数学中的有限与无限的思想

1、数学中的有限与无限”的思想数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方

2、法5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查，所以我们考前应该予以重视.二、典例分析521 .在数列an在中，an4n-,aa?Lananbn,nN，其中a,b为常数，则2nnlim的值是.nanbn【解析】本题根据通项与前n项和可以求出常数a,b的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论（即limqn0（|q|1）来解决新的极限问题n【答案】由an4n5知，an是公差为4的等差数列，故a1a2Lan-nnn-942222anbn,解得a2,b2.已知数列an满足ai35时，得到无穷数列：1,

3、2,3,5,23（I）求当a为何值时a4（n）设数列bn满足b11一,从而lim0；1,bnnabnnab1(b)nlima1(b)n1，八一，一我们知道当an1lim一n11.a取不同的值时,1，2一一,一时，得到有穷数列:21(nN1bn1得到不同的数列，如当a1），求证：a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an；（出）若3an2（n4）,求a的取值范围.2【解析】这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题.对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（n）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个bn都可以得到一个有穷数列an的猜想

4、,直接得到无限问题的解答.第（出）问是把对无限个1【答案】（I）Qa1a,an11一,a2an再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理n都成立的结果，通过有限次分析获得解决.1.1a11 1-,a1aa数学中的有限与无限”的思想a31-1a22a1a1a3(n)解法一:bi1，bnbn3a22a11-,bn1故当a21-时a40.3b1时,a2b2时,a2b3时,a?b11bi1b11,a3般地，当ab3bn时，an1b2,a3卜面用数学归纳法证明当n1时，ab1，显然a2假设当nk时,aak10,则nk由假设可知，1bn10,1,a20,可得一个含有n1b2b11a40.1项的有穷数

5、列为色.自,1,10,可得一个含有2项的有穷数列a1,a2.b1bk,得到一个含有k1时，abk1,a21项的有穷数列a1，a2.,ak1,其中1bk,bk1得到一个含有k1项的有穷数列a2,a3,a2淇中ak20.所以，当nk1时，可以得到一个含有由(1),(2)知，对一切nN，命题都成立.b解法一：Qb11,bn1,bnbn1k2项的有穷数列a1，a2,a3,ak2淇中ak20,1.bn1a取数列bn中的任一个数不妨设abn.Qabn,ana21ana11bh111b2bnbn1,bn2,.b11.an1°.故a取数列bn中的任一个数，都可以得到一个有穷数列an3(m)-2一一一

6、3所以要使3一一31一2(n4)即3122an11an12由于由a423,223a2aan2(n4)，当且仅当它的前一项an1满足1an12.1,2，所以只须当2,得3”上122a1ak2,解得a时,都有an3,2n0.3.在数列|an(I)求a2,|,|bn|中，a1=2,b1=4,且an，bn，an1成等差数列,bn，an1,bn1成等比数列(nN).(n)证明:a3,a4及b2,b3,b4,a1b1a2b2由此猜测|an|,|bn|的通项公式，并证明你的结论;巨.anbn12【解析】第(i)问由题设可得两个数列的递推关系式，进而得到两个数列的前几项(有限项)数学中的有限与无限”的思想可以

7、猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（n）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题【答案】（I）由条件得2bnana26,b29,a312,b316,下面用数学归纳法证明：当n=1时，由上可得结论成立.a42an1bnbn1,由此可信20,b425.猜测ann(n1),bn(n1)2.假设当n=k时,结论成立，即akk(k1),bk(k1)2,那么当n=k+1时,ak12bkak22(k1)2k(k1)(k1)(k2),bk14k2bk2(k2)2,所以当n=k+1由，可知时,an结论也成立.n(n1),bn(n、21）对一切正整数都成立.(n)

8、故一a116综上,q1b1122a?b21133原不等式成立.三、名校试题1 .数列an中,1 2an1Tanan2（1）求c的值;（2）证明：an5.n>2时,12（I）知anbn(n1)(2n1)2(nan(Can1bn11n(n161)15_4121为常数,1,2,3,.),且a3a2猜测数列an是否有极限？如果有,写出极限的值（不必证明）,4n140（3）比较与40an1的大小，并加以证明.k1ak39【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项a2、a3后可得c的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出法求解，需要用到数学归纳法证得到结果.an的极限；第

9、（2.然后通过前几项3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差（有限项）的比较与第（问已证的单调性得a2122al2ai1ca32a2c（n）证明：因为an1当且仅当an2时,an18,解得c2,（舍去）1an-aan.因为3数列an有极限，且liman（出）由an12an2an因为a11,所以k1ak1,2.所以122(an2)20,an1an0,即anan1(n1,2,3,.).2,可得an(an1an)k1ak2ak12(an2)(an12),11a12an12从而an12an111an2an121.数学中的有限与无限”的思想n所以k1因为a1ak1,401TTan1392an1由(n)

10、得an卜面用数学归纳法证明:对于任意当n1时，由假设结论对1,(k因为an所以ak根据（*）122an2(2及(*由a11及an1所以，当n当n3时,LLn1所以一k1ak2.数列an40TTan139(n40a2141an13939(2an1).(*)，有an2成立.显然结论成立.1）时成立，即12an2-(an1)21)232.即当n2)得1an21时,122an140TTan39aiak2.一12且函数y-(x1)1时，结论也成立.于an2,经计算可得a240a2；当n2时,3932,11a3a1an1n140k1ak-an139a2(5an的首项a=1,前n项和为Sn满足Sn（1）求证

11、：数列an是等比数列.（2）设数列an的公比为f（k）,作数列bn求数列bn的通项公式;(3)设Cnbn2,若存在mN,且m(5413)(8*13)""39(2是，当n1340一a3；391时单调递增,时，有an2成立.（*）13)(8an113)39(2am)2k(an11)(常数k，使b13,bnf(*N).1、一)(nbn12,3,4,)n；使lim(CmCm1Cm1Cm2n1CnCn1)<cccr，2007试求m的最小值.【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递

12、推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m的最小值.一得,由,解：（1）Sn2k(an11)2时,Sn12k(an1)an2k(an1an)即2kan1(2k1)anaia41an2k12k，数学中的有限与无限”的思想又包1符合上式，ai2kan是以1为首项,/1，1为公比的等比数列.2k(2)由(1)知f(k)1.12k)bn12bn2),bn1八c、万(bn12).又b1bnbn12，数列bn2是为1首项,bn/1、n1(二)，bn2(3)由(2)知cnbn1，一，一-为公比的等比数列.2/1、n1（2）/1、n1

13、12n1（二）,则cncn1（二）22、.,1、cncn1=lim(一)一22m1旷1(1)2m=llmn1（1严24(2)2m1322007（1）2m2又m四、考点预测22m9669.669,.*一N,m的最小值为7.5126691024,2m310,m6.5.（一）考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看,的高考一定会有更多的体现.在题型上来看,法证题.（二）考点预测题有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳221.设等差数列an的公差d是2,前n项的和为Sn,则limannnSn【解析】本题设出首项，表示出通项和前n和（

14、有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识aa一lim-0和lim飞0,其中a为常数.nnnn【答案】设首项为a1，则ana12（n1）2na11,Snna1n(n1)222n门1),limn2limn_,、22(2na1)n2n2n(a11)limn23n4ng1)(a11)2nn(a11)3lim一n4(a11)1)2nn131)3.2 .将数列an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:数学中的有限与无限”的思想aia?a3a4asa6a7a8a9a10记表中的第一列数且满足2bn1(n>bnSnS21(I)证明数列一a2,a4,a7,.构成的

15、数列为bn,bi仇1.Sn为数列bn的前n项和，2).成等差数列，并求数列bn的通项公式；(n)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正4、.一.数.当a8i一时，求上表中第k(k23)行所有项的和.91【解析】第(I)问从无穷数列an中抽出它的一个无穷的子数列，由sn与bn的递推关系式消去bn，1-一、一，从而证明是无穷的等差数列.第(n)问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和Sn【答案】(I)证明：由已知，当n22时，-2bf1,bnSnS2又Snb1b2Lbn,所以/J11，(SnSn1)SSn即空S1,所以工，1Sn1SnSn&12'又Gbia11.所以数列是首项为1,公差为1的等差数列.Sn211n12由上可知1(