2.5随机变量的函数的分布 ppt课件

1、2.5 2.5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 离散型 连续型 定理及其应用随机变量的函数随机变量的函数也是一个随机变量 xgyYxX取值时，取值当本节的任务就是： 的分布要求随机变量，的分布，并且已知已知随机变量YXgYX的函数，是是一随机变量，设XYX XgYY则,一、离散型随机变量的函数一、离散型随机变量的函数分布律为：分布律为：为离散型随机变量，其为离散型随机变量，其设设X,2, 1npxXPnnX1x2x，nxP1p2p，np或，nyyy21，其中21nxgynn它它的的取取值值为为：也也是是离离散散型型随随机机变变量量，则则的的函函数数：是是YXYXY),(g 第一种情形

2、如果，nyyy21两两不相同，则由， 21nxXPyYPnn的分布律为可知随机变量Y,2, 1npyYPnn或Y1y2y，nyP1p2p，np第二种情形如果，nyyy21有相同的项， .的分布律随机变量应的概率相加，即可得相（看作是一项），并把则把这些相同的项合并XgY 例例1 1的分布律为设离散型随机变量XX -3 -1 0 2 6 9 P 2521 2525 25215 25235 25270 252126 的分布律，试求随机变量YXY32解：的取值为随机变量32XY，1591359这些取值两两互不相同由此得随机变量32XY的分布律为 设随机变量 X 具有以下的分布律，试求Y = (X-1

3、)2 的分布律.pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: Y 有可能取的值为有可能取的值为 0，1，4. 且 Y=0 对应于 ( X-1)2=0， 解得 X=1， 所以, PY=0=PX=1=0.1,例例2 2同理,PY=1=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4= PX= -1= 0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，Y=(X-1)2 的分布律为：例例3 3的分布律为设离散型随机变量XX12nP21221n21 为偶数若为奇数若XXXgY11的分布律的分布律试求随机变量试求随机变量Y解：为奇数nnXPYP1012kkXP 01221kk32

4、为偶数nnXPYP112kkXP1221kk31Y-11P3231的分布律为所以，随机变量Y解：为奇数nnXPYP1012kkXP 01221kk32二二. .连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布 ，其密度函数为是一连续型随机变量，设xfXX 随机变量也是连续型，我们假定的函数是再设YXXgY 的密度函数我们要求的是yfXgYY解解 题题 思思 路路 yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函数先求 yFyfXgYXgYYY的密度函数关系求之间的的分布函数与密度函数利用., 0, 40,8)(其它xxXfX设随机变量 X 具有概率密度：试求 Y=2X+8 的概率密度

5、.解：解：(1) 先求先求 Y =2X+8 的分布函数的分布函数 FY(y)：2882)( yXPyXPyYPyFY例例4 428.)()(yXYdxxfyF可以求得：利用)()()2(yfyFYY., 0, 4280,21)28(81)28()28()(其它yyyyfyfXY., 0, 40,8)(其它xxXfX设随机变量 X 具有概率密度：试求 Y=2X+8 的概率密度.例例4 4解：解：., 0,168,328)(其它yyyfY 整理得 Y=2X+8 的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx则如果设随机变量 X

6、具有概率密度,),(xxfX求 Y = X 2 的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y = X 2 的分布函数的分布函数 FY(y)：. 0)(0, 0120yFyXYY时故当由于yyXYdxxfyXyPyXPyYPyFy.)()(,0220时当例例5 5yyXYdxxfyF.)()(得：及变限定积分求导公式利用)()()2(yfyFYY. 0, 0, 0),()(21)(yyyfyfyyfXXY设随机变量 X 具有概率密度,),(xxfX求 Y = X 2 的概率密度.解：解：(1)例例5 5yyXYdxxfyF.)()(. 0, 0, 0,21)(221yyeyyfyY例如,设 XN(0

7、,1),其概率密度为：.,21)(22xexx那么 Y = X 2 的概率密度为：分布。的服从自由度为此时称21Y例例6 6 的密度函数求随机变量，试，的密度函数为随机变量设yfYXYxfXYX解： yFYyFXYX的分布函数为，随机变量的分布函数为设随机变量 yYPyFYyXP，则若0y yYPyFYyXP P0，则若0yyXyP yYPyFYyXP yFyFXX的分布函数为综上所述，得随机变量 Y 000yyyFyFyFXXY的密度函数为对上式求导，可得XY 000yyyfyfyfXXY例例6 6 的密度函数求随机变量，试，的密度函数为随机变量设yfYXYxfXYX解： 定理定理2.12.

8、1 设随机变量 X 具有概率密度, )(xxfX).0)(0)()(xgxgxg或恒有处处可导，且有又设函数那么 Y =g(X ) 是一个连续型随机变量 Y，其概率密度为., 0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY其中 h(y) 是 g(x) 的反函数，即 ).(),(max),(),(mingggg)()(1yhygx此时仍有：或恒有上恒有在设以外等于零，则只须假在有限区间若),0)(0)(,)(xgxgbabaxf).(),(max),(),(minbgagbgag这里., 0,|,)(|)()(其它yyhyhfyfXY 定理定理2.12.1续）续） yhXPygXPyFY1因此，

9、 yhXdxxf ，的分布函数为设随机变量yFXgYY yXgPyYPyFY则有 加的函数是严格增，则由题设，不妨假设xgxg0定理的证明定理的证明上变化，在区间随机变量上变化时，在区间由题设，当随机变量YX定理的证明定理的证明其中，gggg，maxmin yhXYdxxfyF时，当因此，y yhXYdxxfdydyFyf所以， yhyhfX yhyhfX yhXYdxxfdydyFyf所以，时，当因此，y 是严格减少的函数，则若xgxg0 yhXdxxf yXgPyYPyFY yhXPygXP1定理的证明定理的证明 yhyhfX yhyhfX证。综上所述，得补充定理：补充定理：若若g(x)在

10、不相叠的区间在不相叠的区间,21II上逐段严格单调，其反函数分别为),(),(21yhyh均为连续函数，那么Y=g(x)是连续型随机变量，其概率密度为)()()(11yhyhfyfXY)()(22yhyhfX例例7 7 的密度函数，试求随机变量，设随机变量yfYeYNXYX2解：的密度函数为，知题设由X函数为是严格增加的，它的反因为函数yxeyxln xexfx22221上变化，在区间，上变化时，在区间并且当随机变量0XeYX时，所以，当 0y yyfyfXYlnlnyy12lnexp2122 0002lnexp2122yyyyyfY的密度函数为由此得随机变量XeY .)0(),(2也服从正态

11、分布的线性函数试证明设随机变量abaXYXNX满足定理的条件，,)(,)(axgbaxxgy.1)(,)()(ayhabyyhxxgy且的反函数为：证证 X X的概率密度为：的概率密度为：.,21)(222)(xexfxX例例8 8.,21)(222)(xexfxX.|2121|1)(|1| )(|)()(2222)(2)(2)(abayabyXXYeaeaabyfayhyhfyf由定理的结论得：.)( ,2abaNbaXY即有.)0(),(2也服从正态分布的线性函数试证明设随机变量abaXYXNX证证例例8 8例例9 9均匀分布，试求电压V的概率密度.上服从在区间是一个随机变量相角是一个已知的正常数其中设电压2,2,sinAAV解：,1)(,arcsin)(, 0cos)(22,sin)(22vAvhAvvhAxgAgv以及且有反函数）上恒有，在（的概率密度为：., 0,22,1)(其它f., 0,|,)(|)()(:其它利用定理的结论yyhyhfyfXY,1)(22vAvh., 0,11)(sin22其它的概率密度为：得AvAvAyfAVY 1 引进了随机变量的概念，要求会用随机变量表 示随机事件。 2 给出了分布函数的定义及性质，要会利用分布 函数示事件