材料力学应力状态与强度理论

1、 71 应力状态的概念应力状态的概念 72 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法73 空间应力状态简介空间应力状态简介 74 广义虎克定律广义虎克定律75 复杂复杂应力状态下的应力状态下的体积应变、比体积应变、比能能 PPmmnnPnnkANmmPpkcoscos/ANANp2coscos p2sin2cossinsin p一、一点的应力状态一、一点的应力状态 过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的过构件一点各个截面应力的总体情况称为该点的。二、单元体二、单元体xyzxyxzxyzyxyzzxzy 围绕构件内一点截取一无限小正围绕构件内一点截取一无限小正六面体称为六面体称为。

2、单元体相对两面上的应力大小相单元体相对两面上的应力大小相等，方向相反。等，方向相反。 若所取单元体各面上只有正应若所取单元体各面上只有正应力，而无剪应力，此单元体称为力，而无剪应力，此单元体称为。三、主平面和主应力三、主平面和主应力123 只有正应力，而无剪应力的截面只有正应力，而无剪应力的截面称为称为。 主平面上的正应力称为主平面上的正应力称为。 一点的应力状态有三个主应力，一点的应力状态有三个主应力，按其代数值排列：按其代数值排列：321PP 若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称若三个主应力中，有两个等于零，一个不等于零，称为为，如杆件轴向拉伸或压缩。，如杆件轴向拉伸或压缩。 若

3、三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称若三个主应力中，有一个等于零，两个不等于零，称为为，或，或，如梁的弯曲。，如梁的弯曲。ABPxxxxxx 若三个主应力都不等于零，称为若三个主应力都不等于零，称为，三向，三向应力状态是最复杂的应力状态。应力状态是最复杂的应力状态。一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力xxxyyntxxyyyyxxyA; 0nF; 0cossinsinsinsincoscoscosAAAAAyyxx2sinsincos22xyx2sin22cos122cos1xyx2sin2cos22xyxyx同理，由同理，由 得：得：0tF2cos2sin2xyx任意斜截面的正应力和

4、剪应力为任意斜截面的正应力和剪应力为2cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx二、主平面的方位二、主平面的方位 设主平面的方位角为设主平面的方位角为 0，有有02cos2sin2000 xyxyxxtg220三、主应力三、主应力 将主平面的方位角为将主平面的方位角为 0代入斜截面正应力公式，得代入斜截面正应力公式，得2222xyxyx四、最大剪应力四、最大剪应力231max解题注意事项：解题注意事项： 上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先上述公式中各项均为代数量，应用公式解题时，首先应写清已知条件。应写清已知条件。 x、 y 以拉为正，以压为负；以拉为正，以压为负； x

5、沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负；沿单元体顺时针转为正，逆时针转为负； 为斜截面的外法线与为斜截面的外法线与x 轴正向间夹角，逆时针转为轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。正，顺时针转为负。 求得主应力求得主应力 、 与与0排序，确定排序，确定 1、 2、 3的值。的值。 0为为主应力主应力 所在截面的外法线与所在截面的外法线与x 轴正向间夹角，轴正向间夹角，逆时针转为正，顺时针转为负。逆时针转为正，顺时针转为负。yxxtg220 在主值区间，在主值区间，2 0有两个解，与此对应的有两个解，与此对应的 0也有两个解，也有两个解，其中落在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。其中落

6、在剪应力箭头所指象限内的解为真解，另一解舍掉。例例71求图示单元体求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。斜截面上的正应力和剪应力。60abMPa50MPa40MPa20解：解：已知已知,50MPax,20MPaxxn30,40MPayMPa2 .10)60sin()20()60cos(2)40(502)40(5030MPa49)60cos()20()60sin(2)40(5030n练习练习1求图示单元体求图示单元体ab 斜截面上的正应力和剪应力。斜截面上的正应力和剪应力。MPa80MPa4030解：解：已知已知,80MPax,40MPax 60, 0yMPa64.54120sin4012

7、0cos2080208060MPa64.54120cos40120sin208060例例72求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。上标出主应力的方位。MPa50MPa40MPa20解：解：已知已知,50MPax,20MPax,40MPay2 .495)20()24050(2405022MPaMPa2 .44, 0,2 .54321MPa2 .49)2 .44(2 .54(21maxMPa50MPa40MPa2094)40(50)20(220tg96.20396.232098.10198.110此解在第一象限，为本题解；此解在

8、第一象限，为本题解；此解在第二象限，不是本题解，舍掉。此解在第二象限，不是本题解，舍掉。11330=11.98练习练习2求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。标出主应力的方位。MPa80MPa40解：解：已知已知,80MPax,40MPax, 0y57.564040)2080(208022MPaMPa57.96, 0,57.16321MPa57.56)57.96(57.16(21maxMPa80MPa40108040220tg22545205 .675 .1125 .220此解在第二、四象限，为本题解。此解在第二、四象限，

9、为本题解。此解在第一象限，不是本题解，舍掉；此解在第一象限，不是本题解，舍掉；33110=67.5练习练习3求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。标出主应力的方位。MPa50MPa30MPa30解：解：已知已知,50MPax,30MPax,30MPay5010)30()23050(2305022MPaMPa40, 0,60321MPa50)40(60(21maxMPa50MPa30MPa3043)30(50)30(220tg87.21687.362043.10843.180此解在第一象限，为本题解；此解在第一象限，为本题解

10、；此解在第二象限，不是本题解，舍掉。此解在第二象限，不是本题解，舍掉。11330=18.432cos2sin22sin2cos22xyxxyxyx 由解析法知，任意斜截面的应力为由解析法知，任意斜截面的应力为 将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加22)2sin2cos2()2(xyxyx22)2cos2sin2(xyx得：得：2222)2()2(xyxyx 取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则取横轴为斜截面的正应力，纵轴为斜截面的剪应力，则上式为一圆方程。上式为一圆方程。xxxyyntyo2/ )(yxCr圆心坐标为圆心坐标为);0

11、,2(yx半径为半径为22)2(xyxrxxxyyntyoC 圆上各点与单元体各斜截面一一对应，各点的横坐标与圆上各点与单元体各斜截面一一对应，各点的横坐标与纵坐标与各斜截面的正应力与剪应力一一对应。因此，该圆纵坐标与各斜截面的正应力与剪应力一一对应。因此，该圆称为称为。 圆上圆上D1点代表点代表x 截面；截面； D1xxy-xD2D2点代表点代表y 截面；截面； EE点代表方位为点代表方位为 角的斜截面；角的斜截面； A1、 A2 点代表两个主平面。点代表两个主平面。 212A1A2xxxyyyoCD1xxy-xD2B1B2应力圆的画法步骤应力圆的画法步骤: 作横轴为作横轴为 轴，纵轴，纵轴

12、为轴为 轴；轴； 在横轴上取在横轴上取OB1= x ， 过过B1引垂线引垂线B1D1= x ； 在横轴上取在横轴上取OB2= y， 过过B2引垂线引垂线B2D2=- x ； 连接连接D1D2交横轴于交横轴于C ， 以以C为圆心为圆心，CD1为半径作圆，此圆即为为半径作圆，此圆即为应力圆。应力圆。xxxyyyoCD1xxy-xD2B1B2证明证明:22221222yxyxyOBOBOBCBOBOC22211221211211)2()()2()()(xyxDBOBOBDBCBCDr例例73试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力

13、的方位。并在单元体上标出主应力的方位。MPa50MPa30MPa30解：解：已知已知,50MPax,30MPax,30MPayo1B2B1D2DC50303030,501OB;3011DB,302OB;3022DB取取: 连接连接D1D2交横轴于交横轴于C ，以，以C为圆心，为圆心，CD1为半径作圆。为半径作圆。o1B2B1D2DC503030301A2A13,10OC503040)()(2221121DBCBr,6050101MParOC,4050103MParOC, 0202,75. 0403021110CBDBtg,87.3620,43.180MPa50MPa30MPa3011330=1

14、8.43MPa50)4060(21)(2131maxMPa20例例74试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。并在单元体上标出主应力的方位。解：解：已知已知, 0 x,20MPax, 0y, 01OB;2011DB, 02OB;2022DB取取: 连接连接D1D2交横轴于交横轴于C ，以，以C为圆心，为圆心，CD1为半径作圆。为半径作圆。o1B2BC1D2D2020MPa20o1B2BC1D2D1A2A132020, 0OC20r,201MPar ,203MPar, 02MPa20)2020(21)(2131max,

15、9020 4500=45201133练习练习4试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并试用图解法求图示单元体的主应力、最大剪应力、并在单元体上标出主应力的方位。在单元体上标出主应力的方位。MPa100MPa50解：解：已知已知,100MPax,50MPax, 0y,1001OB;5011DB, 02OB;5022DB取取: 连接连接D1D2交横轴于交横轴于C ，以，以C为圆心，为圆心，CD1为半径作圆。为半径作圆。COB1D1D2B21005050COB1D1D2B2100505013A1A2,50OC7 .70505022r,7 .1207 .70501MParOC,7 .207 .7

16、0503MParOC, 02MPa7 .70)7 .207 .120(21)(2131max, 1505021110CBDBtg,4520,5 .22020MPa100MPa5011330=22.5例例75已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图已知一点处两个斜截面上的应力如图所示，试用图解法求解法求 角、该点角、该点的主应力、主平面，并在图上画出主应力的主应力、主平面，并在图上画出主应力和主平面的方位。和主平面的方位。95MPa45MPaMPa325MPa3252oaabbC954532570245abOC5025)325(22 Car95MPa45MPaMPa325MPa3252oaa

17、bbC954532570245abOC5025)325(22 Car, 5 . 0sin,30,15018012A1A2MParOC12050701MParOC2050702 1 22a2bab 30a 30b73 空间应力状态简介空间应力状态简介 1 2xyz 31231、空间应力状态、空间应力状态1232、三向应力圆、三向应力圆 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3123 max min231max3、最大剪应力、最大剪应力 1 2 3 最大剪应力所在的截面与最大剪应力所在的截面与 2平行，与第一、第三主平面平行，与第一、第三主平面成成45角。角。PP EE11221122=+1

18、221E11112E221EE22)(121111E)(112222E一、平面应力状态的广义虎克定律一、平面应力状态的广义虎克定律)(1)(1112211EExxyyx 正应变只跟正应力有关，与剪正应变只跟正应力有关，与剪应力无关；剪应变只跟剪应力有关，应力无关；剪应变只跟剪应力有关，与正应力无关；与正应力无关；xxyyyxxGEE1)(1)(1二、三向应力状态的广义虎克定律二、三向应力状态的广义虎克定律123xyzxyxzxyzyxyzzxzy)(1)(1)(1213313223211EEE)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEE例例76边长为边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，

19、钢块的的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为弹性模量为E 、泊桑比为、泊桑比为 ，顶面受铅直压力，顶面受铅直压力P 作用，求钢作用，求钢块的应力块的应力 x 、 y 、 z 和应变和应变 x 、 y 、 z 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 xPxyz x y z,2aPyx)0(10yxE)0(1xyyE)(01yxzE,)1 (1222EaPEyyy2)1 ()(EaPEyyz例例77已知已知E=10GPa、 =0.2，求图示梁求图示梁nn 截面上截面上 k 点沿点沿30方向的线应变方向的线应变 30。nnk1m 1m

20、2mAB2001507575kkNP1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223bhQbbhhbhQbISQnnzzn89)8/3()4/(123*nnk1m 1m2mAB2001507575kkNP1230mkNMn.6kNQn6MPahbhMyIMnkzn130206000341223MPabhQn1125. 030020086000989nnk1m 1m2mAB2001507575kkNP1230MPaMPaxyx1125. 0, 0,1 30 -6030-60MPaxxx847. 0234260sin60cos2230MPaxxx153.

21、02342)120sin()120cos(2260nnk1m 1m2mAB2001507575kkNP1230 30 -6030-60,847. 030MPaMPa153. 060536030301016. 81010)153. 0(2 . 0847. 0)(1E例例78薄壁筒内压容器薄壁筒内压容器(t/D1/20)，筒的，筒的平均直径为平均直径为D ，壁，壁厚为厚为t ，材料的，材料的E、 已知。已测得筒壁已知。已测得筒壁上上 k 点沿点沿45方向的方向的线应变线应变 45，求筒内压强，求筒内压强p。45 kptD x x y y解：解：筒壁一点的轴向应力：筒壁一点的轴向应力：tpDx4筒壁

22、一点的环向应力：筒壁一点的环向应力：tpDy245 kptD x x y y,4tpDxtpDy2 45 -4545-45tpDyx8324545tpDEE831)(1454545DEtp)1 ( 3845练习练习5受扭圆轴如图所示，受扭圆轴如图所示，已知已知m 、 d 、 E、 ，求，求圆轴外圆轴外表面表面沿沿ab 方向的应变方向的应变 ab 。ABm m dab45 316dmWTn解：解：xyx, 0ABm m dab45 ,163dmWTnxyx, 0 45 -4590sin45x)90sin(45x34545)1 (161)(1)(1EdmEEEab75 复杂复杂应力状态下的应力状态

23、下的体积应变、比体积应变、比能能一、体积应变一、体积应变dxdydzdx+dxdy+dydz+dzdxdydzV 0)()(1dzdzdydydxdxV)1)(1)(1 (dzdzdydydxdxdxdydz)1)(1)(1 (321 dxdydzdxdydzV 0)1)(1)(1 (3211 dxdydzV略去高阶微量，得略去高阶微量，得)1 (32101VV单元体的单元体的321001VVVV)(1)(1)(1213313223211EEE代入式代入式得：得：)(21321EV 纯剪应力状态：纯剪应力状态：321, 0, 可见剪应力并不引起体积应变，对于非主应力单元体，可见剪应力并不引起体

24、积应变，对于非主应力单元体，其体积应变可改写为其体积应变可改写为0V)(21zyxVE 体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其体积应变只与三个主应力（正应力）之和有关，而与其比例无关。比例无关。令令)(31321m)21 ( 3EKKmV m称为称为，K 称为称为。二、比能二、比能 单位体积的变形能称为单位体积的变形能称为，简称，简称。 单向拉压比能单向拉压比能dxdzdy dxdydzlddNdU21)(21d(l)dxdzdy 2121dxdydzdxdydzdVdUu 纯剪切比能纯剪切比能dxdydz )(21)(21dydzdxdxdydzdU21dxdydzdUdVdUu

25、复杂应力状态的比能复杂应力状态的比能)(21332211u)(221133221232221E 体积改变比能与形状改变比能体积改变比能与形状改变比能 1 2 3 m m 1- m m 2- m 3- m=+u=uV+uf 状态状态1受平均正应力受平均正应力 m作用，因各向均匀受力，故只有作用，因各向均匀受力，故只有体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变，而无形状改变，相应的比能称为。 状态状态2的的体积应变：体积应变：0)()()(21)(3212mmmVE 状态状态2无无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为体积改变，只有形状改变，相应的比能称为。 1 2 3 m m 1- m m

26、2- m 3- m=+u=uV+uf2321222)(6213221)323(21EEEummmV2321133221232221)(621)(221EEuuuVf)()()(61213232221Euf例例79边长为边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性模量为性模量为E 、泊桑比为、泊桑比为 ，顶面受铅直压力，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的作用，求钢块的体积体积应变应变 V 和形状改变比能和形状改变比能uf 。Pxyz x y z解：解： 由已知可直接求得：由已知可直接求得：,2aPANy, 0z, 0 x x y z,2aPyx)0(10

27、yxE23221, 0aPaP222321)1)(21 ()0(21)(21EaPaPaPEEV42222222223)1)(1 ()()()(61EaPaPaPaPaPEuf例例710证明弹性模量证明弹性模量E 、泊桑比、泊桑比 、剪切、剪切弹性模量弹性模量G 之间之间的关系为的关系为 。)1 (2EG 3 1证明：证明： 纯剪应力状态比能为纯剪应力状态比能为212121Gu321, 0,用主应力计算比能用主应力计算比能222213322123222121)00(2)(021)(221EEEu21uu 22121EG)1 (2EG76 强度理论的概念强度理论的概念78 莫尔强度理论莫尔强度理

28、论77 常用四个强度理论常用四个强度理论 76 强度理论的概念强度理论的概念PP ,AN,nubsu塑性材料屈服破坏塑性材料屈服破坏脆性材料断裂破坏脆性材料断裂破坏 单向拉伸时材料的破坏准则可通过试验很容易地建立起单向拉伸时材料的破坏准则可通过试验很容易地建立起来。来。 复杂应力状态（二向应力状态或三向应力状态），材料复杂应力状态（二向应力状态或三向应力状态），材料的破坏与三个主应力的大小、正负的排列，及主应力间的比的破坏与三个主应力的大小、正负的排列，及主应力间的比例有关。各种组合很多，无法通过试验一一对应地建立破坏例有关。各种组合很多，无法通过试验一一对应地建立破坏准则。于是，人们比着单向

29、拉伸提出一些假说，这些假说通准则。于是，人们比着单向拉伸提出一些假说，这些假说通常称为常称为，并根据这些理论建立相应的强度条件，并根据这些理论建立相应的强度条件 1 1 2 2 1 2 3一、第一强度理论（最大拉应力理论）一、第一强度理论（最大拉应力理论） 该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应力引起该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应力引起的：的：复杂应力状态下，当最大拉应力复杂应力状态下，当最大拉应力 1达到单向拉伸达到单向拉伸时发时发生脆性断裂破坏的极限应力生脆性断裂破坏的极限应力 u，材料，材料发生脆性断裂破坏，发生脆性断裂破坏，即即bu1 根据第一强度理论建立的强度条件为：

30、根据第一强度理论建立的强度条件为： 1二、第二强度理论（最大拉应变理论）二、第二强度理论（最大拉应变理论） 该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起的：的：复杂应力状态下，当最大拉应变复杂应力状态下，当最大拉应变 1达到单向拉伸达到单向拉伸时发生时发生脆性断裂破坏的极限应变脆性断裂破坏的极限应变 u，材料，材料发生脆性断裂破坏，发生脆性断裂破坏，即即u1 根据第二强度理论建立的强度条件为：根据第二强度理论建立的强度条件为：);(13211EEbub)(321 )(321三、第三强度理论（最大剪应力理论）三、第三强度理论（最大剪应力理论）

31、该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大剪应力引起该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大剪应力引起的：的：复杂应力状态下，当最大剪应力复杂应力状态下，当最大剪应力 max达到单向拉伸达到单向拉伸时发时发生塑性屈服破坏的极限应变生塑性屈服破坏的极限应变 u，材料，材料发生塑性屈服破坏，发生塑性屈服破坏，即即umax 根据第三强度理论建立的强度条件为：根据第三强度理论建立的强度条件为：;231max2sus31 31四、第四强度理论（形状改变比能理论）四、第四强度理论（形状改变比能理论） 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变比能引该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变比能引起的：起的：复杂应力状态下，当形状改变比能复杂应力状态下，当形状改变比能uf 达到单向拉伸达到单向拉伸时时发生塑性屈服破坏的形状改变比能发生塑性屈服破坏的形状改变比能uf u，材料，材料发生塑性屈服发生塑性屈服破坏，破坏，即即fufuu 根据第三强度理论建立的强度条件为：根据第三强度理论建立的强度条件为：;)()()(61213232221Euf231sfuEus)()()