1-1集合和函数

1、集集 合合小结小结 思考题思考题 作业作业函函 数数第一章第一章 函数函数第一节第一节 集合与函数集合与函数( set )( function )一、集合1.1.集合集合: :具有某种特定性质的事物的总体具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的组成这个集合的事物称为该集合的元素元素.,21naaaA 所具有的特征所具有的特征xxM 有限集有限集无限集无限集,Ma ),(MaMa规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.不含任何元素的集合称为不含任何元素的集合称为空集空集. .).(记作记作2.2.区间区间: :是指介于某两个实数之间的全体实数是指介于某两个实数之间的

2、全体实数.这两个实数叫做区间的端点这两个实数叫做区间的端点.,baRba且bxax 称为开区间称为开区间,),(ba记作记作bxax 称为闭区间称为闭区间,ba记作记作oxaboxabbxax bxax 称为半开区间称为半开区间,称为半开区间称为半开区间,),ba记作记作,(ba记作记作),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限区间有限区间无限区间无限区间区间长度的定义区间长度的定义: :两端点间的距离两端点间的距离(线段的长度线段的长度)称为区间的长度称为区间的长度.3.3.邻域邻域: :. 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心

3、点点a.叫叫做做这这邻邻域域的的半半径径 . )( axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a. axx)a(U 00,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 6 开区间开区间开区间开区间),(aa ,邻域邻域左左 ),( aa.邻域邻域右右 称为称为a的的称为称为a的的4. 逻辑符号逻辑符号 在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号. 、 “ ”表示表示 “任取任取” , 或或 “任意给定任意给定”.“ ” 表示表示 “存在存在 ”,“至少存在一个至少存在一个”, “能够找到能够找到”. 如如实数的阿基米德实数的阿基米德 (Archmed

4、) 公理是这样公理是这样叙述的叙述的:任意给定两个正的实数任意给定两个正的实数 a,b,都存在一个都存在一个自然数自然数n,. bna 使使得得用逻辑符号用逻辑符号, 和和将将阿基米德阿基米德公理改写公理改写: . bna 使使得得 , 0, ba,Nn Any(每一个每一个)或或All(所有的所有的)的字头的字头A的倒写的倒写Exist(存在存在)的的 字头字头E的倒写的倒写81.常量常量(constant quantity)与变量与变量(variable)注注二、函数二、函数(function)而是相对而是相对“过程过程”而言的而言的.常量常量; ; 变量变量. .在某过程中数值保持不变的

5、量称为在某过程中数值保持不变的量称为而在过程中数值变化的量称为而在过程中数值变化的量称为一个量是常量还是变量一个量是常量还是变量, 不是绝对的不是绝对的,常量与变量的表示方法常量与变量的表示方法:通常用字母通常用字母 a, b, c等表示常量等表示常量, 用字母用字母 x, y, t等表示等表示变变量量.9 定义定义 设有两个变量设有两个变量x和和y,自变量自变量因变量因变量定义域定义域(domain)记作记作变量变量y的取值的的取值的集合称为函数的集合称为函数的值域值域(range), ,即即.),(|DxxfyyW 变量变量x的变化域为的变化域为D,如果对于如果对于D中的每一个中的每一个x

6、值值, 按照一定的法则按照一定的法则, 变变量量y总有唯一的数值与之对应总有唯一的数值与之对应, 则称变量则称变量y为变量为变量x的的函数函数(function), ,2. 函数概念函数概念),(xfy ,Dx 10注注(1) 函数的记号函数的记号: 除常用的除常用的f 外外,可任意选取可任意选取,如如 、Fg相应地相应地, 函数可记作函数可记作:),(xgy 等等,)(),(xyxFy 等等,也可记作也可记作:y)(x y在同一个问题中在同一个问题中, 讨论到几个不同的函数时讨论到几个不同的函数时,则必须用不同的记号分别表示这些函数则必须用不同的记号分别表示这些函数, 以示区别以示区别.11

7、(2) 对应的函数值对应的函数值y总是唯一的总是唯一的,否则称为否则称为如如xy 是多值函数是多值函数,它的两个单值支是它的两个单值支是:,xy 单值函数单值函数, ,多值函数多值函数. .约定约定:.xy 今后今后无特别说明无特别说明时时, 函数是指单值函数函数是指单值函数.这种函数称为这种函数称为(3) 构成函数的构成函数的xyxylg2lg2 、是是两个不同的函数两个不同的函数.(因为定义域不同因为定义域不同).如如定义域定义域Df与对应法则与对应法则 f .两个要素两个要素:,Dx 对对约定约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值的一切实

8、数值.21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D即即简称函数表示法的简称函数表示法的(4)无关特性无关特性. .xut )()()(fff 函数的表示法只与定义域和对应法则有关函数的表示法只与定义域和对应法则有关,而与用什么字母无关而与用什么字母无关,13例例 求下列函数的定义域求下列函数的定义域:)16(log)1(2)1(xyx )12ln(2712arcsin)2(2 xxxxy解解 )1().4 , 2()2 , 1(022 xx.2 , 1()1 ,21(01 x11 x1712 x定义域是定义域是定义域是定义域是012 x0162 x )

9、2(112 x14例例 某商店对一种商品的售价规定如下某商店对一种商品的售价规定如下: 购买量购买量 )(xfy50 x105 x10 xx8 . 058 . 0 有些函数有些函数 58 . 0分段函数分段函数. .)10(4 . 0 x)5(6 . 0 x称为称为函数关系也不同函数关系也不同,除了可用除了可用一个数学式子表示函数一个数学式子表示函数外外,随着自变量取不同的值随着自变量取不同的值,这种函数这种函数不超过不超过5千克时千克时, 每千克每千克0.8元元; 购买量大于购买量大于5千克而不千克而不超过超过10千克时千克时, 若购买若购买 x 千克的费用记为千克的费用记为 f (x),

10、则则购买量大于购买量大于10千克时千克时, 超过超过10千克部分每千克千克部分每千克0.4元元, 56 . 0 x6 . 01 x4 . 03 元元;在自然科学、工程技术和经济学中在自然科学、工程技术和经济学中,经常会遇到分段函数的情形经常会遇到分段函数的情形.其中超过其中超过5千克部分优惠价每千克千克部分优惠价每千克0.6xyO51015 用分段函数表示函数用分段函数表示函数,13 xy分段函数在其整个定义域上是一个函数分段函数在其整个定义域上是一个函数,答案答案: 1),1(31),1(3xxxxy即即 1,41,2xxxxy注注而不是几个函数而不是几个函数!13.xyO并画出并画出其图形

11、其图形. 2 4几个今后常引用的函数几个今后常引用的函数绝对值函数绝对值函数（1） | xy, 0 x0 x ,x,x 定义域定义域),( D值域值域)., 0 fRxyO| xy xyO符号函数符号函数 xysgnxxx sgn 定义域定义域),( D值域值域.1 , 0 , 1 fR对对（2）, 0 x,1, 0 x,00 x,1 11 ,Rx 有有或或.sgn|xxx (3) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线x 定义域定义域),( D值域值域.整数整数

12、fR 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(4) 狄利克雷函数狄利克雷函数 定义域定义域),( D值域值域.1 , 0 fR(5) 取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg例例.)3(,212101)(的定义域的定义域求函数求函数设设 xfxxxf解解 23121301)3(xxxf 212101)(xxxf 122231xx1, 3 : fD故故1.有界性有界性 (bounded)设函数设函数y=f(x)在区间在区间I上有定义上有定义,Axf

13、)(则说则说 f(x) 在区间在区间I上上有上有上 界界.),)(Bxf (下下), Ix 使得对所有使得对所有若存在若存在常数常数A都有都有(B),三、函数的特性 若存在常数若存在常数使得对所有使得对所有, Ix Mxf )(则称则称 f(x) 在在I上上有界有界. 在在 I上上无界无界;MxfM )(, 0 M都有都有 若这样的若这样的M 不存在不存在, 则称则称 f(x)即为对于任何即为对于任何, 0 M 总存在总存在,0Ix ,)(0Mxf 使使则称则称 f(x)在在 I上上无界无界.有界有界无界无界xyOab)(xfMM ,baI xyO20 xMxy1 )2 , 0( I在定义域上

14、有界的函数叫做在定义域上有界的函数叫做例例xysin 是有界函数是有界函数;xy1 是无界函数是无界函数, 但它在区间但它在区间 上上), 0( 在区间在区间 上上), 1( 注注 一定要把区间明确出来一定要把区间明确出来!不是有界函数不是有界函数, 就是无界函数就是无界函数.显然显然,(bounded function)有界函数有界函数. .有界等同于既有上界又有下界有界等同于既有上界又有下界.有下界有下界,有界有界.2函数的单调性函数的单调性:,)(DIDxf 区区间间的的定定义义域域为为设设函函数数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ;)(上上是

15、是单单调调增增加加的的在在区区间间则则称称函函数数Ixf),()()1(21xfxf 恒有恒有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的上是单调减少的在区间在区间则称函数则称函数Ixf,)(DIDxf 区间区间的定义域为的定义域为设函数设函数,2121时时当当及及上任意两点上任意两点如果对于区间如果对于区间xxxxI ),()()2(21xfxf 恒有恒有 注注 应指明单调区间应指明单调区间, 否则会产生错误否则会产生错误. 3函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf yx

16、)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(为偶函数为偶函数称称xf有有对于对于关于原点对称关于原点对称设设,DxD )()(xfxf ;)(为奇函数为奇函数称称xf奇函数奇函数)( xf yx)(xfox-x)(xfy )1ln()1(2 xxy为为是判别是判别)(0)()(xfxfxf 判别给定函数的奇偶性判别给定函数的奇偶性,解题解题提示提示奇奇函数函数的的有效方法有效方法.判别下列函数的奇偶性判别下列函数的奇偶性:)2111)()2( xaxFy.)(, 1, 0为奇函数为奇函数其中其中xFaa 奇奇函数函数偶函数偶函数有时也用其运算性质有时也用其运算性质.主要是根据主要是根据奇偶性

17、的定义奇偶性的定义,4函数的周期性函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.2l 2l23l 23l,)(Dxf的定义域为的定义域为设函数设函数如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的)()(xflxf 且且为周为周则称则称)(xf.)( ,DlxDxl 使得对于任一使得对于任一数数.)(,的周期的周期称为称为期函数期函数xfl.恒成立恒成立例例 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)函数函数 )(xDy,Qx .CQx , 1, 0狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(当当x是有理函数时是有理函

18、数时)(当当x是无理函数时是无理函数时)这是一个这是一个周期函数周期函数, 任何正有理数任何正有理数r都是它都是它的的周期周期.因为不存在最小的正有理数因为不存在最小的正有理数,所以没有所以没有最小正最小正周期周期.1. 函数的四则运算函数的四则运算设函数设函数)(),(xgxf的定义域分别为的定义域分别为,21DD21DDD , 则可定义这两个函数的下列运算则可定义这两个函数的下列运算:和和( (差差) ) )(xgf:gf ;Dx 积积:gf )(xgf;Dx 商商:gf )(xgfDx 且且; 0)( xg),()(xgxf ),()(xgxf ,)()(xgxf四、函数运算四、函数运算

19、33).(1xfy 设函数设函数 y = f (x)的值域为的值域为W,则称变量则称变量x为变量为变量y的函数的函数,记为记为定义定义2.反函数反函数(inverse function)如果对于如果对于W中任一中任一 y值值,从关系式从关系式 y = f (x)中可确定唯一的一个中可确定唯一的一个).(1yfx )(1yf 称为函数称为函数y =f (x)的的反函数反函数, ,习惯上习惯上 y = f (x) 的的反函数记为反函数记为x值值,34求反函数的步骤求反函数的步骤求函数的反函数求函数的反函数 y = f -1-1(x).(1) 把把x从方程从方程 y = f (x)中解出中解出;(2

20、) 把刚才所得的表达式中的把刚才所得的表达式中的x与与y对换对换,即得所即得所注意注意(1) y = f (x)的的图形与其反函数图形与其反函数 x = f -1-1(y)的的图形图形y = f (x)的的图形与其反函数图形与其反函数 y = f -1-1(x)的的图形图形关关xy 直线直线对称对称.(2) 只有只有一一对应的一一对应的函数函数才有才有反函数反函数.重合重合;于于 yx)(xfy 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(xy 反函数反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 如如xy10 其反函数为其反函数为yxlg 指数函数

21、指数函数),( 定义域为定义域为值域为值域为);,0( 写成写成xylg Oxyxy 1xy10 1xylg 注注并不是所有函数都存在反函数并不是所有函数都存在反函数.2xy 如如 函数函数),( 定义域为定义域为值域为值域为);,0 但对但对), 0( y都有两个都有两个yx 1和和yx 2与之对应与之对应, x不是不是y 的函数的函数,2xy 不存在反函数不存在反函数.并称为对数函数并称为对数函数.,uy 设设,12xu 21xy 定义定义: 设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD, 而函数而函数)(xu 的值域为的值域为 Z, 若若 ZDf, 则称则称函数函数)(xfy 为为x的的

22、复合函数复合函数.,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y3. 复合函数复合函数注意注意: :1.不是任何两个函数都可以复合成一个复不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成.,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv 3. 反过来反过来, 一个复杂的函数根据需要也可以一个复杂的函数根据需要也可以分解为若干简单函数的复合分解为若干简单函数的复合.39,e211xy ,e y,1 u.12xv 复合函数的分解复合函

23、数的分解(复合函数拆成几个简单函数复合函数拆成几个简单函数), 由函数的最外层运算一层层剥到最由函数的最外层运算一层层剥到最里边里边, 切不可漏层切不可漏层.如如uvu,v 都是中间变量都是中间变量.复合函数的定义域是复合函数的定义域是, 12 x即即)., 1()1, 1()1,(剥皮法剥皮法例例解解,01)( QxQxxD设设.)().21(),57(的性质的性质并讨论并讨论求求xDDDD , 1)57( D, 0)21( D, 1)( xDDoxy1(1) 幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy 定义域与定义域与 的取值有关的取值有关. 五五. 初等函数初等函数(basic element

24、ary function)1.基本初等函数基本初等函数xyO11)1 , 1(xy 2xy xy1 xy (2)、指数函数、指数函数)1, 0( aaayxxay xay)1( )1( a)1 , 0( xey (3)、对数函数、对数函数)1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( (4)、三角函数、三角函数正弦函数正弦函数xysin xysin 定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 xycos xycos 余弦函数余弦函数定义域为定义域为),( 值域为值域为.1 , 1 正切函数正切函数xytan xytan 定义域定义域 Z,2

25、12 nnx值域值域).,(xycot 余切函数余切函数xycot 定义域定义域Z, nnx值域值域).,(正割函数正割函数xysec xysec xycsc 余割函数余割函数xycsc 50(5) 反三角函数反三角函数(inverse trigonometric function)xyarcsin xysinArc 定义域定义域值域值域,1 , 1 .2,2 主值主值反正弦函数反正弦函数xyO22 11 反三角函数都是多值函数反三角函数都是多值函数.但是但是,可以选取这些函数的可以选取这些函数的单值支单值支.51xyarccos 定义域定义域值域值域,1 , 1 ., 0 主值主值反余弦函数

26、反余弦函数xycosArc xyO11 52xyarctan 主值主值定义域定义域值域值域),(.2,2 反正切函数反正切函数xytanArc xyO2 2反余切函数反余切函数xyArccot xyO2 主值主值xycotarc 定义域定义域值域值域),()., 0( 幂函数、指数函数、对数函数、三角幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为函数和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.532.初等函数初等函数(elementary function)初等函数初等函数. .如如)11ln(8sin3222 xaxyx)3ln(1xy 都是初等函数都是初等函数. 7 !75 ! 5

27、3 ! 3753xxxxy不是初等函数不是初等函数., 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算由常数和基本初等函数经过有限次四则运算(加、减、乘、除加、减、乘、除)和有限次的函数复合步骤所构和有限次的函数复合步骤所构成并可用成并可用一个式子表示一个式子表示的函数的函数, 称为称为注注一般分段函数不叫初等函数一般分段函数不叫初等函数,0,0, xxxxy如如 可看作分段函数可看作分段函数,是否又可看作是初等函数是否又可看作是初等函数?答答: 0,0,xxxxy2|xx 故又可看作是初等函数故又可看作是初等函数.是是!由于由于不是用不是用一个式子一个式子表达出来的表达出来的.因为它因为它例例).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求设设解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20时时当当 x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x综上所述综上所述.2, 120011, 2,)(212