第六章 控制系统的分析方法

1、第六章第六章 控制系统控制系统的分析方法的分析方法编写求解微分方程的子程序编写求解微分方程的子程序将系统模型输入计算机将系统模型输入计算机通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据编写绘图程序，绘制成可供工程分析的响应曲线编写绘图程序，绘制成可供工程分析的响应曲线MATLAB控制系统工具箱控制系统工具箱和和SIMULINK辅助环境辅助环境的出现，给控制系统分析带来了福音。的出现，给控制系统分析带来了福音。稳定性分析、时域分析、频域分析、根轨迹分析稳定性分析、时域分析、频域分析、根轨迹分析早期的控制系统分析过程早期的控制系统分析过程-系统冲激响应曲线系统冲激响应

2、曲线第一节第一节 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析连续时间系统连续时间系统-如果闭环极点全部在如果闭环极点全部在S平面左平面左 半平面，则系统是稳定的。半平面，则系统是稳定的。离散时间离散时间系统系统-如果系统全部如果系统全部极点极点都位于都位于Z平平面的单位圆内，则系统是稳定的。面的单位圆内，则系统是稳定的。最小相位最小相位系统系统-连续时间系统连续时间系统的的全部零极点全部零极点都都位于位于S左半平面；或若左半平面；或若离散时间离散时间系统的系统的全部零全部零极点极点都位于都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相平面单位圆内，则系统是最小相位系统。位系统。一、系统稳定及最小相位系统判据

3、一、系统稳定及最小相位系统判据直接根据直接根据零极点的分布零极点的分布情况对系统的稳定情况对系统的稳定性及性及是否为最小相位系统是否为最小相位系统进行判断。进行判断。二、系统稳定及最小相位系统的判别方法二、系统稳定及最小相位系统的判别方法劳斯判据劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。数值，系统不稳定。胡尔维茨判据胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。1、间接判

4、别（工程方法）、间接判别（工程方法）2、直接判别、直接判别已知某系统的模型：已知某系统的模型：uxyuxx7165210016127587403622121要求判断系统的稳定性及系统是否为最要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。小相位系统。例例.exp6_1.m 例例exp6_2.m 系统模型如下所示，判断系统的稳定系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统是否为最小相位系统。性，以及系统是否为最小相位系统。11221171494528110142841163)(2345623ssssssssssGii=find(条件式条件式)求满足条件的向量的下标向量，列向量。求满足条件的向量的下

5、标向量，列向量。real(p0)-找出找出p中实部大于中实部大于0的元素下标，将结果返回的元素下标，将结果返回ii向量向量;若找到实部大于若找到实部大于0的极点，则将该点的序号返回的极点，则将该点的序号返回ii;若最终结果若最终结果ii元素个数大于元素个数大于0，则找到不稳定极点，则找到不稳定极点;若若ii元素个数为元素个数为0，未找到不稳定极点，系统稳定，未找到不稳定极点，系统稳定.pzmap(p,z)根据系统已知的零极点根据系统已知的零极点p和和z绘制出系统的零极点图绘制出系统的零极点图第二节第二节 控制系统的时域分析控制系统的时域分析响应响应-零初始值零初始值条件下条件下,某种某种典型的

6、输入函典型的输入函数数作用下对象的响应。作用下对象的响应。常用的输入函数常用的输入函数-单位阶跃函数单位阶跃函数和和脉冲激励脉冲激励函数（即冲激函数）函数（即冲激函数）。一、时域分析的一般方法一、时域分析的一般方法求取系统单位阶跃响应：求取系统单位阶跃响应：step()求取系统的冲激响应：求取系统的冲激响应：impulse()动态系统的性能动态系统的性能-典型输入典型输入作用下的作用下的响应响应1、step( )函数函数状态变量状态变量y=step(num,den,t)：仿真时间向量，仿真时间向量，t=0:step:end等步长产生等步长产生系统在仿真时刻各个系统在仿真时刻各个输出所组成的矩阵

7、输出所组成的矩阵y,x,t=step(num,den)时间向量时间向量,由系统模型的特性自动生成由系统模型的特性自动生成仅绘制系统的阶跃响应曲线仅绘制系统的阶跃响应曲线求线性系统的稳态值求线性系统的稳态值y,x,t=step(A,B,C,D,iu)：输入变量的序输入变量的序号号系统返回的状态轨系统返回的状态轨迹迹step(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；dc=dcgain(num,den),dc=dcgain(a,b,c,d)例例exp6_3.m 已知系统的已知系统的开环开环传递函数为：传递函数为： 求系

8、统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。sssssGo4036820)(234 2、impulse( )函数函数 与与step()函数基本一致。函数基本一致。y=impulse(num,den,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)例例exp6_4.m已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：sssssGo4036820)(234 求系统在

9、单位负反馈下的脉冲激励响应曲线。求系统在单位负反馈下的脉冲激励响应曲线。 Exp6-5已知某典型二阶系统的传递函数为：已知某典型二阶系统的传递函数为： 2222)(nnnwswswsG x x，, 6 . 0 x x5 nw求系统的阶跃响应曲线。求系统的阶跃响应曲线。例例6-6 已知某闭环系统的传递函数为：已知某闭环系统的传递函数为： 求其阶跃响应曲线。求其阶跃响应曲线。251096. 116. 02510)(23 sssssG 二、时域分析应用实例二、时域分析应用实例step( )和和impulse( )可处理可处理多输入多输出多输入多输出情况情况编写编写MATLAB程序并不因输入输出增加而

10、复杂。程序并不因输入输出增加而复杂。第三节第三节 控制系统的频域分析控制系统的频域分析频率响应频率响应-系统对正弦输入信号的稳态响应系统对正弦输入信号的稳态响应 带宽、增益、转折频率、闭环稳定性带宽、增益、转折频率、闭环稳定性。频率特性频率特性-系统在正弦信号作用下，稳态输出系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。与输入之比对频率的关系特性。一、频域分析的一般方法一、频域分析的一般方法()()()()()()ooiiXwA wwwwXw其中为幅频特性为相频特性()()()( )()jwoiXjwG jwA w eXjw频率特性频率特性对数频率特性曲线对数频率特性曲线幅相频率特

11、性曲线幅相频率特性曲线bode( )系统对数频率特性图（波特图）系统对数频率特性图（波特图）nyquist( )幅相曲线图或极坐标图（系统奈奎斯特图）幅相曲线图或极坐标图（系统奈奎斯特图）1、对数频率特性图（波特图）、对数频率特性图（波特图） 横坐标横坐标-频率频率w，对数分度，弧度，对数分度，弧度/秒秒a,b,c,d的的每个每个输入自动绘制出输入自动绘制出一组一组Bode图。图。频率范围频率范围由函数自动选取，而且在由函数自动选取，而且在响应快速变响应快速变化的位置化的位置会自动采用更多取样点。会自动采用更多取样点。对数幅频特性图对数幅频特性图对数相频特性图对数相频特性图相角，度相角，度纵坐

12、标纵坐标-均匀分度均匀分度幅值函数幅值函数20lgA(w)，dBbode(a,b,c,d)bode(a,b,c,d,iu)bode(num,den)bode(a,b,c,d,iu,w)或或bode(num,den,w)从第从第iu个输入到所有输出个输入到所有输出传递函数系统传递函数系统利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。mag,phase,w=bode(sys)mag,phase=bode(num,den,w)mag，phase分别为系统分别为系统Bode图数据阵列的图数据阵列的幅值（幅值（dB）和相角（）和相角（degrees）。）。 mag,ph

13、ase=bode(a,b,c,d,iu,w)2、幅相频率特性图（奈奎斯特图）、幅相频率特性图（奈奎斯特图）频率特性函数频率特性函数G(jw)，w从负无穷到正无穷从负无穷到正无穷分别求出分别求出Im(G(jw)和和Re(G(jw)。Re(G(jw) 横坐标，横坐标，Im(G(jw) 纵坐标纵坐标极坐标频率特性图。极坐标频率特性图。2、幅相频率特性图（奈奎斯特图）、幅相频率特性图（奈奎斯特图）nyquist(a,b,c,d)：系统系统a,b,c,d的输入的输入/输出组合对。输出组合对。频率范围由函数自动选取频率范围由函数自动选取响应快速变化的位置会自动采多点。响应快速变化的位置会自动采多点。nyq

14、uist(a,b,c,d,iu)：第第iu个输入到所有输出个输入到所有输出nyquist(num,den)nyquist(a,b,c,d,iu,w)nyquist(num,den,w)利用指定的角频率矢量利用指定的角频率矢量极坐标图极坐标图箭头箭头-w的变化方向，负无穷到正无穷的变化方向，负无穷到正无穷plot(re,im)-绘制绘制w从负无穷到零变化的部分。从负无穷到零变化的部分。nyquist(a,b,c,d)re,im,w=实部实部re虚部虚部im角频率点角频率点w矢量（为正的部分）。矢量（为正的部分）。3.幅值和相角裕量幅值和相角裕量margin-从频率响应数据中计算出从频率响应数据中

15、计算出幅值裕度、相角裕幅值裕度、相角裕度以及对应的频率度以及对应的频率。Gm,Pm, Wcg , Wcp=margin（mag,phase,w） Gm,Pm, Wcg, Wcp=margin（sys）Gm-幅值裕度，幅值裕度，Wcg-幅值裕度处的频率值，幅值裕度处的频率值，Pm-相角裕度，相角裕度，Wcp-剪切频率。剪切频率。不带输出参数，绘制不带输出参数，绘制Bode图，标出幅值裕度和相角图，标出幅值裕度和相角裕度值。裕度值。 mag，phase和和w-由由bode函数得到的频率响应的幅函数得到的频率响应的幅值、相角及频率采样值。值、相角及频率采样值。 二、频域分析应用实例二、频域分析应用实

16、例Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统曲线，可以判断闭环系统的稳定性。的稳定性。系统稳定的充要条件为：系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针包围临曲线按逆时针包围临界点界点(-1,j0)的圈数的圈数R ，等于开环传递函数位于，等于开环传递函数位于s右半平面右半平面的极点数的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。若刚好过临界点，则系统临界稳定。二、频域分析应用实

17、例二、频域分析应用实例1（1）n为固定值，为固定值，变化时变化时:wn=1;zet=0:0.1:1,2,3,5; hold on for i=1:length(zet) num=wn2;den=1,2*zet(i)*wn,wn2; bode(num,den); Endgrid on, hold off 例例1：二阶系统的传递函数为：二阶系统的传递函数为：绘制绘制不同不同x x、wn的的bode图图。nn2222)(nwswswsG x x二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例1例例1：二阶系统的传递函数为：二阶系统的传递函数为：绘制绘制不同不同x x、wn的的bode图图。nn2222)(n

18、wswswsG x x当阻尼比当阻尼比比较小时，比较小时，系统的频域响应在自然系统的频域响应在自然频率频率n附近将表现出附近将表现出较强的振荡较强的振荡该现象称为谐振。该现象称为谐振。变化时的伯德图变化时的伯德图 二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例1例例1：二阶系统的传递函数为：二阶系统的传递函数为：绘制绘制不同不同x x、wn的的bode图图。nn2222)(nwswswsG x xn变化时的变化时的bode图图 当自然频率当自然频率n 值增加时，值增加时，bode的带宽将增加，的带宽将增加，使系统的时域响应速度使系统的时域响应速度变快变快二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例1（2

19、）为固定值，为固定值，n变化时变化时:wn=0.1:0.1:1;zet=0.707; hold on for i=1:length(wn) num=wn(i)2;den=1,2*zet*wn(i),wn(i)2; bode(num,den); Endgrid on, hold off 例例1：二阶系统的传递函数为：二阶系统的传递函数为：绘制绘制不同不同x x、wn的的bode图图。nn2222)(nwswswsG x x二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例2G=tf(1000,conv(1,3,2,1,5); nyquist(G);axis(square) 例例2：已知系统的开环传递函数为

20、：已知系统的开环传递函数为：绘制系统的绘制系统的Nyquist图，并讨论其稳定性。图，并讨论其稳定性。21000( )(32)(5)G ssss二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例2稳定性验证稳定性验证G_close=feedback(G,1); roots(G_close.den1) ans = -12.8196 2.4098 + 8.5427i 2.4098 - 8.5427i 系统有三个根，两个根位于右半系统有三个根，两个根位于右半s平面，平面，系统不稳定。系统不稳定。 二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例2Nyquist图逆时针包围（图逆时针包围（1，j0）点）点2次次原开环系

21、统中无不稳定极点，原开环系统中无不稳定极点，结论结论:闭环系统有闭环系统有2个不稳定极点。个不稳定极点。二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例3G=tf(3.5,1,2,3,2); G_close=feedback(G,1); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) step(G_close),grid on 例例3：已知系统的开环传递函数为：已知系统的开环传递函数为：求系统的幅值裕度和相角裕度，并求其闭求系统的幅值裕度和相角裕度，并求其闭环阶跃响应。环阶跃响应。 323.5( )232G ssss二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例3Gm = 1.1433 Pm = 7.168

22、8 Wcg = 1.7323 Wcp = 1.6541 幅值裕度很接近稳定的边界点幅值裕度很接近稳定的边界点1，且，且相角裕度只有相角裕度只有7.1578，所以尽管闭环，所以尽管闭环系统稳定，但其性能不会太好。系统稳定，但其性能不会太好。在闭环系统的响应中有较强的振荡。在闭环系统的响应中有较强的振荡。 二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例4G=tf(100*conv(1,5,1,5),conv(1,1,1,1,9); Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(G) G_close=feedback(G,1); step(G_close) ,grid on 例例4：已知系统的开环传递函数为：

23、已知系统的开环传递函数为：求系统的幅值裕度和相角裕度。求系统的幅值裕度和相角裕度。2100(5)( )(1)(9)sG ssss 二、频域分析应用实例二、频域分析应用实例4Gm = Inf Pm = 85.4365 Wcg = NaN Wcp = 100.3285 无穷大的幅值裕度，且相位裕度高达无穷大的幅值裕度，且相位裕度高达85.4365闭环响应较理想。闭环响应较理想。 第四节第四节 线性系统的根轨迹线性系统的根轨迹根轨迹是以根轨迹是以K（0+）为可变参数，根据开环系）为可变参数，根据开环系统的零极点绘制，统的零极点绘制，反映出开环系统零极点与闭环系统极点（特征根）反映出开环系统零极点与闭

24、环系统极点（特征根）之间的关系。之间的关系。可分析系统参数和结构已定的系统的时域响应特可分析系统参数和结构已定的系统的时域响应特性，以及参数变化对时域响应特性的影响，性，以及参数变化对时域响应特性的影响，可根据对时域响应特性的要求确定可变参数及调可根据对时域响应特性的要求确定可变参数及调整开环系统零极点的位置，并改变它们的个数整开环系统零极点的位置，并改变它们的个数根轨迹法可用于解决线性系统的分析与综合问题。根轨迹法可用于解决线性系统的分析与综合问题。 一、根轨迹绘制一、根轨迹绘制rlocus(sys) -绘制系统的根轨迹绘制系统的根轨迹 rlocus(sys,k)-用户指定的根轨迹增益用户指

25、定的根轨迹增益K值来绘图值来绘图rlocus(sys1,sys2,.) -绘制多个系统的根轨迹绘制多个系统的根轨迹 R,K = rlocus(sys) 计算根轨迹增益值和闭环极点值计算根轨迹增益值和闭环极点值 ；K中存放根轨迹增益向量中存放根轨迹增益向量R = rlocus(sys,k) 计算对应于根轨迹增益值计算对应于根轨迹增益值k的闭环极点值的闭环极点值 ；R的列数和增益的列数和增益K的长度相同，它的第的长度相同，它的第m列元素是列元素是对于增益对于增益K（m）的闭环极点。）的闭环极点。 二、计算根轨迹增益二、计算根轨迹增益K,poles=rlocfind(sys)计算鼠标拾取点处的根轨迹

26、增益和闭环极点计算鼠标拾取点处的根轨迹增益和闭环极点 K,poles=rlocfind(sys,P) 计算最靠近给定闭环极点计算最靠近给定闭环极点P处的根轨迹增益处的根轨迹增益rlocfind计算与根轨迹上极点相对应的根轨迹增计算与根轨迹上极点相对应的根轨迹增益。既适用于连续系统，也适用于离散时间系统。益。既适用于连续系统，也适用于离散时间系统。 P为给定的闭环极点，可以给定多个闭环极点，为给定的闭环极点，可以给定多个闭环极点，此时此时P为列向量。为列向量。向量向量K的第的第m项是根据极点位置项是根据极点位置P（m）计算的增）计算的增益，矩阵益，矩阵poles的第的第m列列poles(m)是相应的闭环极点。是相应的闭环极点。三、根轨迹习题三、根轨迹习题sys=tf(1,1,4,5,0) rlocus(sys) x,y=ginput(3); p= x+i*y K=rlocfind(s,p) 2( )(45)KG ss ss绘制系统的根轨迹图，并求使系统稳定的绘制系统的根轨迹图，并求使系统稳定的K值范值范围和使系统无超调的围和使系统无超调的K值范围。值范围。 计算并绘制根轨迹图计算并绘制根轨迹图在图中选择在图中选择3个极点位置：个极点位置：2个实轴个实轴上的交点，一个虚轴上的交点，上的交点，