第一讲 不等式和绝对值不等式

1、第一讲 不等式和绝对值不等式一、不等式设设a,b是两个实数是两个实数,它们在数轴上所对应的点分它们在数轴上所对应的点分别为别为A,B那么那么,当点当点A在点在点B的左边时的左边时,abABBAababx1 1、实数大小的比较法则：、实数大小的比较法则：0 baba0 baba0 baba2、不等式的基本性质、不等式的基本性质:abbabaababba即那么如果那么如果.,;,) 1 (cacbbacacbba ,.,)2(即即那那么么如如果果.,)3(cbcaba 那那么么如如果果.,)(bcacbai 那那么么如如果果.,)(dbcadcbaii 那那么么如如果果.,)(dbcadcbaii

2、i 那那么么如如果果., 0,;, 0,)4(bcaccbabcaccba 那那么么如如果果那那么么如如果果., 0, 0bdacdcba 那那么么如如果果).2,(, 0)5( nNnbabann那那么么如如果果).2,(, 0)6( nNnbabann那那么么如如果果例2、 已知ab0，cd0，求证：abdc例1、求证：如果ab0，cd0，那么acbd。证明：因为ab0, cd0， 由不等式的基本性质（3）可得acbc, bcbd， 再由不等式的传递性可得acbcbd。 例3、若a、b、x、yR，则 是 成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充

3、分也不必要条件()()0 xyabxaybxaybC例5、已知f(x)=ax2+c，且-4f(1)-1，-1f(2)5，求f(3)的取值范围。例4、对于实数a、b、c，判断下列命题的真假：（1）若cab0，则（2）若ab, ，则a0，bb，那么acbc；（2）如果ab，那么ac2bc2；（3）如果ab，那么anbn(nN+)；（4）如果ab, cb-d。 2、比较(x+1)(x+2)和(x-3)(x+6)的大小。（假命题）（假命题）（假命题）（假命题）（真命题）（真命题）（假命题）（假命题）解：因为解：因为(x+1)(x+2)-(x-3)(x+6) =x2+3x+2-(x2+3x-18) =2

4、00， 所以所以(x+1)(x+2)(x-3)(x+6)正确的个数是这四个命题中则若则若则若则若在,)4( ,0,0)3(,)2( ,11,)1(.422xaxbabbabdacdcbababcacbabaA.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个C3、如果、如果ab,cd，是否一定能得出，是否一定能得出acbd？ 并说明理由并说明理由 。的正确命题的个数是可组成成一个命题余下的一个作为结论组条件用其中两个不等式作为均为实数其中已知三个不等式,),(0,0,0:.5dcbabdacadbcabA.0个个 B.1个个 C.2个个 D.3个个D则有已知, 10. 6ayx0)(log.xyAa

5、1)(log0 .xyBa2)(log1 .xyCa2)(log.xyDaD例6、已知a0，a2-2ab+c2 =0，bca2，试比较a、b、c的大小。解：因为bca20，所以b、c同号；又a2+c2=2ab0，且 a0，所以b= 且c0。因为(a-c)2=a2-2ac+c2=2ab-2ac=2a(b-c )0，所以b-c0.当b-c0，即bc时，b= 得所以a2c+c3 2a3即a3-c3+a3-a2c0，(a-c)(2a2+ac+c2)0,b0,c0，所以2a2+ac+c20，故a-c0,即ac.从而aca2，所以b2a2，即ba。又a2-2ab+b2=(a-b)2=0，所以a=b，与前面

6、矛盾，故bc.所以acb, ab0，那么（2）如果ab0，cd0，那么ac0，那么当且仅当a=b时，等号成立。2abab证明：因为证明：因为 =a+b-2 00， 所以所以a+ba+b ， 上式当且仅当上式当且仅当 ，即，即a=ba=b时，等号成时，等号成立。立。2()abab2 abab称为称为a,b的的算术平均算术平均称为称为a，b的的几何平均几何平均 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数如图在直角三角形中，CO、CD分别是斜边上的中线和高，设AD=a，DB=b，则由图形可得到基本不等式的几何解释。CABDO例1、 求证：（1）在所有周长相同

7、的矩形中，正方形的面积最大；（2）在所有面积相同的矩形中，正方形的周长最短。结论：结论：已知已知x, y都是正数，（都是正数，（1）如果积）如果积xy是定值是定值p，那，那么当么当x=y时，和时，和x+y有最小值有最小值2 ；（；（2）如果）如果和和x+y是定值是定值s，那么当，那么当x=y时，积时，积xy有最大值有最大值p214s特别要注意：利用基本不等式求最值时，一定要特别要注意：利用基本不等式求最值时，一定要满足满足“一正二定三相等一正二定三相等”的条件。的条件。ABENMFDCQPHG例2 某居民小区要建一座八边某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型形的休闲场所，它的主体造型

8、平面图（右图）是由两个相同的平面图（右图）是由两个相同的矩形矩形ABCD和和EFGH构成的面积构成的面积为为200平方米的十字型地域，计平方米的十字型地域，计划在正方形划在正方形MNPQ上建一座花坛，上建一座花坛，造价为每平方米造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个直元，再在四个空角（图中四个直角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米角三角形）上铺上草坪，造价为每平方米80元。元。（1）设总造价为）设总造价为S元，元，AD长为长为x米，试建立米，试建立

9、S关于关于x的函数关系式。的函数关系式。（2）当）当x为何值时为何值时S最小，并求出这个最小值。最小，并求出这个最小值。练习：1、设a, bR+,且ab，求证：(1) (2)2、设a,b,c是不全相等的正数，求证：（1）(a+b)(b+c)(c+a)8abc；（2）a+b+c3、已知x、yR,求证：2abba ；2ababab.abbcca222() .22xyxy2P1115 ,2 .2bh2b课本第题 已知a0, b0, 且h=mina, a求证：22222222222222222 0,0,2,112,22 0h=mina,00，则 |x|a的解集是(-,-a)(a,+)Oa-axO-aa

10、x|x|a（1）|ax+b|c和|ax+b|c(c0)型不等式的解法：换元法：令t=ax+b, 转化为|t|c和|t|c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。分段讨论法：00|(0)()axbaxbaxbc caxbcaxbc或00|(0)()axbaxbaxbc caxbcaxbc或例3 解不等式|3x-1|2例4 解不等式|2-3x|7补充例题：解不等式211(1)(3| 1)| 342(2)34|.xxxx|ax+b|c(c0)型不等式比较：类型化去绝对值后集合上解的意义区别|ax+b|c-cax+b-c x|ax+bcax+bcx|ax+bc, 并 课堂练习：P20第6题型型不不等等

11、式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2521 5 xx解不等式解不等式例例 ，。A，BA；BA，BA，BBAB，BB，；BAAA，AA。，A，A，B，：2355511231211111111111式式的的解解集集是是故故原原不不等等的的距距离离之之和和都都大大于于的的任任何何点点到到点点的的右右边边的的左左边边或或点点点点的的距距离离之之和和都都小小于于之之间间的的任任何何点点到到点点与与从从数数轴轴上上可可以以看看到到点点这这时时也也有有右右移移动动一一个个单单位位到到点点向向将将点点同同理理这这时时有有到到点点个个单单位位向向左左移移动动将将点点数数都都不不是是原原不不等等式式的

12、的解解上上的的因因此此区区间间两两点点的的距距离离是是那那么么对对应应的的点点分分别别是是设设数数轴轴上上与与解解法法x12-2-3ABA1B1521 5 xx解不等式解不等式例例 ，xxxx，xxxxxx，x：23 , 2 , 2, 5)2()1( ,1 , 53, 5)2()1( ,123, , 3, 5)2()1( , 22的解集为的解集为综上所述可知原不等式综上所述可知原不等式此时不等式的解集为此时不等式的解集为解得解得原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当此时不等式的解集为此时不等式的解集为矛盾矛盾即即原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当此时不等式的解集为此时不等式的解集为解得

13、解得原不等式可以化为原不等式可以化为时时当当解法解法 521 5 xx解不等式解不等式例例 , 23,1x , 4-2x1x2- 2,-2x , 6252105213解集为解集为由图象可知原不等式的由图象可知原不等式的作出函数图象作出函数图象即即构造函数构造函数将原不等式转化为将原不等式转化为解法解法，xy，xxyxx：yxO-32-2型型不不等等式式的的解解法法和和）（cbxaxcbxax 2利用绝对值不等式的几何意义利用绝对值不等式的几何意义零点分区间法零点分区间法构造函数法构造函数法作业：作业：P20第第7题、第题、第8题题(1)(3)练习：练习：P20第第8题题(2)432)2.(8

14、xx解不等式解不等式补充练习：解不等式：（1）1|2x+1|3.（2）|x-1|-4|x+3.答案：（1）x|0 x1或-2x-1 （2）x|-5x-1或3x7 （3）1 |22x xx 或作业作业6431)1(720 xP解解不不等等式式题题第第第第.32, 135,3103213531032310351 6436143143643143: 故原不等式的解集为故原不等式的解集为或或解得解得或或或或即即等式组等式组原不等式等价于下列不原不等式等价于下列不解解xxxxxxxxxx8.解不等式解不等式:.,).,24322,23,4)3()2(,2).2,3(43223,45,4)3()2(,23.3,(4323,25,4)3()2(,3:432)2(Rxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx原原不不等等式式的的解解集集是是综综上上所所述述的的解解集集是是不不等等式式组组即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集为为所所以以不不等等式式组组显显然然成成立立即即原原不不等等式式可可化化为为时时当当的的解解集集是是即即不不等等式式组组解解得得原原不不等等式式可可化化为为时时当当解解 .25,21,.25,22212,25,221,2