一k级子式余子式代数余子式ppt课件

1、一、一、k 级子式与余子式、代数余子式级子式与余子式、代数余子式定义定义在一个在一个 n 级行列式级行列式 D 中任意选定中任意选定 k 行行 k 列列按照原来次序组成一个按照原来次序组成一个 k 级行列式级行列式 M，称为行列，称为行列 ( )，位于这些行和列的交叉点上的，位于这些行和列的交叉点上的 个元素个元素kn 2k式式 D 的一个的一个 k 级子式；在级子式；在 D 中划去这中划去这 k 行行 k 列后列后 式式 ，称为，称为 k 级子式级子式 M 的余子式；的余子式； M 余下的元素按照原来的次序组成的余下的元素按照原来的次序组成的 级级 行列行列 nk 假设假设 k 级子式级子式

2、 M 在在 D 中所在的行、列指标分别是中所在的行、列指标分别是 ，则在，则在 M 的余子式前的余子式前1212, , ;,kki iijjjM 后称之为后称之为 M 的代数的代数1212( 1)kkiiijjj 加上符号加上符号余子式，记为余子式，记为 . 1212( 1)kkiiijjjAM 注：注： k k 级子式不是唯一的级子式不是唯一的. .（任一（任一 n 级行列式有级行列式有 个个 k 级子式）级子式） kknnC C时，时，D本身为一个本身为一个n级子式级子式kn 时，时，D中每个元素都是一个中每个元素都是一个1级子式；级子式；1k 二、拉普拉斯二、拉普拉斯(Laplace)定

3、理定理引理引理行列式行列式 D 的任一子式的任一子式 M 与它的代数余子式与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中的展开式中的一项，而且符号也一致的一项，而且符号也一致Laplace 定理定理由这由这 k 行元素所组成的一切行元素所组成的一切k级子式与它们的级子式与它们的设在行列式设在行列式 D D 中任意取中任意取 k ( )k ( )行，行，11kn 代数余子式的乘积和等于代数余子式的乘积和等于 D即即假设假设 D 中取定中取定 k 行后，由这行后，由这 k 行得到的行得到的 k 级子式级子式那么那么 .1122.ttDM AM AM A12

4、,tA AA，它们对应的代数余子式分别为，它们对应的代数余子式分别为12,tMMM为为11111111111111110000*kkrkkkrkkkrrrrrraaaabbaaDbbaabbbb 时，时，1122ttDM AM AM A1k 即为行列式即为行列式 D 按某行展开；按某行展开； 注：注：为行列式为行列式 D 取定前取定前 k 行运用行运用Laplace 定理结果定理结果 12 1 401 2 110 1 30 13 1D 例例1：计算行列式：计算行列式 解：解： 11 22,1 0M 21 10,1 1M 31 41,1 3M 52 46,0 3M 42 12,0 1M 61 4

5、11 3M 它们的代数余子式为它们的代数余子式为1 3 1 2101( 1)00 1A 1 3 2 421 1( 1)21 1A ,1 3 2 331 2( 1)51 3A 1 3 1 240 1( 1)00 1A ,4 1 1 350 2( 1)00 3A 1 3 1 2601( 1)00 1A ,.( 2) 10 ( 2)( 1) 52 06 0( 1) 07D 三、行列式乘法法则三、行列式乘法法则设有两个设有两个n n 级行列式级行列式11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb 其中其中1 12 2ijijiji

6、n njca ba ba b11121212221212nnnnnnccccccD Dccc 那么那么1,nikkjka b ,1,2,i jn 证：证：作一个作一个2n级的行列式级的行列式11111111000011nnnnnnnnaaaaDbbbb 11111111nnijijnnnnnnaabbDabaabb 由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 又对又对D作初等行变换：作初等行变换：11222,1,2, .iinininnra ra ra rin 可得可得11111111000011nnnnnnnnccccDbbbb 这里这里1 12 2,1,2, .ijijijin njca ba ba bi jn1 2(1)2( 1)( 1)nnnnijijDcc 1 12 2,1,2, .ijijijin njca ba ba bi jn 从而从而 ,ijijijabc 例例2：证明齐次性方程组：证明齐次性方程组12341234123412340000axbxcxdxbxaxdxcxcxdxaxbxdxcxbxax 只有零解其中只有零解其中 不全为不全为0, , ,a b c d证：证：abcdbadcDcdabdcba 系数行列式系数行列式 2abcd abcdbadc badcDDDcdab cdabdcba dcba 22222222222