数学系一年级《数学分析》期末考试题

1、一）数学系一年级数学分析期末考试题姓名学号一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：nAa和bnnn都收敛时nc收敛；nnnB.a和b都发散时，nnnc发散nCa和b都有界时c有界；D.b有界时，a和c都有界nnnnnnsinkxx0,x2、f(x)=0,f(x)在点x00必()A.左连续；B.右连续C.连续D.不连续、b1、af(x(）3、函数和c是三个数列，且存在N,VnN时有abf(a)时，对Vxe(a,b),5、设在区间I上有Jf(x)dx=F(x)+c,有f(x)0；Jg(x)dx二G(x)+c。则在I上有(A.Jf(x)g(x)dx=F(x)G(x)；B.Jf(x)g(x)dx=F

2、(x)G(x)+c；C.Jf(x)G(x)dx+g(x)F(x)dx=F(x)G(x)+cD.Jf(x)F(x)dx+g(x)G(x)dx=F(x)G(x)+c二、(满分15分，每小题3分)填空题：十(3x+2x-11 lim=:3x1，xT+wx2 f(x)=sgn(cosx)。f(x)在区间兀，兀上的全部间断点为:兀3 f(x)=sin2x,f(ii)()=:64函数f(x)在R内可导，且在(-w,l)内递增，在(1,+w)内递减，F(x)=f(xex),F(x)的单调递减区间为:5If(x)f(%=:1+f2(x)三、(满分36分，每小题6分)计算题：1、lim丄xT01x211sin2

3、x丿2、把函数shx=exex_2_展开成具Peano型余项的Maclaurin公式3、Iex+iarctg、exldx:4、f(x2)=ex,计算积分1dx:xx35、Idx:x23x+26、斜边为定长c的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积;2n2+n32四、(满分7分)验证题：由有“N”定义验证数列极限lim=汗:hT03n2253五、(满分32分，每小题8分)证明题：1设函数f(x)和g(x)都在区间I上一致连续，证明函数f(x)+g(x)在区间I上一致连续；2设函数f(x)在点x可导且广(x)丰0，试证明：Aydf(x)|，其中00x=X0Ay=f(x+Ax)-f(x)；

4、003设函数f(x)在点a具有连续的二阶导数，试证明:limf(a+h+f(a-h-2f(a)hTOh2兀4试证明：0x兀二) 一年级数学分析考试题一、(满分10分，每小题2分)判断题：1、无界数列必发散；()2、若对Ve0，函数f在a+8,b-8上连续，则f在开区间(a,b)内连续；()3、初等函数在有定义的点是可导的；()4、f=9屮，若函数9在点x可导，屮在点x不可导，则函数f在点x000必不可导；()5、设函数f在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，但f(x)丰f(b)，则对Vxe(a,b)，有f(x)丰0；二、(满分20分，每小题4分)填空题：(n2+2)6(2n-1)81

5、、lim=；nT8(x/2n2+l)io2、曲线y=xInx的所有切线中，与直线x+2y-2=0垂直的切线是3、y=ln(x+、1+x2)，=；dxd2y4、函数f(x)二阶可导，y=ef(x)，贝ij=dx25、把函数f(x)=e-x2展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，f(x)=三、(满分30分，每小题6分)计算题:4+xln（l+x2）-21、limxtox（ex-1）lim23x2、f(x二0,广(x二3,求lim竺亠axtoAxsinx-xcosx3、y=,求dy；cosx+xsinx4、y=x2sinx,求y（8）；5、lim（皿）ixtox四、(满分40分，每小题8

6、分)证明题：1、设函数f(x)在区间I上满足Lipschitz条件：3L0,Vx,xe|,12有f(xi)-f(x2)|Lxi-x2|，证明f在区间I上一致连续；2、证明函数f(x)|x1在点x1不可导；3、设函数f(x)在R内连续且limf(x)=+s，试证明f(x)在R有最小值；xT84、设0ab,f(x)在a,b上可导，在(a,b)内可导，证明玉e(a,b)，使得2gf(b)-f(a)L(b2-a2)f诞)；f(x)g(x)5、设函数f和g可导且f丰0,又二0,证明g(x)=cf(x),其中c为f(x)g(x)常数.三) 一年级数学分析考试题一对错判断题：（n二1、2、AA）则limxl

7、imy；（nnnTgnTg1、设(xy为两个数列，若xynnnn2、若函数f(x)以A为极限，则f(x)可表为f(x)=A+o(1)；()3、设f(x)定义于a,b上,若f(x)取遍f(a)与f(b)之间的任意值，则f(x)比在a,b上连续；4、若f(x)在la,+)连续，且limf(x)存在，则f(x)在)有界；()XT+85、若y=f(x)的导数f(x)在a,b上连续，则必存在常数L,使If(xi)-f(x2)|LX1-x2lVx,x12ela,bl；6、当xT0时,o(xm)+o(xn)=o(xm+n)(mne0)；()a|T0(nta)oaT0(nTa)；nn7、右f(x)和g(x)在

8、xo点都不可导，则f(x)+g(x)在xo点也不可导；()8、f(x)为I上凸函数的充要条件为，对I上任意三点冗x2冗x3有:f(x)f(x)f(x)f(x)2131x-xx-x21319、若f(x)在xo二阶可导，则(xo,f(xo)为曲线y=f(x)的拐点的充要条件为f(x)二0；()010、若S为无上界的数集，则存在一个递增数列(xuS，使得nxJa,n(nTa)；1、设f(x)(1-x)x,k,x丰0在x0处连续，x0则k(A.1B.e1C.D.e1x2x兀02、设f(x)1x1当x0是不连续是因为()xxe0A.f(x)在x0无定义B.limf(x)不存在xT0二单项选择题)C.li

9、mf(x)丰f(0)D.左，右极限不相等3、设f(x)=(x-a)(p(x)，其中(P(x)在x二a处连续但不可导，则f(a)二()A.不存在B.9(a)C.9(a)D.9(a)4、当|x|很小时，下列近似公式正确的是()A.exqxB.Inxqxq1+xD.sinxqx5、若f(x)和g(x)对于区间(a,b)内每一点都有f(x)二g(x)，在(a,b)内有()A.f(x)=g(x)B.f(x)=c,g(x)=c,(c,c为常数)1212D.f(x)=cg(x)(c为任意常数)D.f(x)=g(x)+c(c为任意常数)三 证明题：I证明limnIn+2n+A+9n=9；nsh证明不等式：兀a

10、rctanh兀h；1+h2a+b13对任意实数a,b有e2-(ea+eb)；4证明：方程x3-3x+c=0(c为常数)在b,l内不可能有两个不同的实根;5设函数f(x)在点xo存在左，右导数，试证f(x)在xo连续;6证明：若极限lim存在，则它只有一个极限；xTx0四 计算题：1写出f(x)=sinx的其拉格朗日型余项的马克劳林公式;2求下列极限： lim(n1+n2+A+n10)；nsarctanx limxT0xxm-1 limxT1xn-13求y=esin(ax+b)的微分；Ix二acost(0兀t兀兀)所确定，求dx4设函数y=y(X)的参量方程y=bsint四) 一年级数学分析考试

11、题一叙述题：1用-5语言叙述limf(x)=A(A为定数)XTX-2叙述Rolle中值定理，并举出下列例子：1) 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子；2) 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子3) 第三个条件不成立，结论成立的例子；二、计算题：1 求极限limGn+2一2n+1*n)；ns2 求极限lim(l-)-x；nsX3 求f(x)=ln(1+x)的带Peano型余项的Maclaurin公式；tanx-x4 求limn_ox-sinx三、研究函数2xxeof(x)=0x=0在x0处的左，右极限和极限；1+x2x兀0四、研究函数求数集sx2兀2)的上、下确界，并依

12、定义加以验证;五、证明题：用定义证明：lim、x2+53；m2(xTx0)证明：o(g(x)+o(g(x)o(g(x)3设f(x)定义在区间I上，若存在常数L,Vx,xeI,有f(x)-f(x”)Lx-x”证明：f(x)在I上一致连续；4设函数f(x)在点a的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明Hmf(a+匕+f(a-匕-2f(a)=f”(a).hTOh2(五)一年级数学分析考试题一判断题：(满分10分，每小题2分)若lima=0，nns贝ljlim丄=ansan2、有限开区间(a,b)内一致连续的函数f(x)必在开区间内有界;()3、设函数y=f(x)在点X的某领域内有定义，若存在数A，使Ay

13、=f(x+Ax)-f(x)=AAx+o(Ax),(AxT0),则f(x)在点X可导且000A=f(x)；()04、f=申+屮，若函数f在点亠可导，则函数和屮都在点X0可导；()5、设函数f在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，若对Vxe(a,b),f(x)丰0，则必有f(x)丰f(b)；()二单项选择题：(满分20分，每小题4分)1、函数f(x)在点x连续的充要条件是0A. f(x-0)和f(x+0)中至少有一个存在；00B. f(x-0)和f(x+0)存在且相等；00C. f(x0)二f(x+0)二f(x);D.f(x)在点x可导00002、设函数f定义在区间I上，且满足Lipsc

14、hitz条件，3L0，使对VX,x2gI,有If(X)f(x2)|3为使f在点x=3可导，应取()ax+b,x兀3A.a二3,b二0；B.a二0,b二3；C.a二6,b=9；D.a=9,b二6；三计算题：(满分30分,每小题6分)f(抒)f(、污+2h)1、f(x)二arctg、；x21，求lim-htOhdy2、y二(sinx)lnx，求；dx3、y=excosx,求y(5)；4、lim(丄)；xt0x2sin2x5、f(x)二ax+a-x2,其中a00且a幻,写出f(x)的含X4项且具Peano型余项的Maclaurin公式;四验证题：(满分16分，每小题8分)1、用定义验证函数f(x)=sinx在(g,+8)内一致连续；2证明函数f(x)=|x|在点x二0