多元复合函数的求导(2)

1、整理课件1整理课件2设函数设函数 z=f(u)可微，可微，u=g(x,y) 偏导数存在，偏导数存在， xz)(uf ),(yxgx xududz 函数关系图函数关系图zuxy问题：设函数问题：设函数 z=f(u,v)可微，可微，)(xu 与与 导数存在，导数存在，)(xv uxzv dxdzy uzdxdu vzdxdv整理课件3定理定理 若函数若函数 及及 都在点都在点x可导，可导，)(xu )(xv 函数函数z=f (u,v)在对应点在对应点(u,v)可微可微，则复合函数则复合函数 在点在点x 可导，且可导，且)(),(xxfz dxdz uzdxdu vzdxdvuvxz整理课件4，)(

2、)(xxxu ，xxxxdxdux )()(lim0，)()(xxxv ，xxxxdxdvx )()(lim0),( ovvzuuzz22)()(vu ,)(xoxvvzxuuzxz ,)(limlimlimlim0000 xoxvvzxuuzxzxxxx dxdvvzdxduuzdxdz 整理课件5解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu 例例1 设设 ，而，而 u = xy，v = x+y， vezusin yzxz ，uvxzy求求整理课件6例例2 设设

3、,arctanvuyvuxyxz 验证验证22vuvuvzuz zxyuv2)(11yxuz y1 2)(11yx )(2yx 22yxxy 2)(11yxvz y1 2)(11yx )(2yx 22yxyx vzuz 222yxy )(2)(222vuvu 22vuvu 1 1 1 )1( 整理课件7例例3 设设z = f(u,v) ，而，而 u = x2siny，v=2x+y 求求 ,xz 解解 xz uf2xsiny vf21sin2fyx 22 f yz yz uf x2cosy vf112cosfyx 2f 记记,1fuf 2fvf 整理课件8例例4 设设 求求),(xyzxyxfu

4、 zuyuxu ,xyzsxyt ,解解 设设 xuxf yzfyff 321 yuyttu xzfxf 32 zuzssu xyf 3xttu xssu yssu uxstzyx整理课件9练习题练习题 1.设设 ),arctan(vuz ,yxu ,xyv 求求 xz 2. 设函数设函数f(u,v) 偏导数连续，且偏导数连续，且),(sin,2(2xyyxfz 求求 xz 3.过点过点(1,3,2) 且与直线且与直线 6252zyxzyx平行的直线为平行的直线为_.整理课件10解解xw 1f )1()2(xyz zxw2)(21fyzfz )(21fyzzzf 11f 例例5 设设w = f

5、 ( x+y+z, xyz )，f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数 zxw 22f w( f ) 2f y 1(21fyz22f 求求1 yz zfyzf yzf 221)(1f 12f 1 xy )xy )(2f 整理课件11练习题练习题),(yxxyfz yxz 2 2. 求过点求过点(0,3,2) 且与且与z轴相交成轴相交成 角的直线方程角的直线方程6 1. 设设 求求作业：作业：P82 :T4,T6,T8(1)(2),T12(2)整理课件12 无论无论 z 是自变量是自变量u,v 的函数或中间变量的函数或中间变量u,v 的的函数，它的全微分形式是一样的函数，它的全微分形式是一样的.全微分形式不变形的实质：全微分形式不变形的实质：dvvzduuzdz 则：则：设函数设函数z=f (u,v)有连续偏导数，有连续偏导数，时，时，当当),(),(yxvyxu dyyzdxxzdz 则则：dvvzduuzdz （u,v为自变量）为自变量）（u,v为中间变量）为中间变量）整理课件13dxxvvzxuuz dyyzdxxzdz dyyvvzyuuz dyyudxxuuz dyyvdxxvvzduuz .dvvz 整理课件14解解, 0)2( zxyezed, 0)2( zxydezdde)()2(ydxxdyedzexyz dye