弧度与角度的互化.3 .理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.诊断基础知识由浅入深夯基固本知识梳理1 .角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点丛二个位置旋转到另一个位置所成的图形.按旋转方向不同分为正角、负角、零角_.分类:按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角 a终边相同的角，连同角 a在内，可构成一个集合S=3Aa+ k 360°, k ez.2 .弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的

2、角.弧度记作rad.公式：角a的弧度数公式|“=:(弧长用l表示)角度与弧度的换算 10=瑞同1 rad= V17）。弧长公式弧长l = | a|r扇形面积公式C 112S= 3卜=习排3.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x, y),那么y_叫做a的正弦，记作sin aX叫做a的余弦，记作COS a'叫做a的正切，记作tan a XI十十十R十一一m一一十IV一十一口诀I全正，II正弦，田正切，N余弦续表M升”辨析感悟1.对角的概念的认识(1)小于90°的角是锐角.(X)(2)锐角是第一象限角，反之亦然.(X)将表的分针拨快

3、5分钟，则分针转过的角度是30 .(X)(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.(X)2.任意角的三角函数定义的理解(5)(教材练习改编)已知角a的终边经过点P(-1,2),则Sin a=2.5 一5 .(6)(2013济南模：?H改编)点P(tan的(V)cos 在第三象限，则角a的终边在第二象限.(7)(2011新课标全国卷改编)已知角上,则cos仁苇5(V)8的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x(X)感悟提升1 . 一个区别“小于90。的角”、“锐角”、“第一象限的角”的区别如下：小于90。的角的范围：21；锐角的范围：,，21；第一象限角的范围：52

4、k乃2k兀+2(kC Z).所 以说小于90°的角不一定是锐角，锐角是第一象限角，反之不成立.如(1)、(2).2 .三个防范 一是注意角的正负，特别是表的指针所成的角，如 (3);二是防止角度制与弧度制在同一式子中出现；三是如果角 a的终边落在直线上时，所求三角函数值有可能有两解，如 (7).突破高频考点以例求法举一反三考点一 象限角与三角函数值的符号判断【例1】 若sin a tan a< 0,且Cos< 0,则角口是().tan aA.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)sin 2 cos 3 tan 4 的值().A.小于0B,大于0C.等于

5、0D.不存在解析(1)由sin a tan o< 0可知sin % tan a异号，从而a为第二或第三象限的角，由yos-< 0,可知cos tan a内tan a异号.从而a为第三或第四象限角.综上，a为第三象限角.(2)sin 2>0, cos 3V0, tan 4>0,sin 2 cos 31an 4< 0.答案(1)C (2)A规律方法 熟记各个三角函数在每个象限内的符号是判断的关键，对于已知三角函数式符号判断角所在象限，可先根据三角函数式的符号确定各三角函数值的符号，再判断角所在象限.【训练1】 设8是第三象限角，且cos 2 = cos，则2是().A

6、.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析 由8是第三象限角，知2为第二或第四象限角，9。. 9: cos 2 = cos 2，cos 2<0,知2为弟二象限角.答案B考点二三角函数定义的应用2【例2】 已知角8的终边经过点P(-V3, m)(mw0)且sin4二m,试判断角8所在的象Bg,并求cos 9和tan 8的值.解 由题意得，r=,3+ m2,sin 0=2 = -2m.: mw0,. m= 05.故角8是第二或第三象限角.当m=<5时，r=242,点P的坐标为（一，3,洞,角8是第二象限角,153 .x - J3my cos 8= ; = 2& = ta

7、n 8= x当m=由时，r=242,点P的坐标为（一。3,一回 角8是第三象限角. cos A-X_ n/3一& tan 0-y_=/5_亚5°一1 2V2- 4 ' tan '-飞-3 .综上可知，cos g一手,tan 仁一皆5或 cos 4一卡,tan 仁（5 规律方法 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点 的点的横坐标X、纵坐标y、该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上， 此时注意在终边 上任取一点有两种情况（点所在象限不同）.【训练2】已知角a的终边在直线y= 3X上，求10sin a+总的化

8、解设角a终边上任一点为P(k, 3k), 则 r = k2+( 3kj =50k|.当 k>0 时，r = qi0k,. sin lT_ 且血痂 一归氏一述，cosk 一小010sin a+ -=-310+3710=0; cos a当 k<0 时，r=-Vl0k,二 sin k3k 3-V10k-Vl0，cos a k10sin a+ 3 = 3>/l0- 310= 0. cos,3综上 , 10sin 什 cos；= 0.考点三扇形弧长、面积公式的应用【例3】 已知一扇形的圆心角为 人4 0）,所在圆的半径为R.若a= 60°, R=10 cm,求扇形的弧长及该弧

9、所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0),当a为多少弧度时，该扇形有最大面积？11 2审题路线 (1)角度化为弧度？求扇形的弧长? S弓=$扇一$4?分别求S扇=2卜，$4=皆sin a?计算得S弓.(2)由周长C与半径R的关系确定R与a的关系式？代入扇形面积公式？确定S扇与a的关系式？求解最 化解(1)设弧长为1,弓形面积为S弓，则后 60 =最 R= 10, 1=2x 10=-(cm),333S 弓=$扇一$4 = 1*竽* 10-1X 102Xsin232号用50好m2).C法一 扇形周长 C=2R+1 = 2R+ aR,R=；,2十a4+ 416-_C21_c2:

10、2 / 4 + 4 a+ I = 2，一 ,，2C2当且仅当，=4,即a= 2 rad时，扇形面积有最大值C6.法二由已知，得l + 2R=C,c 11_ _ 1_2 -.S 扇=2lR = 2(C 2R)R=2(2R2 + RC)C216.故当R=4，1 = 2R, a= 2 rad时，这个扇形的面积最大，最大值为规律方法(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于 a的不等式或利用二次函数求最 值的方法确定相应最值.学生用书第50页【训练3】(1)一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的

11、圆心角是多少弧 度？扇形的面积是多少？(2)一扇形的周长为20 cm；当扇形的圆心角a等于多少弧度时，这个扇形的面积最大?解（1）设扇形的圆心角为9 rad,则扇形的周长是2r+r。 依题意：2r + r卜* .8= （ l 2）rad.1 O 1o扇形的面积S= 2r仁2（广2）r .设扇形的半径为r,弧长为1,则 1+2r = 20,即 1 = 20 2r（0<r<10）.扇形的面积 S= 21r = 2（20 2r）r= r2+10r= （r 5）2 + 25.当r = 5 cm时，S有最大值25 cm2,止匕时 1 = 10 cm,后 r= 2 rad.因此，当a= 2 r

12、ad时，扇形的面积取最大值.I课堂小结I1.在利用三角函数定义时，点 P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点.|OP| = r一定是正化2,三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.培养解题能力教你解囿提升能力创新突破4以任意角为背景的应用问题【典例】（2012山东卷）如图，在平面直角坐标系 xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1）,止匕时圆一上一点P的位置在（0,0）,圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2,1）时，OP的坐标为.突破1:理解点P转动的弧长是解

13、题的关键，在单位圆中可寻找直角三角形.突破2:在直角三角形中利用三角函数定义求边长.突破3:由几何图形建立P点坐标与边长的关系.解析 如图，作CQ/x轴，PQXCQ, Q为垂足.根据题意得劣弧 万。=2,故/DCP = 2,则在4PCQ 中，/ PCQ=2。|CQ|=cos 匕2)= sin 2, |PQ|=sin2j= - cos 2,所以P点的横坐标为2|CQ| = 2 sin 2, P点的纵坐标为1 + |PQ|=1cos 2,所以P点的坐标为(2 sin2.1- cos 2),一故 OP=(2 sin 2,1-cos 2).答案(2 sin 2,1-cos 2)反思感悟(1)解决此类问

14、题时应抓住在旋转过程中角的变化，结合弧长公式、解三角形等知识来解决.常见实际应用问题有：表针的旋转问题、儿童游乐场的摩天轮的旋转问题等.【自主体验】 已知圆O: x2+y2=4与y轴正半轴的交点为M ,点M沿圆。顺时针运动2弧长到达点N,以ON为终边的角记为a,则tan 0F=().A. -1B. 1C. -2D. 2解析 圆的半径为2, 2的弧长对应的圆心角为,故以ON为终边的角为2k冗+热kC Z 故tan a=1.答案B课时题组训练阶排训练练出高分基础巩固题组（建议用时：40分钟）、选择题1 .若 sin a<0 且 tan A0,则 口是（）.A.第一象限角B.第二象限角C.第三

15、象限角D.第四象限角解析 . sin 0K 0,则a的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan A 0,a在第一象限或第三 象限，故a在第三象限.答案C2 . （2014汕头一中质检）一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）.A. 3B专Ca/3Da/2解析 设圆的半径为R,由题意可知，圆内接正三角形的边长为 寸3R，圆弧长为J3R；该圆弧所对圆 心角的弧度数为鬻=3.R答案C3.点P从（1,0）出发，沿单位圆x2 + y2=1按逆时针方向运动2场长到达Q点，则Q的坐标为（）.3A（_ 1 泻B c亚 _nC c 1 _亚）D c亚1）A. < 2 2 .&

16、#39;B. < 2， 2,'C.< 22 .'D. < 2 5 2.'解析由弧长公式得，P点逆时针转过的角度a= y,所以Q点的坐标为（cos2j siny ,即点 挈答案A4,已知点P sin，cos宇内在角8的终边上，且 院0,2 m;）则8的值为（）.jt3jt5jt7jt4B. 4C. 44解析 由sin ?>0, cos 0知角8是第四象限的角,3 - cos /74 . 、7 几 tan 仁3"= 一1' " 0,2 %) 二44.sin 丁4答案D5 .有下列命题:终边相同的角的同名三角函数的值相等;终

17、边不同的角的同名三角函数的值不等;若Sin a>0,则a是第一、二象限的角;若a是第二象限的角，且 fXP(X, y)是其终边上一点，贝 cos a= / 2，x +y其中正确的命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4解析正确，不正确,. sin3= sin争，而却多的终边不相同.不正确.sin a>0, a的终边也可能在y轴的正半轴上.X X不正确.在二角函数的止义中，cos a=- = -j=2=2,不论角a在平面直角坐标系的任何包置，结论都 r X +y成立.答案A、填空题6 .已知角8的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4,y)是角8终边上一点，且sin

18、8= -25,5则y= 解析 因为sin 8=弋2 = 255，所以丫< °，且y2=64,所以y= 8.答案 87.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角a的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为4,则cos a=5解析 因为A点纵坐标yA=4,且A点在第二象限，又因为圆 。为单位圆，所以A点横坐标xa= 3, 55由三角函数的定义可得cos a= -3.58. 函数y= 2cos x 1的定义域为.解析:2cos x 1 >0,cos x>2.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).x 2kL2k兀+ 3 (kCZ).答案尿冗一42kTt+3(kC

19、Z)三、解答题9. (1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把S中适合不等式一360°&长720°的元素a写出来： 60°21°.(2)试写出终边在直线y= 5x上的角的集合S,并把S中适合不等式一180°& 6180°的元素a写出来. 解 S= o|a= 60+k 360°, kCZ，其中适合不等式一360° & a<720° 的元素 a 为一300°, 60°, 420°S= a|a= -21+k 360°, k Z,其中适合

20、不等式360yo<720° 的元素 a 为21°, 339°, 699°.终边在 y= #x 上的角的集合是 S= a|a= k 360 +120°, k Z Uda= k 360 +300°, kCZ =da =k 180°+120°, kCZ,其中适合不等式180°w a<180° 的元素 a 为60°, 120°.10. (1)已知扇形周长为10,面积是4,求扇形的圆心角；(2)一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 A

21、B.解(1)设圆心角是9,半彳是r,则2r+r 4 10,。产=4，r = 4解得 1产2或)7 = 1,0_8（舍去）l u一 8 _ , 1扇形的圆心角为2.设圆的半径为r cm,弧长为l cm,解得,丁 = 1, l = 2.151r = 1,则2J +2r =4,圆心角a= l=2.如图，过。作OHLAB于H,则/ AOH=1弧度. .AH = 1 sin 1= sin 1 (cm), . AB= 2sin 1 (cm).能力提升题组（建议用时：25分钟）一、选择题1. （2014杭州模拟）已知角a的终边经过点（3a 9, a+2）,且cosm0, sin A 0,则实数a的取值范围 是（）.A. （-2,3 B. （-2,3）C. -2,3） D. -2,3<3a-9<0,解析 由cos a<0, sin 40可知，角a的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有,解a+2>0,得2<a03.答案A2.给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关；若sin a= sin 0,则a与B的终边相同；若cosy0,则8是第二或第三象限的角.其中正确命题的个