同济大学高等数学第七版12_数列的极限

1、目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 一、数列极限的定义一、数列极限的定义 第二节第二节数列的极限数列的极限二二 、收敛数列的性质、收敛数列的性质 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 如果按照某一法则，对每个nxnNnx，对应着一个确定的实数，这些实数按照下标n从小到大排列得到的一个序列123,nx xxx就叫做数列数列，简记为数列 .nx数列中的每一个数叫做数列的项项，第n项 叫做数列的一般项一般项或或通项通项。 nx1、数列、数列定义定义一一 、数列极限的定义、数列极限的定义目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例

2、如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1)n注意： (1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx(2).数列是整标函数),(nfxn . Nn目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 有界性有界性在在数数轴轴上上,有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间-M,M上上.数列数列 xn 有上界有上界, ,即存在即存在M, , 使使xnM (n=1,2,). .数列数列 xn 有下界有下界, ,即存在即存在m, ,使使xn m(n

3、=1,2,).| 有有界界；否否则则，称称无无界界称称数数列列成成立立，恒恒有有，若若存存在在正正数数对对数数列列定定义义nnnxMxMx 2.数列的性质目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 ,) 1(,43,34,21,21nnn1( 1)nnn ;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1)n,1,43,32,21nn1nn 有界有界有界有界有界有界;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n无界无界有界有界 判断下列数列判断下列数列目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 nx如如果果数数列列满满足足条条件件121,nn

4、xxxx单调增加单调增加121,nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列(2) 单调性单调性;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n单调增加单调增加单调减少单调减少判断下列数列的单调性判断下列数列的单调性目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 ,) 1(,43,34,21,21nnn1( 1)nnn ;,)1( , 1 , 1, 11 n1( 1)n,1,43,32,21nn1nn 单调增加单调增加无单调性无单调性无单调性无单调性目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 观察下列数列当观察下列数列当n无限增大时，无限增大时

5、，, 2 1, 0从上面可以看出从上面可以看出 :当当 n时时 , 无限地接近于无限地接近于 1 , 数列数列(2)从原点的两侧无限地接近于从原点的两侧无限地接近于0, 一般项一般项的变化趋势的变化趋势: :nx11(2)( 1):2nn,21)1(1nn :1)1( nn数列数列 (1) 从从 的右侧的右侧1 x xo 1 2 23 34 xo 21 41 81.11时时的的极极限限当当为为数数列列称称 nnn.21)1(01时时的的极极限限当当为为数数列列称称 nnn3,24,35,46,57,68,71,nn1,21,41,81,16 116目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页

6、 返回 结束 3.3.数列极限的定义数列极限的定义 当n无限增大时, 如果数列xn的一般项xn无限接近于一个确定的常数a, 则常数a称为数列xn的极限, 或称数列xn收敛于a, 记为axnnlim， 或)(naxn如果数列没有极限，就说数列是发散的如果数列没有极限，就说数列是发散的目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21nnnnnxnn1) 1()(1n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收 敛发 散目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页

7、下页 返回 结束 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过观察:当n无限增大时,1( 1)1nnxn 无限接近于1.引例引例观察数列1( 1)1nnn 当时的变化趋势.1nx 111( 1)nnn目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 11,10000nx 有1,10000给定10000,n 只要时1nx 111( 1)nnn,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有6110 ,nx有610 ,给定610,n 只要时0,给定1( ),nN只要时1.nx有成立目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束

8、数列极限的精确定义数列极限的精确定义axnnlim， 当n无限增大时, xn无限接近于a .当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 .当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.或)(naxn目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 , 0 任任意意给给定定,)1(时时只只要要 Nn.1成成立立有有 nx只要只要n无限增大，无限增大，xn 就会与就会与1无限靠近。无限靠近。Nn 确保 1nx引入符号引入符号N和和 来刻化无限增大和无限接近。来刻化无限增大和无限接近。注：0 就会暂时确定下

9、来,一旦给定,以此来确定相应的N.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 nxnxa记作此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .axnnlim或)(naxn则称该数列nx的极限为 a ,定义:设 为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正数 (不论它多小)总存在正整数N,使得当nN 时,不等式都成立，数列极限的精确定义数列极限的精确定义目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 都落在都落在a点的点的邻域邻域内内),( aa因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点x a aa 22 Nx1x2x1 Nx3x注意：注

10、意：数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.数列极限的几何意义数列极限的几何意义, 0N 使得使得 N 项以后的所有项项以后的所有项,321 NNNxxx注：越小,表示nx与a接近得越好.axnnlim目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 anNaanxn目的：目的：lim0, nnnxaNnNaxa 要找到一个自然数 使得时，有目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 Naaa 越来越小，N越来越大！nxn目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证

11、证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnnN 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .注：注： 例例2. 已知,) 1() 1(2nxnn证明.0limnnx证证:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11n, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,11n即n取, 11N则当Nn 时, 就有,0nx故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取1N也可由2) 1(10nnx. 11N 与 有关, 但不唯一.不一定取最小的 N .说明说明: 取11N机

12、动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设,1q证明等比数列,112nqqq证证:0nx01nq, ) 1 ,0(欲使,0nx只要,1nq即,lnln) 1(qn亦即因此 , 取qNlnln1, 则当 n N 时,就有01nq故0lim1nnq.lnln1qn的极限为 0 . 1nq机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 练习练习1 用定义证明lim11xnn 证明 对于任意给定的 要使01|1|1|11nnxnn 只要 11n取自然数 11N 则当 时，有 , 所以 nN1nxlim11xnn 注：0 就会暂时确定下来,一旦给定,以

13、此来确定相应的N.23baab22abnabax二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 !nx满足的不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 收敛

14、数列一定有界收敛数列一定有界.证证: 设,limaxnn取,1,N则当Nn 时, 从而有nxaaxna1取 ,max21NxxxMa1则有. ),2,1(nMxn由此证明收敛数列必有界.aaxn)(, 1axn有机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. . ) 1( :nnx反例3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时, 有0nx, )0(. )0(证证: 对 a 0 , 取,2a,NN则,时当Nn axn2anx02aaax2a2a推论推论: 若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明)机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质:唯一性 ; 有界性 ; 保号性;任一子数列收敛于同一极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 刘徽刘徽