考点11数列的综合应用

1、温馨提示： 此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。 考点11 数列的综合应用一、解答题1.（2012·大纲版全国卷高考理科·22）（12分）函数f，定义数列如下：，是过两点，的直线与轴交点的横坐标.（）证明：；（）求数列的通项公式. 【解题指南】本题（）先求出直线的方程，然后利用数学归纳法进行证明，（）结合（）中的相关结论写出数列的递推公式，根据递推公式的结构特征，构造新数列，求数列的通项公式.【解析】（）用数学归纳法证明2 xnxn+13. （）当时，直线的方程为，令，解得，所以.（）假设时，结论成立，即，直线的

2、方程为，令，解得.由归纳假设知， ，即.所以，即当时，结论成立.由（）（）知，对于任意的正整数，成立.（）由（）及.设，则，数列是首项为，公比为的等比数列.所以，即数列的通项公式为.2.（2012·大纲版全国卷高考文科·18）(12分)已知数列中，前n项和.()求,.()求的通项公式.【解题指南】由，求；由，求出；求的通项公式时利用，导出与之间的关系，根据递推公式的特点，求通项公式.【解析】（），.又， .() 由题设知，.当时，. . .以上个式子的两端分别相乘，得到, 又.3.（2012·重庆高考理科·21）设数列的前项和满足其中.(1)求证: 是首

3、项为1的等比数列;(2)若,求证:,并给出等号成立的充要条件.【解题指南】利用已知条件及数列前n项和的性质可证明为等比数列.可利用数学归纳法证明第(2)问.【解析】(1)方法一:由,得,即,因为,故得.又由题设条件知,两式相减得,即,由,知,因此.综上, 对所有的成立,从而是首项为1,公比为的等比数列.方法二:用数学归纳法证明.当时, 由,得,即,因为,故所以结论成立.假设当时,结论成立,即那么这就是说,当时,结论也成立.综上可得,对任意的,因此是首项为1,公比为的等比数列.(2)方法一:当或时,显然成立.设且.由(1)知所以要证的不等式化为,即证:.当时,上面不等式的等号成立.当时,与同为负

4、;当时,与同为正.因此当且时,总有,即,上面不等式对从到求和得由此得综上,当时,有,当且仅当或时等号成立.方法二:当或时,显然成立.当时, 也成立.当时,由(1)知.下证:当时,上面不等式化为,令当时,故即所要证的不等式成立.当时,对求导得其中则即是上的减函数,故从而进而是上的增函数,因此所要证的不等式成立.当时,令则,由已证的结论知两边同乘以得所要证的不等式.综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.4.（2012·四川高考理科·20）已知数列的前项和为，且对一切正整数都成立.（）求，的值；（）设，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求出的最大值.【解题指南】（）直接把代入

5、，构造关于，的方程组求解；（）先求出数列的通项公式，再求数列的通项公式，由对数的运算性质，可知数列为单调递减的等差数列，把所有正项求和即可.【解析】（）取n=1,得 取n=2,得 又-，得 若a2=0, 由知a1=0, 若a2, 由解得，综上可得，a1=0，a2=0或.（）当a1>0时,由（I）知当, (2+)an-1=S2+Sn-1， 所以an=,所以.令. 所以数列bn是单调递减的等差数列（公差为），从而 b1>b2>>b7=，当n8时，bnb8=，故n=7时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7=.5、（2012·四川高考文科·20）已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立.（）求数列的通项公式；（）设，当为何值时，数列的前项和最大？【解析】（）取n=1,得 若a1=0,则s1=0, 当n. 若a1. 当n 两式相减得2an-2an-1=an，所以an=2an-1（n2）,从而数列an是等比数列.所以an=a1·2n-1=综上，当a1 = 0时, 当a1 .（）当a1>0