人教版高中数学选修（1-1）-3.3《函数的极值与导数》名师课件

1、0 0名名 师师 课课 件件3.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测常见函数的导数公式及导数的四则运算法则.函数的导数与函数的单调性的关系.用导数求函数单调区间的步骤.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究一问题探究一 函数极值的概念函数极值的概念 活动一 探求新知如图观察，函数f（x）在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？如：以d、e两点为例，函数y=f(x)在点d处的函数值f(d)比它在点x=d附近其他点的函数值都小；函数y=f(x)在点e处的函

2、数值f(e)比它在x=e附近其他点的函数值都大.探究：y=f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，yf(x)的导数的符号有什么规律？ f(d)=0，在x=d的附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0 ； f(e)=0，在x=e的附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测得出新知得出新知1极值点与极值(1)极小值点与极小值如图，函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f (a)0；而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则把点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)

3、的极小值0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测(2)极大值点与极大值如图，函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f (b)0；而且在点xb的左侧f (x)0，右侧f (x)0，则把点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值(3)极值点与极值极小值点 、极大值点 统称为极值点， 极小值 和 极大值 统称为极值（extreme value）说明：（1）极值反映了函数值在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质 （2）极大值的对应点是局部的“高峰”，极小值的对应点是局部的“低谷” 0 0知识回顾知识回顾

4、问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测2理解极值概念的注意点 （1）函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 （2）极值点是函数定义域内的自变量的值，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 （3）若函数f（x）在a,b内有极值，那么函数f（x）在a,b内绝不是单调函数，即在定义区间上单调的函数没有极值 （4）极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极大值与极小值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值即极小值不一定比极大值小，极大值也不一定比极小值大 （5）若函数f（x）在a,b上有极值且函数图像连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻

5、两个极大值点之间必有一个极小值点，同样，相邻两个极小值点之间必有一个极大值点0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动二 想一想：怎样根据函数图像确定极值？由图像确定极大值或极小值时，需要关注图像在某点处从左侧到右侧的变化情况，极值点一般是指单调性的转折点.若图像由“上升”变为“下降”，则函数值由增加变为减少，这时，在该点附近，该点的位置最高，即该点的函数值比它附近的点的函数值都大，因此是极大值；若图像由“下降” 变为“上升” ，则在该点附近，该点的位置最底，即该点的函数值比它附近的点的函数值都小，因此是极小值.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂

6、小结随堂检测随堂检测问题探究二问题探究二 函数极值与导数的关系函数极值与导数的关系 活动一阅读教材P95，结合函数f（x）=x2与函数f（x）=x3的图像思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？可导函数的极值点一定是其导数值为0的点，但导数值为0的点不一定是该函数的极值点， 举例如下：（1）导数值为0的点是极值点： f（x）=x2 ， f（0）=0 ，x=0是极小值点；（2）导数值为0的点不是极值点：f（x）=x3， f（0）=0 ，x=0不是极值点；（3）不可导点是极值点： f（x）=|x|，当x=0时，不可导，是极小值点；（4）不可导点不是极值点： ，当x=0时，不可导，不是极值点.31

7、)(xxf0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动二结合函数f（x）=x2与函数f（x）=x3的图像思考：导数为零是该点为极值点的什么条件？导数值为0的点只是该点为极值点的必要条件，其充分条件是该点两侧的导数值异号.即可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件是：（1）必要条件：可导函数 y=f（x）在x=x0处取得极值的必要条件是f（x）=0.（2）充分条件：可导函数y=f（x）在x=x0处取得极值的充分条件是f（x）在 x=x0两侧异号因此导数等于零的点不一定是极值点，极值点的导数一定为零，导数为零是某点为极值点的必要不充分条件.0 0知识回顾知识回顾问

8、题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动三结合函数f（x）=x2与函数f（x）=x3的图像思考：单调函数有极值吗？有极值的函数单调吗？单调函数没有极值，有极值的函数不单调.0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测问题探究三问题探究三 函数极值的求解步骤函数极值的求解步骤 活动一 阅读教材P94的例4，根据例4及函数极值的概念归纳出求函数y=f（x）的极值的步骤1求函数y=f（x）的极值的方法解方程 f（x）=0，当 f（x0）=0时：(1)如果在x0附近的左侧 f（x）0，右侧 f（x）0 ，那么f（x0）是极大值(2)如果在x0附近的左侧 f（x）0

9、，右侧 f（x）0 ，那么 f（x0）是极小值0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测2求可导函数y=f（x）的极值的步骤(1)确定函数的定义域，求导数f（x）；(2)求方程f（x）=0的根（可能不止一个）；(3)用方程f（x）=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，可将x， f（x）， f（x）在每个区间内的变化情况列在同一表格中检测f（x）在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值(4)求出极值问题探究三问题探究三 函数极值

10、的求解步骤函数极值的求解步骤 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动二 初步运用，运用导数求函数的极值例1 已知函数 且 求函数f（x）的解析式；求函数f（x）的极值119)(23xaxxxf12) 1 ( f详解： ，又 ，a=3由得： ，当 时， ，当 时， ，f（x）在 上为增函数，在（-1,3）上为减函数，函数f（x）的极大值为f（-1）=16，极小值为f（3）=-16923)(2axxxf12923) 1 (af)3)(1(3963)(2xxxxxf31xx或0)( xf31x0)( xf(, 1) (3,) ，点拨：求可导函数y=f（x）的极值的

11、步骤：（1）确定函数的定义域，求导数f（x）；（2）解不等式f（x）0得增区间，解不等式f（x）0得减区间，再判断f（x）=0的解左右f（x）的正负得极值点；（3）求出极值0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动三 对比提升，根据极值求参数例2 若函数 在x=1处取得极值10，试求a，b的值223)(abxaxxxf详解： ， 或 ，但当a=-3，b=3时， 恒成立，故f（x）在R上单调递增，不可能在x=1处取得极值，不合题意，舍去；而当 时，经检验知符合题意，故a=4，b=-11baxxxf23)(2114101) 1 (023) 1 (2baabafbaf

12、33ba0363)(2xxxf114ba点拨：已知函数的极值，求参数问题的解题步骤：求函数的导数f（x）；由极值点的导数为0，列出方程（组），求解参数当求出参数多于一组解时，一定要验证是否满足题目的条件0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测活动四 综合应用，函数的极值与零点问题例3 设函数 有且仅有两个极值点 ，求实数a的值范围)()(2Raeaxxfx)(,2121xxxx详解： ，由题意 有两解，显然x=0不是此方程的解，方程可变形为 ，问题转化为直线y=a与函数 的图象有两个交点( )2xfxaxe20 xaxe2xeax ( )2xeg xx 可求 ，当

13、x0时，g（x）0， g（x）递增，且g（x）0 ，当0 x1时， g（x）0， g（x）递增，且g（x）0，当x1时， g（x）0， g（x）递减，且g（x）0 ，所以x=1时，g（x）取极大值 ，2(1)( )2xe xg xx(1)2eg 又当 时 ， ，又当 时， ，因此当 时，直线y=a与函数g（x）的图象有两个交点x( )g x 0 x( )g x (1)2eag 0 0知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测另解： ，由题意 有两解，即 ，问题转化为直线y=-2ax与函数y=ex的图象有两个交点，作函数y=ex图象，设直线y=kx与函数y=ex的图象相切，

14、切点为（x0，y0）， y=ex的导函数为y=ex ，则ex0=k， ，解得x0=1，即切点为（1，e），此时k=e，作直线y=-2ax ，由图象知直线y=-2ax与函数y=ex图象有两个交点时有-2ae，即( ) 2xf xax e20 xaxe2xeax 00000 xxyekexx2ea 点拨：利用求函数极值的方法确定方程解的个数时，要根据所求极值，画出函数的大致图像，运用数形结合的思想求解.0 0知识梳理知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测数学知识：(1)函数极值的概念以及极值的判定方法(2)求解函数y=f（x）极值的步骤:)确定函数的定义域，求导数f(x)

15、（养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）；求方程f(x) =0的根；检查f(x)在方程 f(x)0的根的左右两侧的符号，确定极值点.(最好通过列表法)求出极值0 0知识梳理知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测注意点： f(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件.要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断f(x0)=0左右侧导数的符号.数学思想：数学思想：数形结合、分类讨论和函数与方程等思想0 0重难点突破知识回顾知识回顾问题探究问题探究课堂小结课堂小结随堂检测随堂检测（1）求函数的极值需严格按照求函数极值的步骤进行，重点考虑两个问题：一是函数的定义域，注意判断使导数值为0的点是否在定义域内，如果不在定义域内，需要舍去；二是检查导数值为0的点的左右两侧的导数值是否异号，若异号，则该点是极值点，否则不是极值点（2）求函数的极值时，先确定导数值为零的点，然后依据极值的定义求解，另外，还要在函数的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，这两类点就是函数在定义域内