1-1复数与复平面解析

1、zPN微积分的部分建立者微积分的部分建立者 1、笛卡儿 ， 费马，费马， 约瑟夫约瑟夫拉格朗日，拉格朗日， 柯西，柯西， 罗必塔，罗必塔， 泰勒泰勒 2、牛顿， 莱布尼茨 ， 黎曼，黎曼， 高斯，高斯， 阿贝尔，阿贝尔， 达朗贝尔达朗贝尔3、傅立叶，傅立叶， 欧拉，欧拉， 维尔斯特拉斯，维尔斯特拉斯， 伯努利家族伯努利家族 ，微积分是什么？微积分是什么？ 初等数学研究：常量；静止、有限、近似；初等数学研究：常量；静止、有限、近似；微积分学研究：变量；运动、无限、精确。微积分学研究：变量；运动、无限、精确。微积分学微积分学任务任务：研究初等函数。：研究初等函数。微积分学微积分学元素元素: 极限、

2、连续、导数、积分。极限、连续、导数、积分。实变函数与复变函数实变函数与复变函数实变函数实变函数( (高等数学高等数学) )主要内容主要内容微积分微积分(一元、二元、多元一元、二元、多元)级数理论级数理论常微分方程常微分方程本质核心之一：有限到无穷（极限）l实数列的极限l实函数的连续l实函数的积分l实函数的微分l实级数、实函数项级数的收敛思考：为什么必须是实数，能是其他的吗？比如是复数 z=x+yi或三元数高等数学中的多元微积分l相关概念的推广，要求加强；l相关结果的推广，计算复杂程度剧增。l以二元函数的情形为例：积分有曲线积分和曲面积分，微分有全微分和偏微分- 场论中的S-公式,O-G公式G-

3、公式 思考:能否把多元函数形式上看出单变量的?如果能,有没有优势?数学的追求:应用更广泛,理论更完善,形式更简洁实数与复数l任意两个实数都可以比较大小,几何直观是实数轴l一般来讲,两个复数是不能比较大小的,比如 i和0,几何直观是复平面l将y=f(x)推广为w=f(z),相关概念的定义从形式上看基本是一样的,但所蕴含的信息可能相差甚远.l要求大家学习时,求同存异.实积分与复积分l已经学了二元微积分,还学复积分?类似于小学好多难题不用列方程都能解,还有学方程么?lf(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)l强行把z=x+yi视为一个整体,学习之初,想法转变有些难度,学完之后,理论的应用方便快捷

4、. 例如 但它俩都是无界函数l函数的极限,在实数轴上,x趋于x0,只有左右两侧; 在复平面中,z趋于z0,路径有无穷种情形,后者要求实际上是非常强的l函数的可积和可微,在这种极限存在的条件下,结论自然就更好看了22sincos1zzl在某区域内处处可微的复函数是无穷次可微的,实函数可以处处连续且处处不可微lf(x,y)=u(x,y)+i v(x,y)可微,则u,v都可微,但逆明确是不成立的.与高等数学中结论不同l实函数项级数的和函数未必连续,或可导.复函数项级数是内闭一致收敛的,和函数自然是可导的.l在假定所求函数是处处可微的前提下,已知函数在某些点或定义域的某一子集上的值,能否唯一确定该函数

5、?在实函数情形时,这个很难,一般要求是稠密子集,在复函数情形,只要该子集有极限点,答案是唯一的.这就是解析函数的唯一性定理l非负实函数的积分,有下方图形面积的直观,复函数的积分很难想象.lRoll定理在复函数论中不成立,与之相关的各种中值定理基本上都不成立;由于可积的定义要求更强,积分计算也有了更有力的工具:柯西定理,留数定理等l我们可以利用复积分来处理在高等数学或工作中遇到的,明明知道积分或广义积分是存在的,就是得不到精确解的问题.2,110nndxxnN计算2001sin,1sinxddxxl复变函数论（Theory of Complex Variable Functions），又称复分析

6、（Complex Analysis），产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等数学家都为创建这门学科作出许多基础性的研究工作。十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，三位杰出的数学家Cauchy、Weierstrass和Riemann等为这门学科的发展作了大量奠基性工作。复变函数论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且成为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出

7、了重要贡献。我国老一辈数学家在复变函数理论的研究中也做出了重要的贡献，著名数学家华罗庚、陈建功、 杨乐等，他们在国际数学界也享有很高的声誉。 l 复变函数理论发展到今天已经有一百多年的历史，是一门相当成熟的学科，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科。更重要的是，它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。课程基本介绍课程基本介绍课程名称：课程

8、名称：复变函数与积分变换复变函数与积分变换开课学时：开课学时： 48 学时学时考核方式：考核方式： 30分平时成绩（考勤分平时成绩（考勤+作业）作业） 70分卷面成绩（期末考试）分卷面成绩（期末考试）答疑时间及地点：答疑时间及地点：研究对象研究对象 复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射，积分变换等。保形映射，积分变换等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、

9、解析函数、课程基本介绍课程基本介绍学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。要注意复数域上特有的那些性质与结果。复变函数的发展过程复变函数的发展过程复数是十六世纪人们在解代数方程时引复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在

10、十八大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的接受的“虚数虚数”。 直到十八世纪，直到十八世纪，J.DJ.DAlembert(1717-Alembert(1717-1783)1783)与与L.Euler(1707-1783)L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并

11、且应用复数和复变函数研究了流的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。展。复变函数的发展过程复变函数的发展过程复变函数的发展过程复变函数的发展过程1774年，年，欧拉欧拉在他的一篇论文中考虑了由在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。比他更早复变函数的积分导出的两个方程。比他更早时，法国数学家时，法国数学家达朗贝尔达朗贝尔在他的关于流体力在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来

12、人们提到这两个方程，把它们叫做来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗达朗贝尔贝尔-欧拉方程欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个。到了十九世纪，上述两个方程在方程在柯西柯西和和黎曼黎曼研究流体力学时，作了更研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯柯西西-黎曼条件黎曼条件”。复变函数论的全面发展是在十九世纪，复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论世纪的数学。当时的

13、数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。谐的理论之一。复变函数的发展过程复变函数的发展过程二十世纪以来，复变函数已被广泛地二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。切。复变函数的发展过程复变函数的发展过程 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第

14、一讲第一讲 复数及复平面复数及复平面学习要点学习要点掌握复数的意义及代数运算掌握复数的意义及代数运算掌握复平面与复数的表示方法掌握复平面与复数的表示方法掌握复数的乘幂与方根掌握复数的乘幂与方根 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1 复数及其代数运算复数及其代数运算2 , 1,xyzxiyzxyiii 对对任任意意两两实实数数 、称称或或为为复复数数。其其中中称称为为虚虚单单位位。1. 复数的概念复数的概念 复数复数z 的实部的实部 Re(z) = x ; 虚部虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)22 |0zxy复

15、复数数的的模模： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换A 一般一般, , 任意两个复数不能比较大小。任意两个复数不能比较大小。121212111222,zzxxyyzxiy zxiy其其中中复数相等复数相等0Re( )Im( )0zzz2. 四则运算四则运算 z1=x1+iy1与与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：的和、差、积和商为： z1z2=(x1x2)+i(y1y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2) 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换复数的运算满足加法交换律、结

16、合律；复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。乘法交换律、结合律和分配律。111222zxiyzxiy 1212211222222 (0)x xy yi x yx yxyz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 共轭复数的性质共轭复数的性质12121) (),zzzz1212(),z zz z 11222(),0zzzzz2)zz 22223)Re( )Im( )zzzzxy4)2Re( ), 2 Im( )zzzzziz定义定义 若若z x + iy , 称称 z x iy 为为z 的共轭复数的共轭复数.(conjugate)3. 共轭复数

17、共轭复数 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2(21)3,.xiyxy izxiy已已知知求求例例11122255 ,34 ,(),1.zzzi zizz 设设求求及及它它们们的的实实部部虚虚部部例例4121ii 例例求求 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1255771:34555ziiizi 解解11122255 ,34 ,(),1.zzzi zizz 设设求求及及它它们们的的实实部部虚虚部部例例1271()55ziz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1 1iii 解解：4121ii 例例求求

18、441( )11iii 2(21)3,.xiyxy izxiy已已知知求求例例211xxx 由由解：解：210yyyy或或11zzi 所所以以或或 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换2 复数的几何表示复数的几何表示( , ),zxiyx y易易见见，一一对对实实数数( , )( , )Px yzxiyP x y在在平平面面上上取取定定直直角角坐坐标标系系，点点一一对对实实数数平平面面上上的的点点().zxiyxyP所所以以复复数数可可用用平平面面上上坐坐标标为为 ，的的点点 表表示示1. 点的表示点的表示横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；横坐标轴称为实轴，纵坐

19、标轴称为虚轴；复平面一般称为复平面一般称为z-平面，平面，w-平面等。平面等。 ()zxiyP xy复复平平面面上上的的点点， 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换() , zxiyp xyopx y 因因为为点点，22 | |,zoprxy 向向量量的的长长度度, ,复复数数的的模模：2. 向量表示法向量表示法opzxiy 所所以以可可用用向向量量表表示示。()Arg(, )Argumentzop x 记记作作向向量量与与正正实实轴轴之之复复数数的的幅幅角角：间间的的夹夹角角rz oxy(z)P(x,y)xy tan(Arg )yzx A z=0z=0时，幅角无

20、意义。时，幅角无意义。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换幅角无穷多：幅角无穷多：Arg z=0+2k， kZ，000Arga.rgzz 幅幅角角的的主主值值满满足足的的称称为为记记作作arctan0,arg0,0 2arctan0,0yxyRzxzxyzyxyzx ，（ 在在一一、四四象象限限），（ 在在虚虚轴轴），（ 在在二二、三三象象限限） 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换F 当当z落于一落于一,四象限时，不变。四象限时，不变。 F 当当z落于第二象限时，加落于第二象限时，加 。 F 当当z落于第三象限时，减落于第三象限时

21、，减 . arctan22yx 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换根据向量的运算及几何知识，我们可以得到根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式两个重要的不等式 2121zzzz2121zzzzoxy(z) z1z2 z1+z2oxy(z) z1z2z2- z1 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换(cossin )zricossinxryr 由由得得:cossiniEulereiz 再再由由公公式式可可得得非非零零复复数数 的的指指数数表表示示式式: : izre 3. 三角表示法三角表示法可以用复数的模与辐角来表示

22、非零复数可以用复数的模与辐角来表示非零复数z4. 指数表示法指数表示法izre ryox 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换,.21)1 2)1iii 求求下下列列复复数数的的模模 辐辐角角及及辐辐角角主主值值例例1例例21)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 设设为为两两复复数数, , 证证明明例例3 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换,.21)1 2)1iii 求求下下列列复复数数的的模模 辐辐角角及

23、及辐辐角角主主值值例例1(0, 1, 2,)k (0, 1, 2,)k 12, arg( 1)4ii ( 1)(21) ,4Argik 解：解：2(1)12,1ii iii 21argarg(1)14iii 21rg2,14iAki 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式1)1244rz23argarctan()arctan312566z 故故56554cos()sin()466izie 于于是是例例2解：解： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分

24、变换复变函数与积分变换1)1222)sincos55zizi 将将下下列列复复数数化化为为三三角角表表示示式式和和指指数数表表示示式式222)sincos155rz310sincos55cos()sin()2525iziie 故故例例2解：解： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换221212zzzz_1212121)()()z zz zz z 1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 设设为为两两复复数数, , 证证明明例例3证明：证明：12121122z z z zz z z z 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换

25、21212122)()()zzzzzz22221212121222zzz zzzzz1212zzzz即即1212121212,1)2)z zz zzzzzzz 设设为为两两复复数数, , 证证明明例例3证明：证明：2212122()ezzR z z11221221z zz zz zz z1212()()zzzz212()zz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换ONzP4. 复球面与无穷远点复球面与无穷远点球极平面射影法球极平面射影法取一个在原点取一个在原点O与与z平面相切的球面，过平面相切的球面，过O点点作作z平面的垂线与球面交于平面的垂线与球面交于N点（称为北

26、极或点（称为北极或者球极）。者球极）。对于平面上的任一点对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它用一条空间直线把它和球极连接起来，交和球极连接起来，交球面于球面于P。不不包包括括北北极极点点的的球球面面复复平平面面Pz 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换从几何上可以看出：从几何上可以看出：z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈上的某一个纬圈;“”N 由由此此我我们们引引进进一一个个理理想想 点点 与与北北极极对对应应, ,称称之之为为无无穷穷远远点点 扩扩充充复复平平面面复复平平面面N这个圆周以外的点则对应于

27、相应纬圈以北的这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则的模越大，球面上相应的点则越靠近北极越靠近北极N。 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换,zz 规定规定 无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义0,0,0 无无意意义义0,0aaaaa 当当时时， 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根1. 复数的乘积与商复数的乘积与商利用复数的三角表示，我们可以更简单的利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法表示复

28、数的乘法与除法1 212| |z zzz 则则，1 212()Arg z zArgzArgz 集合相等集合相等1()11111|(cossin) |i ArgzzzArgziArgzze2()22222|(cossin) |i ArgzzzArgziArgzze 12,z z设设是是两两个个非非零零复复数数，定理：定理： 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换11222(0),zzzzz 1122()zArgArgzArgzz 对除法，有对除法，有 将复数将复数z1按按逆时针逆时针方向旋转一个角度方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到再将其伸缩到|z2|倍。倍。1

29、 oxy(z)1z2 z1z22 z2乘法的几何意义乘法的几何意义 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换1212.zzi 已已知知正正三三角角形形的的两两个个顶顶点点为为和和，求求它它的的另另一一个个顶顶点点例例13121(cossin)()33zzizz13()(1)22ii2z21zz 1zyx1 21 31 33z zz zz z 将将向向量量逆逆时时针针旋旋转转后后得得到到的的向向量量或或的的终终点点即即为为所所求求. .解：解：1313()()2222i3z3 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换33313()()2222z

30、i 所所以以3 同同理理，若若转转角角为为，可可得得2z21zz 1zyx3z 3 33313()()2222zi 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换nnzzzn个个相相同同复复数数 的的乘乘积积成成为为 的的 次次幂幂(cossin)nnnnirnzzizr enz 2. 复数的乘幂复数的乘幂|1(cossin)nzrznin特特别别地地：当当时时cossincossinnniin()()则有：则有：德摩弗德摩弗 (De Moivre)公式公式1,nnzz 令令则则cos()sin()nnninzrninre 哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换复变函数与积分变换innzrenwzwznwz 设设为为