高等代数试卷及答案

1、一、填空题（共 10 题，每题 2 分，共 20 分）1只于自身合同的矩阵是矩阵。2二次型f x1, x2x1 x237x1 的矩阵为 _。116x23设 A 是实对称矩阵，则当实数t _, tE A 是正定矩阵。4正交变换在标准正交基下的矩阵为_ 。5标准正交基下的度量矩阵为_ 。6线性变换可对角化的充要条件为_ 。7在 P2 2 中定义线性变换Xab在基 E11, E12 , E21, E22为：cX ，写出下的d矩阵 _ 。8设V、 V都是线性空间V 的子空间，且V1 V2， 若 dim Vdim V， 则1212_ 。9叙述维数公式_ 。10向量在基1, 2,n （1）与基1, 2,

2、n （ 2）下的坐标分别为x 、 y ，且从基（ 1）到基（ 2）的过渡矩阵为 A，则 x 与 y 的关系为 _ 。二、判断题（共 10 题，每题 1 分，共 10 分）1线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（）2设为 n 维线性空间 V 上的线性变换，则V10V 。（）3平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。 （）4设 V1 与 V2 分别是齐次线性方程组 x1x2xn 0 与 x1 x2xn 的解空间，则V1 V2Pn（）nn2xi25 nxi为正定二次型。 （）i 1i 16数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（）7C，令，则是线性

3、变换。（）把复数域 C 看作复数域上的线性空间，8若是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。 （）9欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（）10若为 P xn( n1)中的微分变换，则不可对角化。 （）三、计算题（共 3 题，每题 10 分，共 30 分）1221设线性变换在基1, 2 , 3 下的矩阵为 A212，求的特征值与特征向量，并221判断是否可对角化？2 t 取什么值时，下列二次型是正定的？f x , x , xx2x25x22tx x2x x4x x123123121323a11a12a133设三维线性空间V 上的线性变换在基1, 2,3 下的矩阵为： A a21

4、a22a23,求a31a32a33在基 1, k 2kP,且 k0 ，3下的矩阵 B。四、证明题（共 4 题，每题 10 分，共 40 分）1证明：A1i 12与 Bi 2相似，其中 i1, i2,i n 是 1,2, n 的一nin个排列。si 12证明：和Vi 是直和的充要条件为： ViVj 0 i2,3, , s 。i1j 13设 A 是 n 级实对称矩阵，且 A2A ，证明：存在正交矩阵T ，使得：11T 1AT1004证明：A1i 12Bi 2合同，与nin其中 i1, i2 , in 是 1,2, n 的一个排列。答案一1零 2 393. 充分大4. 正交矩阵5.E 6.有 n 个

5、线性无关的96特征向量a0b00a0bV1V27.0d08.9.c0c0ddim V1V2dim V1dim V2dim V1V210.XAY二 1.2.3.4. 5.6.7.8. 9.10. 122三 1. 解： f AE A21252（3 分）1221所 以 ，的特征值为11（二重）和25。把 11代入方程组E AX0 得：2x12x22x20102x12x22x20基础解系为 n10n212x12x22x2011因此，属于1得两个线性无关得特征向量为：112,223因而属于1的全部特征向量就是k11k2 2 ，k1 、k2 取遍 P 中不全为零的全部数对（ 61分），再用25 代入EA

6、X0 得：基础解系 n31，因此，属于5 的全部特征向1量是 k 3 ， k是 P 中任意不等于零的数。（9 分）因为有三个线性无关的特征向量，所以可能对角化。（ 10分）1t12. 解： f的矩阵为： At121251tt 20A5t 24t04t01 0 ，1，。得：t154当t 0时， f 是正定的。53解：1a1111 a21 k2a313（ 2.5 分）kk 2ka12 1a22k 2ka32 3（ 2.5 分）3a13 11 a23k 2a333（ 2.5 分）ka11ka12a1311（ 2.5 分）在基下的矩阵为Bk a21a22k a23a31ka32a33四 1. 证 ：

7、任 意 n 维 向 量 空 间 V ，V 的 基1 , 2 , , n ， 则 唯 一L V 使12（3 分）12n12nn即ii ii1,2,ni1i1i 1i 2i 2i 2ininin在基i1 ,i 2,in下的矩阵为 B （ 6 分）A与B相似（1分）s02证：Vj 是直和ViVi（3 分）i1j ii 1i1ViV jViVjViVj0（2 分）j 1jij1令 1s 1s0s1s 1s1sVsV j（3分）j1s0 ，同理s1210sVi是直和。（2 分）i 13证：设是 A 的任一特征值0，使 AA2A2A2A，220021或0A 实对称矩阵1正交矩阵 T ，使 T 1AT4证： A 、 B 对应的二次型分别