第三章信号检测与估计理论(1).

1、第第3 3章章 信号的统计检测理论信号的统计检测理论3.1 3.1 引言引言 信号的统计检测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。信号的统计检测理论是随机信号统计处理的理论基础之一。 信号的统计检测理论，研究在噪声干扰中，信号的有无以信号的统计检测理论，研究在噪声干扰中，信号的有无以及信号是属于哪个状态的及信号是属于哪个状态的最佳判决最佳判决问题。其数学基础就是统计问题。其数学基础就是统计判决理论判决理论, ,信号的统计检测又称信号的统计检测又称假设检验。假设检验。 假设：假设：研究对象可能的情况或状态，对于一种情况做出一研究对象可能的情况或状态，对于一种情况做出一个假设。个假设。 检验：检验

2、：是按一定的准则进行判断，以确定哪一个假设成立是按一定的准则进行判断，以确定哪一个假设成立的过程。的过程。 本章主要内容本章主要内容 信号统计检测理论的基本概念；信号统计检测理论的基本概念； 二元信号的最佳检测准则二元信号的最佳检测准则, ,信号的状态判决方信号的状态判决方 法和检测性能的分析；法和检测性能的分析； M M元信号的最佳检测；元信号的最佳检测； 参量信号的统计检测；参量信号的统计检测； 信号的序列检测信号的序列检测. . 3.2 3.2 信号统计检测理论的基本概念信号统计检测理论的基本概念 从二元信号的统计检测入手，讲述：从二元信号的统计检测入手，讲述： 信号状态假设和接收信号的

3、数学模型信号状态假设和接收信号的数学模型; ; 不同假设下不同假设下, ,信号的统计特性及其描述信号的统计特性及其描述; ; 合理的判决方法合理的判决方法; ; 检测性能分析检测性能分析; ; 归纳、抽象并推广到归纳、抽象并推广到 M M（M 2M 2）元信号的检测）元信号的检测。二元信数字通信系统二元信数字通信系统 n图图1.3 1.3 二进制数字通信系统原理框二进制数字通信系统原理框图图00110 s (t)=sin(t) 0tT1 s (t)=sin(t) 0tT n图图1.4 1.4 连续相位移频键控信号连续相位移频键控信号(CPFM)(CPFM)在在0,T,0,T,加性噪声为加性噪声

4、为n(t),n(t),接收到信号接收到信号x(t),x(t),01( )( )( ), 0( )( )( ), 0 x ts tn ttTx ts tn ttT 实际上不知道发射的是实际上不知道发射的是s s0 0还是还是s s1 1, ,因此，需要合理检测因此，需要合理检测准则，进行判断获得信号。准则，进行判断获得信号。 在某些情况下在对信号转台作出判断之后，还需要对在某些情况下在对信号转台作出判断之后，还需要对信号的参数进行估计，如振幅、相位、频率等信号的参数进行估计，如振幅、相位、频率等; ; 如有必要，需要进一步恢复出信号的波形或者图形。如有必要，需要进一步恢复出信号的波形或者图形。3

5、.2.1 3.2.1 二元信号统计检测的信号模型二元信号统计检测的信号模型 n图图3.1 3.1 二元信号统计检测理论模型二元信号统计检测理论模型n图图3.1 3.1 二元信号统计检测理论模型二元信号统计检测理论模型信源信源信源00H :0( )( )( )x ts tn t信源输出为 ，11H1( )( )( ) x ts tn t：信源输出为 ，信源的输出称为假设信源的输出称为假设n图图3.1 3.1 二元信号统计检测理论模型二元信号统计检测理论模型概率转移机构概率转移机构作用作用: :概率转移机构的作用是在信源输出的一个假概率转移机构的作用是在信源输出的一个假设为真的基础之上设为真的基础

6、之上, ,把噪声干扰背景中的假设把噪声干扰背景中的假设H Hj j(j=0,1)(j=0,1)为真的信号，按照一定的概率关系映射为真的信号，按照一定的概率关系映射到观测空间中到观测空间中. .概率转移机构观测空间R1|x H0|x Hn图图3.13.1二元信号统计检测理论模型二元信号统计检测理论模型观测空间观测空间R R作用作用: :观测空间观测空间R R是在信源输出不同信号状态下是在信源输出不同信号状态下, ,在噪在噪声干扰背景中声干扰背景中, ,由概率转移机构所生成的全部可能的由概率转移机构所生成的全部可能的观测量的集合观测量的集合. .如如: :观测信号观测信号(x|H(x|Hj j).

7、).n图图3.13.1二元信号统计检测理论模型二元信号统计检测理论模型判决规则判决规则作用作用: :观测量落入观测空间后观测量落入观测空间后, ,就可以用来推断哪就可以用来推断哪一个假设是合理的一个假设是合理的, ,即判决信号属于哪种状态即判决信号属于哪种状态. .为为此此, ,需要建立一种判决规则需要建立一种判决规则, ,以便使观测空间中的以便使观测空间中的每一个观测点对应着相应的假设每一个观测点对应着相应的假设H Hi i(i=0,1).(i=0,1).判决结果就是选择假设判决结果就是选择假设H H0 0成立成立, ,还是还是H H1 1成立成立. .统计假统计假设检验的任务设检验的任务,

8、 ,就是根据观测量落在观测空间中的就是根据观测量落在观测空间中的位置位置, ,按照某种检验规则按照某种检验规则, ,作出信号状态是属于哪作出信号状态是属于哪个假设的判断个假设的判断. .3.2.2 信号的统计描述信号的统计描述 二元信号有两种状态二元信号有两种状态,在未作出判决前在未作出判决前,我我们不知道接收信号是属于两种状态中的哪们不知道接收信号是属于两种状态中的哪一种状态。所以，用数理统计中的假设来一种状态。所以，用数理统计中的假设来表示，分别为假设表示，分别为假设 和假设和假设 ，从而建，从而建立二元信号统计检测的信号模型。立二元信号统计检测的信号模型。 0H1HnnjHA;HA,H0

9、12n例:考虑二元信号的检测问题:当假设为真时,信源输出信号为-当假设为真时,信源输出信号为+信源的输出信号与服从N(0,)的高斯噪声n叠加,其和就是观测空间中的随机信号(x|,j=0,1),这样,在两个假设观测信号的条件下,模型为:012,A,A0,0,nHxAnHxAnnN 其中为确知信号 且： 产生的,还是 产生的。我们需要根据假设 下 的统计特性与假设 下 的统计特性作出合理判决。 故首先要对 和 进行统计描述，即求 和 。 方法1 ：一维雅可比变换。 方法2：因为 ， ，所以， 和 分别为 和 。 这样nA 1Hx0Hx 0H|x 1H|x 0H|xp 1H|xp 20n,Nn 0

10、A 0H|x 1H|x 20n,ANH|x 21n,ANH|x 2221202exp21nnAxH|xp 2221212exp21nnAxH|xp 接收信号接收信号 x ,在未作出判决前在未作出判决前,我们并不知道它是我们并不知道它是-A+n01jjHAHAHH2n2n2n即,nN(0,)(x|)N(- ,),(x|)N( ,)所以观测信号(x|,j=0,1)的生成模型及其概率密度函数p(x|,j=0,1)分别如下. 1H|xp3.2图二元信号检测统计模型 0H|xp npnxx000A A 1H|xp,j该例子说明：如果没有噪声 信源输出的某一种确知信号将映射到观测空间中的某一点 但在噪声干

11、扰的情况下映射到某一点附近的概率,它将以一定的概率映射到决定于概率密度函数p(x整个观测空间,|H )。 3.2.3合理的判决合理的判决 由由 可见可见，两种假设下，两种假设下 的统计特性是有差别的统计特性是有差别 的。的。 假设假设 为真时，为真时， ， 大于零的概率大；大于零的概率大； 于是，选定检测门限于是，选定检测门限 ，当，当 时，判决假设时，判决假设 成立（信号为成立（信号为 + A）；）； 时，判决假设时，判决假设 成立（信号为成立（信号为 A）；）； 这样，尽管我们事先并不知道接收信号这样，尽管我们事先并不知道接收信号 是属于哪是属于哪 个假设下的，但我们能够作出合理的判决。个

12、假设下的，但我们能够作出合理的判决。 jH|xpx1HnAx x假设 为真时， ， 小于零的概率大；0HnAx x0 x0 xx1H0 xx0Hx 图图 3.5 0 jH|xp 1H|xpA A x0 x0R1R 11H|HP 01H|HP 10H|HP 00H|HP 0H|xp3.2.4 3.2.4 判决结果和判决概率判决结果和判决概率 由于存在噪声由于存在噪声 ，所以有，所以有四种判决结果：四种判决结果： 假设假设 判决判决 统一地记为统一地记为 相应地有相应地有四种判决概率四种判决概率： 假设假设 判决判决 统一地记为统一地记为 20n,Nn 0H1H0H1H 00H|H 10H|H 1

13、1H|H 01H|H jiH|H10,j , i 0H1H0H1H 00H|HP 10H|HP 01H|HP 11H|HP jiH|HP10,j , i 3.2.5 最佳判决的概念最佳判决的概念 从判决概率从判决概率 来说，我们希望正确判决概率来说，我们希望正确判决概率 尽可能的高，而尽可能的高，而 错误判决概率尽可能的低。错误判决概率尽可能的低。 结合例题，结合例题， 若门限若门限 ，则，则 若门限若门限 ，则，则 可见，改变可见，改变 ，若一种假设下，出现希望的结果，若一种假设下，出现希望的结果， 但同时另一种假设下，会出现不希望的结果。这意味着但同时另一种假设下，会出现不希望的结果。这意

14、味着 存在最佳门限存在最佳门限 ，同时考虑到两种假设。这就是最佳检，同时考虑到两种假设。这就是最佳检 测的概念。这是我们本章要讨论的问题，即信号的最佳测的概念。这是我们本章要讨论的问题，即信号的最佳 检测理论。检测理论。 jiH|HP 0 x 1011H|HP,H|HP 0100H|HP,H|HP 0 x 1011H|HP,H|HP 0100H|HP,H|HP0 x0 x3.2.6 信号统计检测理论的归纳与抽象信号统计检测理论的归纳与抽象 1. 二元信号二元信号 信号模型信号模型 统计描述统计描述 最佳判决最佳判决 归结为判决域归结为判决域R的最佳划分；的最佳划分；N,knsxHkkk21 0

15、0 ，：N,knsxHkkk21 11 ，： T21Nx,x,xx 0H|xp 1H|xp 成立成立 满足满足 判决结果和判决概率判决结果和判决概率01RRR判决域01RR R01RRR0R0R1R0H成立1H 10,j , iH|Hji ， 10d,j , ixH|xpH|HPiRjji ， 2. M 元信号元信号 信号模型信号模型 统计描述统计描述 最佳判决最佳判决 归结为判决域归结为判决域R的最佳划分；的最佳划分；N,knsxHkkjkj21 ，： T21Nx,x,xx 110 M,jH|xpj， 110MRRRR110 M,j 满足满足 成立成立 判决结果和判决概率判决结果和判决概率（

16、共（共 种判决结果，其中种判决结果，其中 种种 判决是正确的，判决是正确的， 种判决种判决 是错误的。）是错误的。）ijRRRij，10MiiiR Rij ，R0R1R1 MR0H成立成立1H成立成立1 MH 110 M,j , iH|Hji，2MM1M M 110d M,j , ixH|xpH|HPiRjji， 检测准则决定了判决域的划分检测准则决定了判决域的划分; 判决域的划分体现了检测准则的性能判决域的划分体现了检测准则的性能.3.3 3.3 贝叶斯准则贝叶斯准则( (英国数学家英国数学家) ) 3.3.1平均代价的概念和贝叶斯准则平均代价的概念和贝叶斯准则 1. 平均代价平均代价C的概

17、念的概念 判决概率判决概率 是影响检测性能的因素之一；是影响检测性能的因素之一； 判决概率判决概率 对检测性能影响的大小受先验概率对检测性能影响的大小受先验概率 的控制的控制 ； 各种判决所付出的代价是不一样的，为此，我们给每种各种判决所付出的代价是不一样的，为此，我们给每种 判决赋定一个代价因子判决赋定一个代价因子 。 jiH|HP jiH|HP ）（10,jHPj 110 HPHP）（10,j , icij ： 为真，判决为为真，判决为 的代价；的代价； ： 为真，判决为为真，判决为 的代价；的代价； ： 为真，判决为为真，判决为 的代价；的代价； ： 为真，判决为为真，判决为 的代价。的

18、代价。 一般情况下：一般情况下： ， ，即错误的判决，即错误的判决代价要大于正确的判决代价。代价要大于正确的判决代价。 综合考虑上述三个因素综合考虑上述三个因素 ， ， ，我们可以求出平均代价，我们可以求出平均代价 。 jiH|HP00C0H0H0H0H01C11C10C1H1H1H1H1000CC0111CC jHP）（10,j , icij C 2. 贝叶斯准则贝叶斯准则 假设假设 的先验概率的先验概率 已知，各种判决的代价因子已知，各种判决的代价因子 指指定的情况下，使平均代价定的情况下，使平均代价 最小的准则，就是贝叶斯准则。最小的准则，就是贝叶斯准则。 3.3.2 平均代价平均代价

19、的表示式的表示式(为获得贝叶斯准则为获得贝叶斯准则) 平均代价平均代价 的基本表示式的基本表示式 假设假设 为真下的平均代价为真下的平均代价 假设假设 为真下的平均代价为真下的平均代价 考虑到假设考虑到假设 为真的先验概率为真的先验概率 , 得平均代价得平均代价 的基本的基本表示式表示式为为(平均风险平均风险) jH jHPijcC0H000001010|(3.3.1)C Hc P HHc P HH1H101011011|C Hc P HHc P HHjH jHP0011CP HC HP HC H 1100| (3.3.2)ijjijjic P HP HHCCC,|d,0, 13.3.2iij

20、jRP HHpHi jxx根据信号检测的基本概念 我们知道判决概率的求法为，代入01RRR域和域因为观测空间 划分为,对整个观测空间有1, R所以域中的积分可以表示为C这样平均代价 的分析式最后表示为 现在根据以上平均代价现在根据以上平均代价C的分析表示式的分析表示式,来来求使平均代价最小的贝叶斯准则的判决表示式求使平均代价最小的贝叶斯准则的判决表示式.3.3.3 最佳判决式最佳判决式 平均代价的分析表示式中平均代价的分析表示式中,第一项、第二第一项、第二项是固定代价，不影响项是固定代价，不影响 C 的极小化；的极小化； 第三项是与第三项是与 判决域判决域 有关的可变项。当有关的可变项。当 已

21、知，已知， 赋定情况下，如何划分判决域才能使平均代价赋定情况下，如何划分判决域才能使平均代价 最小。最小。 第三项中，被积函数的两项各自为正函数；第三项中，被积函数的两项各自为正函数； 积分域为判决假设积分域为判决假设 成立的判决域；成立的判决域； 这样，当这样，当 时，判决假设时，判决假设 成立；反之，判决假设成立；反之，判决假设 成立。即成立。即 于是，归纳、整理得最佳判决式为于是，归纳、整理得最佳判决式为 101111010000|P HccpHP HccpHxx ，ijjcHP0R jHPijcC0H 000100111011H|xpccHPH|xpccHP 0H1H defdef11

22、011001000101 ccHPccHPH|xpH|xpxHH1H0H上式称为上式称为似然比检验判决式。似然比检验判决式。 似然比函数似然比函数 ，是假设，是假设 下，下， 的统的统计特性的似然函数计特性的似然函数 与与 之比，它与之比，它与 、 无关；它是一维、非负的随机变量函数；无关；它是一维、非负的随机变量函数；它是检验统它是检验统计量。计量。 似然比门限似然比门限 ，它由，它由 、 决定，决定，以达到始终使平均代价以达到始终使平均代价 最小的目的。最小的目的。 最佳判决式的化简最佳判决式的化简 似然比检验判决式是可以化简的。化简的目的：使判决式似然比检验判决式是可以化简的。化简的目的

23、：使判决式最简单，最简单， 容易实现，便于性能分析。容易实现，便于性能分析。 01defH|xpH|xpx ）（10,jHj x 1H|xp 0H|xp jHPijc 1101100100defccHPccHP jHPijcC defdef11011001000101 ccHPccHPH|xpH|xpxHH 若若 含有指数，则判决式两边可取自然对数，形成含有指数，则判决式两边可取自然对数，形成 对数似然比检验，表示为对数似然比检验，表示为 分子、分母可相约，可移项，乘系数等。最终化简为分子、分母可相约，可移项，乘系数等。最终化简为 或或 我们称我们称 为为检验统计量检验统计量，它是，它是 的最

24、简函数；的最简函数； 为为检检 测门限。测门限。 x lnln10HHx 10HHxl 10HHxl xlx defdef11011001000101 ccHPccHPH|xpH|xpxHH结论：1. 贝叶斯准则最终归结为似然比与门限进行比较或检验统计量与检测门限进行比较。2. 把N维空间的判决问题转化为一维空间的判决问题。10HAH;TTNkk2n2n例3.3.1 在二元数字通信系统中,假设为时,信源输出为常值正电压 ,假设为时,信源输出为零电平 信号在通信系统传输过程中叠加了高斯噪声n(t),每种信号的持续时间为(0, );在接收端对接收到的信号x(t)在(0, )时间内进行了 次独立采样

25、,样本为x (k=1,2.N).已知噪声样本n 是均值为零,方差为的高斯噪声.(1)建立信号检测系统的信号模型；N(0,)(2)若01PHPH11似然比检测门限 已知,确定似然比检验的判决表示式;(3)计算判决概率 (H|), (H|). defdef11011001000101 ccHPccHPH|xpH|xpxHH0101:(1)( )( )( )( )(0,T)N,1212,0,NkkkkkkkHx tn tHx tAn tHxnkNxHxAnkNxAxx2n2n2kn解根据二元数字通信系统的信号形式和信号检测处理方式,我们可以建立信号模型,分别在两个假设下,接收信号分别为：经时间内的

26、次采样 信号为：， ， ，N(0,)：， ， ，N(A,)式子中nN(0,), 之间相互统计独立.对 个独立样本,k进行处理后 与检测门限相比较 就可以作出信号属于哪个状态的判决.图图3.7 3.7 二元信号检测系统模型二元信号检测系统模型1 22221 220221 221221exp(-)22,01|exp()221|exp()22N,(12xxkknnkkknnkknnknp nxxpHxApHx k2kn第二步求判决表达式(2)因为噪声样本nN(0,),易得其概率密度函数为同理 在两个假设下 观测信号 的概率密度函数,即通常所说的似然函数分别为考虑 次采样 观测信号， ， ,),NN是

27、独立同分布的,所以 两个假设条件下维观测矢量的概率密度函数分别为 220022112211221121221001|exp221|exp22,|exp|2xxxxxxxxNNNkkkknnNNNkkkknnNkknnxpHpHxApHpHpHANAxpH这样 由定义知道似然比函数为 1010102221222121,exp2ln21ln2NHHkknnNHHkknnNHnHkkANAxANAxAlxNNAx于是 似然比检验为两边取自然对数得化为最简判决式为 11,.xNkkkkllxxxN经过上面的化简,信号检测的判决式表示由似然比检验形式简化为检验统计量(x)与检测门限 相比较作出判决的形式

28、,检验统计量是观测信号 的数学期望 它是 的函数,是个随机变量 1001,( ),|,|,| xHHijlll xp l Hp l HP HH第三步,计算判决概率(3)由(2)得到的判决表示式的最简形式可以看出 检验统计量是个随机变量 它与检测门限 比较作出各种判决 所以为了计算判决概率,首先求得检验统计量(x)在两个假设下的概率密度函数然后根据判决式在相应区间的积分来求 111|.,1xxNkkkNkjkplxNxlxHNll因为检验统计量为因此,在两个假设下 都是相互统计独立的高斯随机变量,所以也是相互统计独立的高斯随机变量.因此只要求得在两种假设条件下(x)的均值和方差,就能得到检验统计

29、量的概率密度函数011212kkkkkkHxnkNxHxAnkNx2n2n：， ， ，N(0,)：， ， ，N(A,) 0110 NkknNEH| lE 2120101(nNkkNnNEH| lVar 11xNkklxN和和这样这样于是，根据最佳判决式，判决概率于是，根据最佳判决式，判决概率为 AnANEH| lENkk 111 21211)1(nNkkNAnANEH| lVar 1 22022|exp22nnNNlp l H 2221212)(exp2nnAlNNH| lp 令式中式中 ，是功率信噪比。，是功率信噪比。 10d,j , ixH|xpH|HPiRjji ， lH| lpH|HP

30、d001 lNlNnANAnnd2exp222212ln22 uunnANANd2exp212212ln 2lnddQ 222nNAd uuuQud2exp2122100 upu00uQ 0uQnNlu类似地，有类似地，有 这说明，在这说明，在 一定的条件下，功率信一定的条件下，功率信噪比噪比 越大，检测性能越好。越大，检测性能越好。 lH| lpH|HPd111 2lnddQ 01H|HP2d dH|HPQQ 01100 :1C1 xnxn1100101102n1例3.3.2 在二元数字通信系统中,假设检验的观测模型为H H: 其中n是均值为零,方差为的高斯观测噪声.若两种1假设是等先验概率的,即P(H )=P(H )= ,且代价因子为2c =1,c =4,(1)求最佳贝叶斯判决表示式;c =2;(2)求c =平均8.1/2代价=.01:1(1,)211(1,)2 xnxNxnxN1HH : 122110221(1)exp1122|22exp(4 )|1(1)exp112222xxxxpHxpHx解: 贝叶斯准则的似然比函数为10100100010111,1(4 11exp 4)1212