数列常见题型总结归纳经典

1、精心整理高中数学数列常见、常考题型总结题型一数列通项公式的求法1.前n项和法(知Sn求an)S(n=1)an=Sn-Sn(n>2)例1、已知数列an的前n项和Sn=12n-n2,求数列|an|的前n项和Tn变式：已知数列an的前n项和Sn=n2-12n,求数列|an|的前n项和Tn练习：1、若数列2、若数列3、设数列an的前n项和Sn=2n,求该数列的通项公式。答案:an3一一一an的前n项和Sn=-an-3,求该数列的通项公式。答案：2an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为，满足八?(n=1)2nJ1(n>2)Jan=23n=2Sn-n2,求数列an的通项公式4.Sn为an的

2、前n项和，Sn=3(an1),求an(neN+)an的通项公式(作差法)5、设数列an满足a1+3a2+32a3+3n-1an=-n(nwn*),求数列32 .形如an书-an=f(n)型(累加法)(1)若f(n)为常数，即：an书一an=d,此时数列为等差数列，则an=a1十(n1)d.(2)若f(n)为n的函数时，用累加法.例1.已知数列an满足a=1,an=3n/+an(n>2),证明an=-312例2.已知数列an的首项为1,且an书=an+2n(nN*)写出数列an的通项公式.、1V例3.已知数列an满足a1=3,an=an+(n之2),求此数列的通项公式n(n-1)3 .形如

3、包土=f(n)型(累乘法)an(1)当f(n)为常数，即：-JL±=q(其中q是不为0的常数)，此数列为等比且an=a1.qn.an(2)当f(n)为n的函数时，用累乘法.n2例1、在数列an中a1=1,an=an(n>2),求数列的通项公式。答案：an=n1n1练习：n-1_.21、在数列an中a=1,an=an.(n之2),求an与Sn。答案：an=n1n(n1)2、求数列a1=1,an=2nanj(n之2)的通项公式。4 .形如an=a型(取倒数法)rans页脚内容精心整理例1.已知数列an中，&=2,an=ai(n之2),求通项公式an2an二1'一an

4、1练习：1、右数列an中，a1=1,an噂=,求通项公式an.答案：an=3an13n-22、若数列an中，a1=1,anan=2anan，求通项公式an.答案：an=2n-15 .形如an¥=can+d,(c#0,其中0=a)型(构造新的等比数列)(1)若c=1时，数列an为等差数列；(2)若d=0时，数列an为等比数列；(3)若c1Hd#0时，数列an为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求方法如下：设an.+A=c(an+A)，利用待定系数法求出a11例1.已知数列an中，a1=2,an41=an+,求通项an.22练习：1、若数列an中，a1=2,an书=2an

5、1,求通项公式an。答案：an=2n+12n1an=3-2(-)-22、右数列an中，a1=1,an+=an+1,求通项公式an。答案:36 .形如an=pan+f(n)型(构造新的等比数列)(1)若f(n)=kn+b一次函数(k,b是常数，且k#0),则后面待定系数法也用一次函数。3例题.在数列an中，a=2,2an=an/+6n3,求通项an.2解：原递推式可化为2(anknb)=ank(n-1)b比较系数可得：k=-6,b=9,上式即为2bn=bn所以bn是一个等比数列，首项b1=a16n+9=9,公比为1.22二bn=9(L)n_L即：an-6n+9=9-(1)n,故an=9d)n+6

6、n-9.22,22练习：1、已知数列中，a1=3,an+=3an+4n-2,求通项公式an(2)若f(n)=qn(其中q是常数，且n=0,1)若p=1时，即：an+=an+qn,累加即可若p#1时，即：an=p，an+qn,后面的待定系数法也用指数形式。两边同除以qn+即：a4=艮，包+工，n1nqqqqap1令bn=丁，则可化为3书=且bn+.然后转化为类型5来解，qqq2_n1an-2nLan=73n4-32n例1.在数列an中，a1=-一，且an=-2anJL+3n(neN)求通项公式5n1、已知数列Qn中，a1=,2an=an=+(1)n，求通项公式an。答案:222、已知数列1a/中

7、，a1=1,an+=3an+32n，求通项公式an。答案：题型二根据数列的性质求解(整体思想)1、已知Sn为等差数列也)的前n项和，a6=100,则Sn=；页脚内容精心整理2、设Sn、Tn分别是等差数列&n、an)的前n项和，=,则-=.Tnn3bs3、设Sn是等差数列an的前n项和，若曳=5,则S9=()a39S55、在正项等比数列加中，aas+2a3a5+a3a7=25,则a3+as=。6、已知Sn为等比数列以前n项和，Sn=54,S2n=60,则&n=.7、在等差数列Qn中，若S4=1,Sg=4,则a17十a8+a9+a2。的值为()8、在等比数列中,已知a9+a1o=a

8、(a#0),a19+a20=b，则a99+a1oo=.题型三：证明数列是等差或等比数列A)证明数列等差例1、已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2Sn-S-1=0(n>2),a=1.求证：1是等差数列；2Sn.B)证明数列等比例1、已知数列an满足a1=1,a2=3,an42=3an书-2an(n=N*)._,证明：数列In书-an是等比数列；求数列Ln的通项公式；题型四：求数列的前n项和基本方法：A)公式法，B)分组求和法1、求数列2n+2n-3的前n项和Sn.»C"82.Sn=-13-57.(-1)n(2n-1)3 .若数列an的通项公式是an=(1)n(3

9、n2),则a+a2+a0=()A.15B.12C.12D.151.1.114 .求数列1,2+,3+,4+,，n24825.已知数列an是3+21,6+22T,9+231,12+241,，写出数列an的通项公式并求其前n项和Sn.11111：-C)裂项相消法，数列的常见拆项有：=(-);=1=dn+1fpn；n(nk)knnk,n工n1一,_111例1、求和：S=1+-,-12123123n一一1111例2、求和：.21，3，2.4、3.nT'nD)倒序相加法，x2例、设f(x)2,求：f(20)f(2009)-f(i)f(i)f(2)f(2009)-f(2010).1xE)错位相减法

10、，页脚内容精心整理1、若数列&的通项an=(2n-1)3n,求此数列的前n项和Sn.2n1,2.Sn=1+2x+3x+|+nx(x#0)(将分为x=1和x。1两种情况考虑)题型五：数列单调性最值问题例1、数列an中，an=2n-49,当数列an的前n项和Sn取得最小彳t时，n=.例2、已知Sn为等差数列6的前n项和，a1=25,a4=16.当n为何值时，Sn取得最大值；例3、设数列Qn的前n项和为Sn.已知a1=a,an邛=Sn+3n,nwN.n*(I)设bn=Sn3,求数列bn的通项公式；(n)若an平>an,n=N，求a的取值范围.题型六：总结规律题5a21 .已知数列an满

11、足an=n(n之2,nWN)，且Qn前2014项的和为403,则数列an，anJ的前2014项an-5的和为？2 .数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为?常见练习21 .方程x26x+4=0的两根的等比中项是()A.3B.±2C.土志D.22、已知等比数列an的前三项依次为a1,a+1,a+4,则an=.n.n.nJ、n3232A.4IB.4IC.4ID.41I23233. 一个有限项的等差数列，前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,则此数列的项数为()A.12B.14C.16D.18|.一4. an是等差数列，S10A0,S11&

12、lt;0,则使an工0的最小的n值是()A.5B.6C.7D.85. 若数列1,2cos日,22cos26,23cos3日JIIIII,前100项之和为0,则8的值为()I2二，._、A.kn±(kHZ)b.2kn±(k-Z)C.2kn士(k=Z)d.以上的答案均不对3336 .设2a=3,2b=6,2c=12,则数列a,b,c成A.等差B.等比C.非等差也非等比D.既等差也等比7 .如果等差数列an)中，a3+a4+a5=12,那么a1+a2+.+a7=()(A)14(B)21(C)28(D)3538 .设数列an的前n项和Sn=n,则a4的值为()(A)15(B)37(

13、C)27(D)64页脚内容精心整理9.设等比数列an的公比q=2,前n项和为Sn,则一-=()a2A.2B.4D.17210.设Sn为等比数列an的前n项和，已知3s3=a42,3s2=a32,则公比q=()(A)3(B)4(C)5(D)61,11 .已知an是等比数列，a2=2,a5=一，则a1a2+a2a3+anan书=()4A.32(12")B,16(1-4J)C,16(1-2)D.32(14工)3312 .若数列an的通项公式是an=(1)n(3n-2),则a1+a2十十a20=()(A)30(B)29(C)-30(D)-2913 .已知等比数列an满足an>0n=1|

14、ll2,且a5弘其2n(n>3,)则当n之1时，lo2a在ioa+忠og二mj/A.n(2n-1)B.(n1)2C.n2D.(n-1)2四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为()14 .巳知函数f(x)=cosx,xw(0,2n)有两个不同的零点不»2,且方程f(x)=m有两个不同的实根X3,X4.若把这2I.22215 .已知等比数列an的前n项和&=t5n2,则实数t的值为().A.4B.5C.D.16 .已知等差数列an的前n项和为Sn,a4+a7+a0=9,S14-S3=77,则使Sn取得最小值时n的值为()A.4B,5C,6D,717 .若an是等差

15、数列，首项a1>0,公差d<0,且&013(82012+a2013)<0,则使数列an的前n项和0>0成立的最大自然数门是()A.4027B.4026C.4025D,402418 .已知数列满足：切=1,an+尸，(nN*),若bn+1=(n九b1一九且数列bn是单调递增数列，则实数入的取值范围为A.入2B.入3C.入2D.入3页脚内容精心整理19、由正数构成的等比数列an,若aa*a2a4*2a2a3=49,则%+%=.20.已知数列an的前n项和为Sn=n2,某三角形三边之比为a2:a3:a4，则该三角形最大角为.21、给定an=log(n书(n+2)(nN

16、*),定义乘积a1a2ak为整数的k(k£N*)叫做理想数”，则区间1,2008内的所有理想数的和为.22.设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列匕的前项和为Sn,满足S3s4+15=0,则d的取值范围为.11一+*1aa123 .设正整数数列an满足：a2=4,且对于任何nwN，有2+吐<2+,则a畿=an111annn124 .已知an为等比数列，a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=.25 .设等差数列an的公差d不为0,a1=9d.若ak是为与22k的等比中项，则k=.n26、已知函数f(x)是一次函数，且f(8)=15,f(2),f，f(14)成等

17、比数列，设an=f(n),(nWN*)(1)求£ai；i=1(2)设bn=20，求数列anbn的前n项和Sn。27、已知数列L中，a1=2,a2=3,其前n项和Sn满足Sn由+Sn,=2Sn+1(n22,nN).(1)求数列%n的通项公式；(2)设bn=4n+(fn、2an九为非零整数，nWN*),试确定工的值，使得对任意n=N*,都有bn+>bn成立.5228.已知数列2门中21=1后2=4,满足an七=an由-an.33(I)设bn=an由an,求证数列bn是等比数列；(n)求数列an的通项公式.29 .已知等差数列圾满足：a5=9,a2+a6=14.(I)求On)的通项公

18、式；(n)若bn=an+qan(qA0),求数列的前n项和Sn.30 .已知数列的前n项和为S,且1tnSna1=,an+=Sn+；(nWN*,t为常数)416()若数列I为等比数列，求t的值；(II)若t>-4,bn=lgan由，数列bn前n项和为Tn,当且仅当n=6时Tn取最小值，求实数t的取值范围.页脚内容精心整理31 .4是一个公差大于0的等差数列，a1,a2,a5成等比数列，a?+a6=14.(i)求数列4)的通项公式；(n)若数列和数列满足等式：4=工+与+。-+±(ME即)，求数列阳的前n项和,2222132 .已知数列、nM足a1=1,an书=1工，其中nWN*.(i)设bn=2,求证：数列bn是等差数列4an2an-1&n的通项公式an;(n)设Cn=9电，数列孰孰W的前n项和为Tn,是否存在正整数n1于nwN恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由.33,已知各项均为正数的数列an前n项和为Sn,首项为a1,且，an,Sn成等差数列.(1)求数列QJ的通项公2式；(2)若a2=(；)bn，设Cn="，求数列GJ的前n项和Tn.34.一个等比数列中，ai+a4=28,a2+a3=12,求这个数列的通项公式35 .有四个数：前三个成等差数列，后三个成等比数列。首末两数和为16,中间两数和为1