七下实数辅导讲义(一)终极版

1、第六章实数辅导讲义【知识要点】1、平方根(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。即：如果x2=a,则x叫做a的平方根，记作“ 后” (a称为被开方数)。(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；0只有一个平方根，它就是 0本身；负数没有平方根.(3)开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方.(4)算术平方根：正数a的正的平方根叫做 a的算术平方根，记作“ ja”。(5) 指本身为非负数，即 石>0; 4a有意义的条件是a>0°(6)公式：(指)2=a (a>0)；2、立方根(1)定义：一般

2、地，如果一个数的立方等于a,这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。数a的立方根用符号 羽”表示，读作 三次根号a”。(2)立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0;负数有一个负的立方根。(3)开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、平方根与立方根与区别：0.只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：(自行完成) 5、实数的分类(1)按实数的定义分类:整数自然数(0, 1, 2,负

3、整数(1,2,有理数实数正分数(1,分数(小数)2负分数(-,23 )3 )2 ) (有限小数、3无限循环小数无理数正有理数负有理数(无限不循环小数)10(2)按实数的正负分类:,一正整数正有理数正实数正分数正无理数实数零（既不是正数也不是负数）负实数负有理数负整数负分数负无理数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是 一对应关系.（4）、绝对值一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。Va2a 0 a 0a a 0题型规律总结：0和1；立方根是

4、其本身的数是0和± 1。1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是 2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这 个立方根的符号与原数相同。3、ja本身为非负数，有非负性，即Va >0; ja有意义的条件是a>0o 4、公式：（G）2=a （a>0）； Z a = 3/a （a取任何数）。5、区分(4a)2=a (a> 0),与 " a2 = a6 .非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0,则每一个非负数都为 0 （此性质应用很广，务必掌握）。7 .一般来说，被开放数扩大（或缩小）n

5、倍，算术平方根扩大（或缩小）赤倍,例如V25 5J2500 508 、.识记常用平方表：（自行完成）12=62=112=162=212=22=72=122=172=222=32=82=132=182=232=42=92=142=192=242=52=102=152=202=252=9.易混淆的三个数（自行分析它们）：（1）ja2（2）（ja）2Va310、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：42 y 43 y J5 弋 q6 y y 7 y【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为 3 a和2a 3,求这个数？变式1、已知2a 1和 a 2是m的平方根，求 m的值?变式2

6、、已知某个数的平方根分别为a 3和2a 15,求a和这个数?-0.01 2例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由（-3） 20 2（2）下列说法对不对？为什么?4有一个平方根只有正数有平方根任何数都有平方根 例3、求下列各数的平方根： （1）9（2） 若a>0, a有两个平方根，它们互为相反数(3) 0.36169变式3、.下列语句中，正确的是（）A. 一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B.负数没有立方根C. 一个实数的立方根不是正数就是负数D.立方根是这个数本身的数共有三个变式4.下列说法正确的是（）A. -2是（-2） 2的算术平方根C. 16的平方根是土 4题型三、化简求

7、值B . 3是-9的算术平方根D. 27的立方根是土 3例 1、已知 0 x 3,化简：J(2x 1)2 x 5变式1、若x 1 x 1 0,化简:"(1 x)2.(b c)2例2已知a,b,c实数在数轴上的对应点如图所示，化简变式2、实数a在数轴上的位置如图所示化简：a 1 V（a 2）2 =-2-1 o i 2变式3如图所示，数轴上A、B两点分别表示实数的对称点为C,则点C所表示的实数为()A. J52B. 2-/5C. 45 -3D.3例3、当a<0时，化简的结果是()B -1例4、化简下列各式:(1) I1：-1.4|(2) | 兀-3.142|(3) |-,1-.&#

8、39;' |【变式1】化简:卜后2收| + V2 + V| |V2 -内题型四、利用非负数的性质求代数式三种常见的非负数：a2 0a 0,a 0(a 0)注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；(2)若几个非负数的和是0,那么这几个非负数均为0.例1、已知实数x, y满足 Jx 2+(y+1) 2=0,则x-y等于【变式11已知a、b是有理数，且满足(a-2) 2+b 3=0,则ab的值为【变式2已知''卜I 那么a+b-c的值为【变式 3】已知(x-6)2+""+|y+2z|=0,求(x-y)3-z3 的值。求被开方数中的未知数的值f例 2 若 y=

9、 vx 5 + 勺5 x+2017,则 x+y=2变式1、若夕彳(x y),则x-y的值为()A. -1 B. 1 C. 2 D. 3变式2、若x、y都是实数，且y=，'2x 3 d3 2x 4,求xy的值1 1变式3、已知b 43a 2 2/2 3a 2,求 1的值？ a b题型五、解方程 23(1) (x 2)4 0(2) (x 3)27 0_32(3) 27x125 0(4) (2x 1).25题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x是亚0的整数部分，y是/10的小数部分，求 (y J10) x1的平方根。变式1设m是7 加3的小数部分，n为7 J13的小数部分，求(m n)

10、2°17的值?.变式2、已知K?0的整数部分是a,小数部分是b,求a2 b2的值.题型六 关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值(3)(4)4( 4)2(1)两； V16 ；解(1)因为92 81,所以士 国=±9.例2 (1) 64的立方根是 32(2)下列说法中： 3都是27的立万根，3y y,J64的立万根是2,3/ 84。正确的有()A 、1个 B、2个 C 、3个 D、4个题型八、探索找规律11(盐城市)现规定一种新的运算“"：aXb=ab,如3X2=32=9,则一派3=()22 (资阳市)若“！ ”是一种数学运算符号，并且 1! =1, 2! =

11、2X1=2, 3! =3X2M=6, 4! = 4>3X2X1,，则100!98!的值为()A. 50B. 99!C. 9900D. 2!493 .如果有理数 a,b满足I ab - 2 I + I 1 - b I =0,1111试求_1 1 1+1的值.ab (a 1)(b 1) (a 2)(b 2) (a 2016)(b 2016)4 .观察思考下列计算过程：:112=121,J12i=11;同样：1112 =12321,)12321 =111;由此猜想：,12345678987654321 =题型/I实数比较大小的方法1、方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a, b为任意两个

12、实数， 先求出a与b的差，再根据当a-b>0时，得到a>b。当a-b<0时，得到a<b。当a-b=0,得到a=b。例1、比较1-J2与1-<3的大小。3、方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a, b为任意两个正实数，先求出 a与b得商。当 亘<1时，a<b;当旦>1时，abb>b;当=1时，a=b。来比较a与b的大小。bf例2、比较、13 3 与1的大小。884、方法三：平方法平方法的基本是思路是先将要比较白两个数分别平方，再根据a>0, b>0时，可由a2>b2得到a>b来比 较大小，这种方法常用于比较无理数

13、的大小。例3、比较2 J7与3 J3的大小 5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设 a, b为任意两个正实数，先估算出a, b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。.13 3 . 1例4、比较3 与-的大小。88综合演练一、填空题1、 （-0.7） 2 的平方根是 2、若 a2 =25, b =3,则 a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是2a-2和a-4,则a的值是4、34=5、若m、n互为相反数，则 m 75 n =6、若 Ya2a ,则 a 07、若J3x 7有意义,则x的取值范围是8、16的平方根是土 4”用数学式子表示为9、大于-啦，小于 诉的整数有 个。10、一个正数x的

14、两个平方根分别是 a+2和a-4 ,则a= , x=11、当x时，& 3有意义。12、当x时，'2x 3有意义。113、当x时，* x有意义。x 114、当x时，式子 x 2有意义。15、若J4a 1有意义,则a能取的最小整数为二、选择题1. 9的算术平方根是（）A.-3 B . 3 C .±3 D . 812. 下列计算正确的是（）A 再=±2 B 、.两病=9C. . 36 6 D. . 9293. 下列说法中正确的是（）A . 9的平方根是3 B照的算术平方根是土 2C. J6的算术平方根是D. 炳的平方根是土 24. 64的平方根是()A. 

15、7; 8 B.±4 C .±2 D.±725. 4的平方的倒数的算术平方根是()A. 4 B . 1 C.-1 D . 18446.下列结论正确的是()A . ( 6)26 B (3)29 C( 16)216 D16 2 26 25257 .以下语句及写成式子正确的是（）A 7是49的算术平方根，即 497 B 、7是（7）2的平方根，即不 7C7是49的平方根，即v49 7 D 、7是49的平方根，即土而 78 .下列语句中正确的是（）A、9的平方根是 3 B 、9的平方根是3C 9的算术平方根是3 D 、 9的算术平方根是 39 .下列说法：（1）3是9的平方根；（2）9的平方根是 3; （3）3是9的平方根；（4）9的平方根是3,其中正确的有（）A.3个B.2个C. 1个D.4个10 .下列语句中正确的是（）、只有正数才有算术平方根、1是1的平方根A任意算术平