第十章 能量法

1、13 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法中国地质大学工程学院力学课部23 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法第十章 能量法10.1 概述10.2 应变能.余能10.3 卡氏定理10.4 用能量法解超静定问题*10.5 虚位移原理及单位力法33 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法10.1 概述能量原理能量原理：固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理。能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚

2、广的有限元法求解力学问题的重要基础。 前面解决了强度问题（简单变形组合变形） 刚度问题怎么办？1、能否避免组合变形的微分方程？2、能否只求出若干控制点的变形，避免求整个变形曲线 用揭示本质法寻根 能量法43 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法1. 能量法：能量法：利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2. 能量法的应用范围十分广泛：能量法的应用范围十分广泛：（1）线弹性体；非线性弹性体（2）静定问题；超静定问题（3）是有限单元法的重要基础o 优点：优点：o 1. 不管中间过程，只算最终状态o 2. 能量是标量，容易计算

3、53 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法10.2 应变能.余能一、条件一、条件大前提：1、小变形小变形； 2、服从胡克定律线弹性体线弹性体的响应（内力、应力和变形）为外载的线性函数小前提：缓慢加载缓慢加载变力做功，功只转成变形位能（不转成动能、热能）63 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法基于能量守恒原理，外力功在数值上等于存储在弹性体内的变形能。 即 U=W2. 杆件的变形能 例如，图示悬臂梁，在自由端受到集中力P作用。外力功：PW21UUU变形能：或QMUUU在数值上，U=W73 May 2022材料力学教学课

4、件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法外力功的表达式外力功的表达式思考：外力功在P-曲线上的几何意义?线弹性小变形下的外力功PPdW2100PdW载荷-位移(P-D)曲线静加载下的外力功83 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法内力功（变形能）的表达式内力功（变形能）的表达式应力-应变(-)曲线线弹性材料的弹性比能21u弹性材料的弹性比能0du93 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法直杆的轴向拉伸与压缩直杆的轴向拉伸与压缩 *以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*长为L的线弹性直杆，其截面抗拉压刚度为EA 。当轴

5、力N=常数时，杆的变形能为EALN2222lLEAlN21EALNALEANANVU2)(21212LLdxxlLEAEAdxxNU22)(22)(LNEAdxxNU2)(2EALNUN22niiiiiAELNU122U=W=当轴力N=N(x)时，杆的变形能为103 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法圆轴扭转圆轴扭转*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*而且杆件为等截面圆杆（实心、空心、薄壁）*长为L的等截面圆杆，其截面扭转刚度为GIp 。当扭矩MT=常数时，杆的变形能为pTGILM2222LGIpTM21pTApTAGILMdAIMGLLdAGU2)(

6、2212222LLppTdxdxdGIGIdxxMU2222)(LpTMGIdxxMUT2)(2pTMGILMUT22nipiiiTiIGLMU122U=W=当扭矩MT=MT(x)时，杆的变形能为113 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法平面弯曲直梁平面弯曲直梁*以上分析，杆件均为线性弹性材料制成*而且只考虑了弯曲正应力产生的变形能*长为L的等直杆，横截面弯曲刚度为EI 。当弯矩M=常数时，杆的变形能为EILM222)(2yEIL M21ALdAEU221 LLdxyEIEIdxxMU2222)(LMEIdxxMU2)(2EILMUM22niLiiiii

7、IEdxMU122U=W=当弯矩M=M(x)时，杆的变形能为AdAyIMEL22)(2EILM22123 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法比较基本变形杆件的变形能计算公式比较基本变形杆件的变形能计算公式变形能=内力功=(内力2)杆件长度2(杆件刚度) lP21TM21M21EALN22pTGILM22EILM22eWUVudVUVdVG221VdVE221VdVE221EALN22pTGILM22EILM22变形能=弹性比能杆件的体积133 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法弯曲切应力产生的变形能弯曲切应力产生的

8、变形能2242yhIFSGALPbdyyhGILFLdAGUhhSAFS5348222/2/222222解：在梁的长度方向上，FS=P；0 x4h，D10h，D 1；并知1、2两杆的杆长为l。试用余能定理计算各杆的内力。 解：取D处的支反力X为多余未知力。基本静定系统如图b。FBDCA132 (a)BA(b)DC132XF 由图b的平衡得各杆轴力：XFXFFFNNN321 cos2493 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法余能密度为：1010021cos2) 1(1ddd111nnnNnccAXFKnKAFKvv103) 1(1d3nncAXKnvXFX

9、FFFNNN321 cos2BA(b)DC132XF 503 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法注意到D处的变形相容条件 D=0 及余能定理 D=Vc / X解得nNNnNFFFFFX/1221/123coscos2coscos21总余能为11332211coscos22) 1(nnnccccAXAXFKnlAVvVvVvV这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为这种以力为基本未知量，把它的求解当作关键性问题的方法称为513 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例 试用卡氏第二定理求图a所示刚架的支反

10、力。已知两杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力对刚架变形的影响。 解：取B处的支反力X为多余未知力。基本静定系统如图(b)。BD段xXxMXxxM)()(各段弯矩及其对X的偏导如下eMa=5mq=10kN/ma2a2CDBA=50kN m(a)DqAa2Ca2BMeyxX(b)DC段xXxMMXxxMe)()(523 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法注意到B处的变形相容条件 wB=0 及卡氏第二定理xXxMxMEIXVwlBd)()(1解得kN56.164333212aqMaXe进一步对图b列平衡方程，可得A处的支反力mkN2 .92)(kN56.16

11、)(kN50MFFAAyAxCA段aXyMyqMXayMe)(2)(2DqAa2Ca2BMeyxX(b)533 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例 图a所示两端固定半圆环在对称截面处受集中力F作用。环轴线的半径为R，弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对圆环变形的影响。试用卡氏第二定理求对称截面上的内力。 FR(a)543 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法解：基本静定系统如图b。 切口处相应的多余未知力分别用X1、 X2和X3表示。与X1、 X2和X3对应的广义位移分别为两切开截面的相对分开量、相对转角和相对错动量。

12、值均为0。F22FX11X2X3XX3X2（b）结合卡氏第二定理得补充方程（取1/4圆环）：) 3 , 2 , 1(0)d()()(1220iRXMMEIXVii553 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法)3 , 2 , 1(0)d()()(1220iRXMMEIXVii其中：1)()cos1 ()()cos1 (sin2)(2121XMRXMXRXRFM解得：FRXFX8) 3(2842221563 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于

13、梁的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功，这便是虚功原理虚功原理。 eiWW eiWU 外力虚功=内力虚功外力虚功=虚应变能*10.5 虚位移原理及单位力法P(实际载荷实际载荷)(单位载荷单位载荷)xdx内力：变形：MMFNT S l变形：000S0 MMFNT0000 l内力：1、虚功原理、虚功原理573 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法内力：变形：MMFNT S l变形：000S0 MMFNT0000 l内力： N lSF TM M)()d( )()(0000MdMFdlNddWTSi0000d dMMdFldNdUTSi1eW内力虚元功虚应变元

14、能外力虚功583 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法在外力作用下处于平衡的梁，任意给它一个虚位移，则外力在虚位移上所作的外力虚功等于梁的内力在虚变形上所作的虚变形功或内力虚功，这便是虚功原理。 llTllMddMQdlNd00001虚功原理的适用范围如何？虚功原理的适用范围如何？EIdxMdGIdxMdGAdxkQdEAdxNldpT00000000 , , , 线弹性、小变形条件下llpTTllEIdxMMGIdxMMGAdxkQQEAdxNN0000即线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）593 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第

15、十章第十章 能量法能量法llpTTllEIdxMMGIdxMMGAdxkQQEAdxNN0000线弹性、小变形条件下的莫尔定理（莫尔积分）其中最常用于计算梁的变形的莫尔积分lEIdxMM0对于一段同材料等截面（等刚度）梁，则ldxMMEI01下面介绍一种由图形互乘代替积分的方法603 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法2、图乘法、图乘法设M0(x)=ax+b（一段斜线），积分项)( 0CxM即当M0图中为一段斜线时，莫尔积分项等于M图的面积与M0图中与M图形心坐标对应的函数值。提问：当M图中为一段斜线时，上述结论应该怎样？dxMMl00dxbaxMl0)

16、(dxMbdxMxall00 )(baxC613 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法常见图形的形心和面积直角三角形二次抛物线二次抛物线面积1=bh/2面积2=2bh/3面积3=bh/312)832()32()42()3(2hbbbbhbbbhbb/3h3b/8b顶点hb/4b顶点h623 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例题 图示梁，求中点C的挠度。)(3845 4858232242EIqllqllEIyC利用弯矩图的对称性可简化计算。解：画出弯矩图M(图b)和M0(图c).ldxMMEI01)( 0CxM633

17、 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例题 图示梁，求载荷作用点的挠度。)(72912 923292321923292322113EIPllPlllPllEIyp解：画出弯矩图M(图b)和M0(图c).ldxMMEI01)( 0CxM643 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法3、力法正则方程、力法正则方程 例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到包含未知反力的静定结构，称为静定基。利用叠加原理，分别画出外载荷（图b)；支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。0232231EIL

18、XEILXyyqAA02221EILXEILXqAA式中， 分别表示外载荷在静定基中X1和X2方向上产生的位移。PAPAy,653 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法按照归一化要求，改写002222112212211111XXXXPP式中， 为Xi 方向上的总位移；i 为外载荷(P)在静定基中在Xi 方向上的位移；Pi 为未知反力Xj =1在静定基中作用在Xi 方向上的位移；ij上式称为力法正则方程， 称为柔度系数。ij663 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法ljiijlipPidxMMEIdxMMEI00011利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为提问 ：对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘法，要作几次图乘？三次静不定问题呢? 提问 ：运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性 ij= ji673 May 2022材料力学教学课件材料力学教学课件第十章第十章 能量法能量法例题 悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。求支反力。解：画静定基（图a)，分别画弯矩图b-d；EIPlllPlEIP485)65)(2221(131EIPllPlEIP8)1)(2221(122EIllllEI3)32)(2(1311EIllEI)1)(1(122EIlllEI2)