八个无敌模型

1、八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1方法:ab2c2，即2R找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）a2b2c2，求出R例1A.例1A.（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为16B.20C.24体积为16，则这个球的表面积是（.32(2)(2)若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为则其外接球的表面积是解:16,a222,4Ra2h2441624，S24，选C；(2)4R2334R29(3)在正三棱锥SABC中,M、N分别是棱SC、BC的中点，且A

2、MMN,若侧棱SA2、3则(3)题-1C(3)题-2正三棱锥SABC外接球的表面积是。36解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD,AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC,SHAB,ACBC,ADBD,CDAB,AB平面SCD,ABSC,同理：BCSA,ACSB,即正三棱锥的对棱互垂直,本题图如图(3)-2,AMMN,SB/MN,AMSB,ACSB,SB平面SAC,SBSA,SBSC,SBSA,BCSA,SA平面SBC,SASC,故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，(2R)2(2.3)2(2、3

3、)2(2、3)236，即4R236,正三棱锥SABC外接球的表面积是36(4)在四面体SABC中，SA平面ABC,BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接(5)(6)解析:BC球的表面积为（D）A.11B.7如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为何体外接球的体积为(4)在ABC中，BC2AC2AB22AB、7，ABC的外接球直径为2rBCsinBAC(2R)2(2r)2SA2（5）三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为ab12bcabc24，a3，bac(6)(2R)b2c23，R23，410C.-36、4、40D.33，那么它的外接

4、球的表面积是1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几BCcos1203，选Da,b,c(a,b,c，则c2，(2R)2b2类型二、垂面模型1.题设：如图5,PA平面ABC解题步骤：第一步：将ABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，贝UPD必过球心0;（一条直线垂直于一个平面）第二步：0,为径0,DasinA29，S4R229，ABC的外心，所以00,平面ABC，算出小圆0,的半r（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得c2r),001IpA；sinBsinC2第三步:利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；R2r2

5、OO12Rr2OOi22.题设：如图6,7,8,P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点三棱锥PABC的三条侧棱相等P点也是圆锥的顶点图8-3解题步骤:第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心Oi，则PQO三点共线;第二步:先算出小圆Oi的半径AOi第三步:方法二:r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为C.里D.以上都不对3()CA.B.解:选C,(.3R)2R2,32、3RR21R2,423R0,23'S4R2图9

6、-14.图9-2图9-3图9-4类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为1题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心0必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；第二步：在PAC中，可根据正弦定理ab2R，求出RsinAsinBsinC2.如图9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）OChr,故球心在正方形的中心SAC的外接圆，此处特殊，o1c2o1o2R2r20102AC2一R2O1O23.如图9-3，平面PAC平面

7、ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则PQOj三点共线；第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2（hR）2r2，解出R4.如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，贝U利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2PA2（2r）22R.PA2（2r）2；R2r2OO12Rr2OO12例3（1）正四棱锥的顶点

8、都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为<解：（1）由正弦定理或找球心都可得2R7,S4R249（2）方法一：找球心的位置，易知r1,h方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ABCD处，R1,V3RtSAC的斜边是球半径，2R2,R1,V（3）在三棱锥PABC中，PAPBPC.3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为（A.B.C.4D.解：选D,圆锥A,B,C在以r3的圆上,2（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球径,且SC2，则此棱锥的体积为（O的求面上,AABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直D.A.Al6解：001、.R2r

9、2.1(j)22.63!Sh类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图10-2,图10-2,C02¥0I11rli1O0:C!/J01丛A一O1一图10-2图10-3题设：如图10-1,是任意三角形）10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以第一步：确定球心O的位置，01是ABC的外心，则001平面ABC;第二步：算出小圆01的半径AO1001丄AA12（AA1h也是圆柱的高）；第三步：勾股定理:OA2O1A20102R2(h)2r22h2r2)2，解出R例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,

10、9且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为81解：设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的关径为r，则a,2底面积为S63(-)2-，V柱428R2R1，球的体积为V-3(2)直三棱柱ABCA1BQ1的各顶点都在同一球面上,ABACAA12,BAC120，则此球的表面积等于解:BC23，"4，r2，R5，S20(3)已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EAEB3,AD2,AEB60，则多面体E球的表面积为。16解析：折叠型，法一:EAB的外接圆半径为r,3，OO11，ABCD的外接R132；法二:O1M3，r2O2D22，S16(4)在直三棱柱A

11、BCAB1C1中，AB4,AC6,A-,AA134则直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积为1603解析:BC2163628，BC2.7，2r2一74.73，R22AA2(三)283403，160S-3类型五、折叠模型第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和ABD的外心H1和H2；第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE,OC；勾股定理：OH12CH12OC2例5三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，锥PABC外接球的半径为PAC和ABC均为边长为2的正三角形，则三棱解析:2ri2r2sin60O2HR2O2H253,

12、R.15；法二:O2H1.3,OiHAH1,R2AO2AH2O1H2O1O2类型六、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；(ABCD,ADBC,ACBD)第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组,2ab22cb22c2a2x2y2z22(2R)ab22z>补充:VaBCDabclabc614abc3第三步：根据墙角模型,2RR2lx2y2z2、R8，求出R，例如,正四面体的外接球半径可用此法。图12(1)题第三步：解OEH1，算出OH1，

13、在RtOCH1中,例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是v'3个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是v'31的球面上，其中底面的三个顶点313A.圧4PO2解：（1）截面为PCO1，面积是2；（2）高hR1，底面外接圆的半径为R1，直径为2R2,（1）题解答图设底面边长为a，则2R-2,a3,Sa233,sin60441 .

14、9;3三棱锥的体积为V-Sh34(3)在三棱锥ABCD中，ABCD2,ADBC3,ACBD4,则三棱锥ABCD外接球的表面积为292设长宽高分别为a,b,c，则a2b29，a,b,c，解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长,b22c4,2ca2162(a2b2c2)941629,2(a2b2c2)941629,2.2229229o29abc4R2，22(4)如图所示三棱锥ABCD,其中ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为22222222(a2b2c2)253649110，a2b

15、2c255，4R255，S【55;对称几何体；放到长方体中】(5)正四面体的各条棱长都为.2，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R.3，薦433扁R，V2 382类型七、两直角三角形拼接在一起题设：APBACB90,C求三棱锥PABC外接球半径(分析：取公共的斜边的中点O,连接1OPAB,2半径)，当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定OP,OC，贝yOAOBOCO为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出值。例7(1)在矩形ABCD中，AB4,则四面体ABCD的外接球的体积为(125125A.-

16、12BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD,)12561253(斜边相同，也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型解：(1)2RAC5,R解：(1)2RAC5,R434125125R3 38（2）在矩形ABCD中，AB2,BC3,沿BD将矩形，选C6ABCD折叠，连接AC,所得三棱锥ABCD解析：（2）BD的中点是球心O,2RBD13,S4R213的外接球的表面积为类型八、锥体的内切球问题1题设：如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步:先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心;第二步:求DH1BD3，POPHr，PD是侧面ABP的高;第三步:由PO

17、E相似于PDH，建立等式：竺DHPO，解出rPDB图14-H2.题设：如图15，四棱锥ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步:先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;第二步:1求FHBC,PO2PHPF是侧面PCD的高;第三步:OG由POG相似于PFH，建立等式：OGHFPO，解出PFD图153.题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式:VPABCVOABCVOPABPACVoPBCVpABC1SSABC3SpaBrSpac33rSpb

18、c3r3(SabcSPABSpaCSpbc)r第三步:解出3VpABC习题：1. 若三棱锥A.3解：【A】（2R）2,41616ABC的三条侧棱两两垂直，B.6C.366,R3且SA2,SBSCD.94,则该三棱锥的外接球半径为（【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形,323棱锥的外接球体积等于V3224解析：2r2,（2R）41216,R4,R2，外接球体积sin603【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】SA23，则该三323.正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为.3的正三角形，侧棱长为于2，则该三棱锥的外接球体积等解析：ABC外接圆的半径为，三棱锥SABC的直径为2R2sin602或R2(R.,3)21,R_，外接球体积V4.三棱锥PABC中，平