2.1线性微分方程组的一般理论ppt课件

1、内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作5.2 线性微分方程组的一般理论线性微分方程组的一般理论)14. 5()()(tfxtAx讨论线性微分方程组讨论线性微分方程组的一般理论，主要研究它的解的结构。的一般理论，主要研究它的解的结构。0)(tf假如假如 ，那么，那么5.14称为非齐线性的。称为非齐线性的。0)(tf假如假如 ，那么，那么5.14称为齐线性的，即称：称为齐线性的，即称：为齐线性的，通常为齐线性的，通常5.15称为对应于称为对应于5.14)的齐线性方程组。的齐线性方程组。)15. 5()(xtAx 内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学

2、院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作5.2.1 齐线性微分方程组齐线性微分方程组主要讨论齐线性微分方程组主要讨论齐线性微分方程组5.15所有解的集合的代数结构。所有解的集合的代数结构。前提：前提：A(t)在区间在区间 上是连续的。上是连续的。bta1、定理、定理2叠加原理假如叠加原理假如 和和 是是5.15的解，则它的解，则它们的线性组合们的线性组合 也是（也是（ 5.15 ）的解，这里）的解，这里 是任意常数。是任意常数。)()(tvtu)(tv,)(tu（5.15的所有解构成一个线性空间，那么这个空间的维数的所有解构成一个线性空间，那么这个空间的维数是多少？于是有类似的概念：向量函

3、数组线性相关无关是多少？于是有类似的概念：向量函数组线性相关无关性，以及向量函数组的伏朗斯基行列式。性，以及向量函数组的伏朗斯基行列式。一、基本定理一、基本定理分析：分析：内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作2、向量函数的相关性、向量函数的相关性考虑定义在区间考虑定义在区间 上的向量函上的向量函 ，如，如果存在不全为零的常数果存在不全为零的常数 ，使得恒等式，使得恒等式0)()()(2211txctxctxckkbta)(,),(),(21txtxtxkkccc,21对于所有对于所有 都成立，则称这些向量函数是线性相关的，否则都成立，则称这些向量

4、函数是线性相关的，否则就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。,bat内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、向量函数的伏朗斯基、向量函数的伏朗斯基Wronsky行列式行列式)()()()()()()()()()()(,),(),(21222211121121txtxtxtxtxtxtxtxtxtWtxtxtxWnnnnnnn由定义在区间由定义在区间 上的上的n个向量函数个向量函数 所所作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即作成的如下行列式称为伏朗斯基行列式，即)(,),(),(21txtxtxn,bat其

5、中，其中，)()()(21txtxtxxnkkkk内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作构造一个齐次线性代数方程组，由代数方程解的构造一个齐次线性代数方程组，由代数方程解的理论得证。理论得证。分析：分析：4、定理、定理3 若向量函数若向量函数 在区间在区间 上上 线性相关，则在线性相关，则在 上它们的伏朗斯基上它们的伏朗斯基(Wronsky) 行列式为零，即有：行列式为零，即有：)(,),(),(21txtxtxn , a b0)(tW , a b内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作6、定理、定理5

6、齐线性方程组齐线性方程组5.15一定存在一定存在n个线性无个线性无 关的解。关的解。分析：反证方法。分析：反证方法。分析：构造方法。分析：构造方法。5、定理、定理4 如果方程如果方程(5.15)的解的解 在在区间区间 上线性无关，那么上线性无关，那么 在在 内的任何点上都不等于零，即有：内的任何点上都不等于零，即有： )(,),(),(21txtxtxn , a b)(0)(btatW)(,),(),(21txtxtxWk , a b内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作推论推论1：方程：方程5.15的线性无关解的最大个数等于的线性无关解的最大个数

7、等于 因此有：齐线性方程组的所有解构成一个因此有：齐线性方程组的所有解构成一个 维线性空维线性空间间nn定义：方程定义：方程5.15的一组的一组 个线性无关解称为方程个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一的一个基本解组，显然，基本解组不唯一n7、定理、定理6通解结构定理）通解结构定理） 假如假如 是方程是方程5.15的的 个线性无关的解，个线性无关的解， 则方程则方程5.15的任一解均可表为：的任一解均可表为： 其中其中 是相应的确定常数。是相应的确定常数。)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnnn12,nc cc内江师范学院数学与信息

8、科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作推论推论2：如果已知：如果已知5.15的的k个线性无关个线性无关解，那么解，那么5.15可以降低为含可以降低为含n-k个未知个未知函数的线性微分方程组。特别地，如果已函数的线性微分方程组。特别地，如果已知知5.15的的n1个线性无关解，那么个线性无关解，那么5.15的通解即可得到。的通解即可得到。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作n推论推论3：假如：假如 是是阶微分方程阶微分方程的的n个线性无关解，其中个线性无关解，其中 是区间是区间 上的连续函数，那么上的连续函数，那么5.21的任

9、一解均可表示为的任一解均可表示为)21. 5(0)()()1(1)(xtaxtaxnnn)(,),(),(21txtxtxn)()()(2211txctxctxcxnn其中其中 是任意常数。是任意常数。12,nc cc)(,),(1tatanbtan内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作二、基本概念二、基本概念如果一个如果一个 矩阵的每一列在区间矩阵的每一列在区间 上都是线性无关上都是线性无关的解矩阵称为在区间的解矩阵称为在区间 上上5.15的基解矩阵。的基解矩阵。btabtan n如果一个如果一个 矩阵的每一列都是矩阵的每一列都是5.15的解，则

10、称这个矩阵的解，则称这个矩阵为为5.15的解矩阵。的解矩阵。n n内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、定理通解的结构定理）、定理通解的结构定理）为了寻求齐线性微分方程组为了寻求齐线性微分方程组5.15的任一解，需的任一解，需要寻求一个基解矩阵。那么，怎样判定一个解矩要寻求一个基解矩阵。那么，怎样判定一个解矩阵是基解矩阵？阵是基解矩阵？这里 是确定的 维常数列向量Cn定理定理1 1* * (5.15) (5.15)一定存在一个基解矩阵，一定存在一个基解矩阵，假如假如 是的任一解，那么是的任一解，那么( ) t( )( )tt C ( ) t内江

11、师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。注意：行列式恒等于零的矩阵的列向量未必是线性相关的。 例如：例如：0001012ttt定理定理2* （5.15的一个解矩阵的一个解矩阵是基解矩阵的充要是基解矩阵的充要条件是条件是 而且，如果对于某一而且，如果对于某一个个 ，那么，那么（表示矩阵表示矩阵 的行列式）的行列式）( ) tdet( )0 ()tatb 0 , ta bdet( )0 ()tatb det( ) t( ) t内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制

12、作例例1 验证验证是方程组是方程组的基解矩阵。的基解矩阵。ttteteet0)(xx101121xxx其中其中2、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。、计算解矩阵的行列式值，并进行判断。1、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？、首先验证是解矩阵：即把矩阵的每一列作为一个向量验证是否是解？内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作推论推论1 1* * 假如假如是是5.155.15在区间在区间 上的一个基解矩阵，是上的一个基解矩阵，是 非奇异常数矩阵，那非奇异常数矩阵，那么么, , 也是在区间也是在区间 上的一个基解矩阵上的一个基解矩

13、阵)(tCt)(btabtaCnn这说明：基解矩阵的表示形式不是唯一的这说明：基解矩阵的表示形式不是唯一的验证方法证明。验证方法证明。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作.)()(Ctt推论推论2 2* * 假如假如 ， 在区间在区间 上是上是 的两个基解矩阵，那么的两个基解矩阵，那么, ,存在一个非奇异存在一个非奇异 常数矩阵常数矩阵 ，使得在区间，使得在区间 上，有上，有( ) tbtabtaCnn)(txtAx)(这说明基解矩阵的相似性这说明基解矩阵的相似性构造方法证明：构造常数矩阵构造方法证明：构造常数矩阵C.1( )( )( )ttX

14、t内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作5.2.2、非齐线性微分方程组、非齐线性微分方程组)15. 5()()14. 5()()(xtAxtfxtAx目的：利用目的：利用5.15)解的结构来讨论解的结构来讨论5.14)解的结构解的结构.1、非齐线性微分方程组解的性质、非齐线性微分方程组解的性质2、非齐线性微分方程组解的结构、非齐线性微分方程组解的结构3、应用、应用内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作1、非齐线性微分方程组解的性质、非齐线性微分方程组解的性质性质性质1 假如假如 是是(5.14)的解，的

15、解， 是对应的是对应的齐线性微齐线性微 分方程组分方程组(5.15)的解的解,那么那么 是是(5.14)的解的解 .)(t)(t)()(tt性质性质2 假如假如 , 是是5.14的解，那么的解，那么 是是5.15的解的解 .)(t)(t)()(tt基本思想：代入式验证。基本思想：代入式验证。基本思想：代入式验证。基本思想：代入式验证。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作2、非齐线性微分方程组解的结构、非齐线性微分方程组解的结构定理定理7 设设 是是5.15的基解矩阵，的基解矩阵， 是是5.14的某一解，那么的某一解，那么5.14的任一解的任一解

16、都可表示为都可表示为这里这里 是确定的常数列向量是确定的常数列向量.)(t)(t)(t),()()(tCttC基本思想：代入式验证？利用性质基本思想：代入式验证？利用性质2。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作由定理由定理7 7得知，为了寻求得知，为了寻求5.14)5.14)的任一解，的任一解，只要知道只要知道5.14)5.14)的一个解和它对应的齐线的一个解和它对应的齐线性微分方程组性微分方程组5.15)5.15)的基解矩阵。那么的基解矩阵。那么, ,如如何求它的一个特解？应用前面介绍的常数变何求它的一个特解？应用前面介绍的常数变易方法求易方法

17、求5.14)5.14)的一个解。的一个解。注注 释释内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作定理定理 设设 是是5.15的基解矩阵，的基解矩阵， 则则向量函数向量函数 是是5.14的解，且满足初始条的解，且满足初始条件：件： .)(t0)(0t）（ 26. 5)()()()(01dssfstttt分析定理分析定理7和定理和定理8，非齐线性微分方程组，非齐线性微分方程组5.14的满足初的满足初始条件始条件的解的解 可由下面公式给出可由下面公式给出)(t )(0t)27. 5 ()()()()()()(0101ttdssfstttt(5.15)满足初始条

18、件满足初始条件 的解的解 )(0t公式公式5.26或或(5.27)称为非齐线性微分方程组称为非齐线性微分方程组5.14的常数变易法。的常数变易法。内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作例例2：试求初值问题：试求初值问题的解。的解。11) 0 (,0101121xxxxexxt解：解：1、因为、因为 是对应齐线性方程组的基解矩阵；是对应齐线性方程组的基解矩阵；( )0tttetete内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作2、由定理、由定理8，求满足初始条件，求满足初始条件 的解的解00) 0(01( )0

19、100ttsstseteetdse2000ttssteteedse211(1)()22000tttttteeeetee内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、求题设初始条件、求题设初始条件 的解利用解的结构定理）的解利用解的结构定理）.1(0)1h1(1)( )( )1thttette原方程的解为原方程的解为( )( )( )httt1()(1)20tttteetee1()2ttttteeee内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作求非齐次线性微分方程组求解基本步骤：求非齐次线性微分方程组求解基本步骤：

20、1、求对应齐次线性微分方程组的基解矩阵；、求对应齐次线性微分方程组的基解矩阵；2、求初始条件为、求初始条件为0的解；的解；3、再求初始条件的解；、再求初始条件的解；理论基础：定理理论基础：定理7和定理和定理8解的结构定理。）解的结构定理。）注：注：n阶线性微分方程的求解推论阶线性微分方程的求解推论3）；）； 是否已完全解决了非齐次线性微分方程组的求解问题没有？）是否已完全解决了非齐次线性微分方程组的求解问题没有？）内江师范学院数学与信息科学学院内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾吴开腾 制作制作3、应用、应用n阶非线性微分方程解的结构）阶非线性微分方程解的结构）(1)、推论、推论3 假如假如 是是区间区间 上的连续函数，上的连续函数， 是区间是区间 上齐线性方程上齐线性方程的基本解组，那么，非齐线性方程的基本解组，那么，非齐线性方程)(),(,),(),(21tftatatanbta)(,),(),(21txtxtxnbt