量子力学电子的准经典运动教学文案

1、量子力学电子的准经典运动二、电子的速度二、电子的速度按照准经典近似，电子的速度可用波包的运动速度（群速度）表示按照准经典近似，电子的速度可用波包的运动速度（群速度）表示 电子的群速度总是与电子的群速度总是与k空间的等能面垂直空间的等能面垂直三、外力作用下电子状态的变化三、外力作用下电子状态的变化加速度与有效质量加速度与有效质量1、准动量、准动量当有外加电磁场时，晶体电子受到外力的作用，能量发生变化：当有外加电磁场时，晶体电子受到外力的作用，能量发生变化：dE=Fvdt单位时间内能量增量单位时间内能量增量dE/dt=Fv=FdE/dt=Fv=F (1/(1/)(dE/dK)(dE/dK)又又dE

2、/dt=(dE/dK) dE/dt=(dE/dK) （dK/dt)dK/dt)对比上面两式，得到：对比上面两式，得到：F=F=（dK/dtdK/dt）=d(=d(k)/dtk)/dt此式与自由粒子的牛顿第二定律此式与自由粒子的牛顿第二定律F=dP/dtF=dP/dt形式上相当。形式上相当。11KKdxdEdvdtdKdKvE 一维三维2、加速度、加速度晶体电子的加速度晶体电子的加速度3、有效质量、有效质量 m m* *称为有效质量。在一维情况下它是标量称为有效质量。在一维情况下它是标量 倒有效质量张量倒有效质量张量在三维情况下，加速度在三维情况下，加速度与牛顿方程与牛顿方程a=F/M比较，则比

3、较，则2222222221111,d Edkd EdkdvddEd dEd dE dkd EaFdtdtdkdk dtdk dk dtdkdvdtdvmFmdt即F=若令则，与经典的牛顿方程F=ma在形式上相当。1kdvdE Kdtdt211,kkdkdvFaEFdtdt又211kkEm是九个元素组成的矩阵，并称为倒有效质量张量。 其分量表示为其分量表示为 这九个元素只有这九个元素只有i=j的三个元素不为零，即的三个元素不为零，即 有效质量有效质量m m* *与自由电子的惯性质量与自由电子的惯性质量m m的区别的区别（1 1）一般情况下有效质量是张量。当）一般情况下有效质量是张量。当 时，有效

4、质量是标量。晶体电子的加速度一般与外力方向不同。时，有效质量是标量。晶体电子的加速度一般与外力方向不同。（2 2）有效质量不是一个常数，而是波矢）有效质量不是一个常数，而是波矢k k的函数。的函数。 m m* *可以大于可以大于m m，可以小于，可以小于m m，甚至可以是负值。，甚至可以是负值。 能带底和能带顶为能带底和能带顶为E E（K K）函数的极小和极大，分别具有正值）函数的极小和极大，分别具有正值和负值的二级微商。因此，在能带底附近，有效质量和负值的二级微商。因此，在能带底附近，有效质量m m* *00；在能；在能带顶附近，带顶附近，m m* *00。2121,1,2,3ijijEmi

5、 jK K222222222111111,xyyyzzzxxEEEKmKmKmxxyyzzmmmm 产生上述区别的原因产生上述区别的原因晶体中的电子不仅受到外力晶体中的电子不仅受到外力F的作用，而且受到晶格场力的作用，而且受到晶格场力Fl的作用，的作用，电子的运动方程电子的运动方程1lldvFFdtmFmmFF第六节、导体、绝缘体和半导体第六节、导体、绝缘体和半导体一、满带对电导无贡献一、满带对电导无贡献1、满带、满带 如果一个能带内的全部状态均为电子所填充，则称之为满带；如如果一个能带内的全部状态均为电子所填充，则称之为满带；如果一个能带未被电子填满，则称之为不满的带。果一个能带未被电子填满

6、，则称之为不满的带。 根据能带结构，并计及电子的自旋，每个子能带内包含有根据能带结构，并计及电子的自旋，每个子能带内包含有2N个个电子态。即每个子能带可填充电子态。即每个子能带可填充2N个电子。个电子。 硅的价带有硅的价带有2N 4=8N个电子态，有个电子态，有8N个价电子，基态时正好填个价电子，基态时正好填满价带，因而价带的四个子能带都是满带。满价带，因而价带的四个子能带都是满带。2、满带电子对电流的贡献、满带电子对电流的贡献 没有外电场时没有外电场时（1）能带具有反演对称性：）能带具有反演对称性：E（K）=E（-K） 一个完全填满电子的能带，电子在一个完全填满电子的能带，电子在 k空间具有

7、中心对称性。空间具有中心对称性。即一个电子处于即一个电子处于k态，能量为态，能量为E（K），则必有另一个与其能量相），则必有另一个与其能量相同的同的E（- K）=E（K）电子处于）电子处于-k态。态。111KKKv KE KEKEKvK （2）当不存在外电场时，尽管每一个电子都带有一定的电流）当不存在外电场时，尽管每一个电子都带有一定的电流-ev，但是但是k态和态和-k态的电子电流态的电子电流-ev（k）和）和-ev（-k）正好一对对相互）正好一对对相互抵消，所以没有宏观电流。抵消，所以没有宏观电流。 电场不为零时电场不为零时（1）对于填满的能带）对于填满的能带 由由 k(r)= k+Gh(r

8、)知，从一端离开第一布里渊区的电子，相知，从一端离开第一布里渊区的电子，相当于从另一端进入该区。从总的效果看，电子的分布没有发生变当于从另一端进入该区。从总的效果看，电子的分布没有发生变化，总电流为零化，总电流为零（2）对于未填满的能带）对于未填满的能带 在外场作用下，电子在外场作用下，电子在布里渊区内不再是对称在布里渊区内不再是对称分布，因而产生净电流分布，因而产生净电流3、满带对电导没有贡献，、满带对电导没有贡献，只有未完全填满电子的能只有未完全填满电子的能带才对电导有贡献。带才对电导有贡献。二、空穴二、空穴1、近满带、近满带 近满带：只有能带顶附近少量的状态未被电子占据的能带。近满带：只

9、有能带顶附近少量的状态未被电子占据的能带。 由于某种原因，满带中的一个电子激发到空带，满带成为近满带由于某种原因，满带中的一个电子激发到空带，满带成为近满带2、近满带电流、近满带电流 近满带电流公式近满带电流公式 Ke态上的一个电子对电流的贡态上的一个电子对电流的贡献是献是-ev（ke） 假设在空态假设在空态Ke放上一个电子，放上一个电子，使近满带成为满带，则总电流为零：使近满带成为满带，则总电流为零： 状态状态Ke空着的近满带产生的空着的近满带产生的电流等效于一个带正电荷电流等效于一个带正电荷e、速度与、速度与Ke态电子速度相同的假想粒子产生的电流。态电子速度相同的假想粒子产生的电流。0ee

10、eej Kev Kj Kev K 近满带电流 电磁场作用下的近满带电流电磁场作用下的近满带电流近满带电流对时间求导：近满带电流对时间求导：作用于作用于ke态电子上态电子上 的力的力空状态往往在能带顶部附近，电子有效质量空状态往往在能带顶部附近，电子有效质量me*00，于是，于是 在外加电磁场作用下，近满带电流随时间变化的规律，与带在外加电磁场作用下，近满带电流随时间变化的规律，与带正电荷正电荷e e、具有正有效质量、具有正有效质量m mh h* *的粒子在外加电磁场中引起的电流的粒子在外加电磁场中引起的电流变化规律相同。变化规律相同。3 3、空穴：能代替整个近满带电子系统的假想粒子、空穴：能代

11、替整个近满带电子系统的假想粒子4 4、空穴的性质：具有正电荷、空穴的性质：具有正电荷+e+e、正有效质量、正有效质量m mh h* *，速度与空状态电，速度与空状态电子速度相同子速度相同5 5、载流子：电子和空穴、载流子：电子和空穴djdvedtdteFe Ev KB 2eedjeEv KBdtm ehdjeeEev KBdtm三、导体、绝缘体和半导体三、导体、绝缘体和半导体1、导体、导体 在在0k时，系统处于基态。电子按照能量由低到高的顺序填充时，系统处于基态。电子按照能量由低到高的顺序填充能带中的状态。能带中的状态。 如果最后填充的能带是不满的，则它必然导电，因而是导体。如果最后填充的能带

12、是不满的，则它必然导电，因而是导体。 碱金属碱金属 N个原子组成的晶体，其个原子组成的晶体，其S能带可容纳能带可容纳2N个电子。个电子。N个价电个价电子填充了带的下半部，上半部子填充了带的下半部，上半部N个个状态是空的。状态是空的。 碱土金属碱土金属 N个原子组成的晶体，其个原子组成的晶体，其S能带可容纳能带可容纳2N个电子，有个电子，有2N个价个价电子。但电子。但S能带与其上方的能带与其上方的P能带能带有交叠。有交叠。2、绝缘体和半导体、绝缘体和半导体 价带、导带、禁带价带、导带、禁带（1）对于绝缘体和半导体，电子填满一系列的能带，最上面的一）对于绝缘体和半导体，电子填满一系列的能带，最上面

13、的一个满带叫做价带。个满带叫做价带。（2）价带上方的各能带全部空着。最靠近价带的空带称为导带。）价带上方的各能带全部空着。最靠近价带的空带称为导带。（3）在价带与导带之间存在禁带（能隙）在价带与导带之间存在禁带（能隙）Eg。因而在基态，绝缘。因而在基态，绝缘体和半导体都不导电。体和半导体都不导电。 只有初基元胞中含有偶数个电子的固体，能带才可能不是全满就只有初基元胞中含有偶数个电子的固体，能带才可能不是全满就是全空的，从而才可能是绝缘体或半导体。是全空的，从而才可能是绝缘体或半导体。 反过来不一定正确。即初基元胞含有偶数个电子的固体可反过来不一定正确。即初基元胞含有偶数个电子的固体可能是导体。能是导体。 从能带论的角度看，绝缘体和半导体的差别仅在于禁带宽度从能带论的角度看，绝缘体和半导体的差别仅在于禁带宽度Eg的的大小不同，二者之间没有严格的界限。大小不同，二者之间没有严格的界限。（1）绝缘体的禁带宽度较大，一般在）绝缘体的禁带宽度较大，一般在3ev以下以下（2）半导体的禁带宽度较小，一般在）半导体的禁带宽度较小，一般在2ev以下以下3、半金属、半金