广东广州高二数学上学期期末考试试题含解析新人教A版

1、2012-2013学年广东省广州市高二(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. (5分)已知全集U=1,2,3,4,5,集合A=1,3,则？uA=()A.?B.1,3C.2,4,5D.1,2,3,4,5考点：补集及其运算.分析：根据补集的定义直接求解：？uA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合.解答:一解：根据补集的定义，？uA是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2,4,5符合元素的条件.?uA=2,4,5故选：C.点评：本题考查了补集的定义以及简单求解，

2、属于简单题.2. (5分)已知点P(3,-4)是角“终边上的一点，则tana=()A._JB._£C.D.g|1|1口|昌_考点：任意角的三角函数的定义.专题：三角函数的求值.分析：直接利用正切函数的定义，即可得到结论.解答：解：二点P(3,-4)是角“终边上的一点，故选A.点评：本题考查正切函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题.3. (5分)若直线y=ax+3与直线y=-2x+a垂直，则实数a的值为()A.-2B.2C.J.D.工|_|3|同_考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系.专题：直线与圆.分析：由给出的直线的方程求出两条直线的斜率，因为两条直线互相垂直，所以斜率之积

3、等于-1,列式后可以求得实数a的值.解答：解：直线y=ax+3的斜率为k1=a,直线y=-2x+a的斜率为k2=-2.因为直线y=ax+3与直线y=-2x+a垂直，所以k?k2=-1,即ax(-2)=-1,解得：a.2故选D.点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，解答此类问题时，如果不需要讨论,可以求出两直线的斜率，利用斜率之积等于-1解决，若y的系数含有字母，可直接利用两直线Ax+Biy+G=0与Ax+B2y+C2=0垂直的充要条件为AiAz+BB2=0解决.此题是基础题.4. （5分）要用一根铁丝焊接围成一个面积为9的矩形框，不考虑焊接损耗，则需要铁丝的长度至少为（）A.24B

4、.12C.6D.3考点：基本不等式；函数最值的应用.专题：不等式的解法及应用.分析：设矩形的长为x,宽为v,则xy=9,铁丝的长度为2（x+y）,利用基本不等式，即可得到结论.解答：解：设矩形的长为x,宽为y,则xy=9，铁丝的长度为2（x+y）R2?2d=12当且仅当x=y=3时，铁丝的长度最小为12,故选B.点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.A|、5. （5分）如图，在边长为2的正方形ABCDrt随机取一点P,分别以AB、C、D为圆心、1为半径作圆，在正方形ABCg的四段圆弧所围成的封闭区域记为M（阴影部分），则点P取自区域M的概率是（）B.TTC.1

5、兀D.“11._4。2考点：几何概型.专题：概率与统计.分析：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是正方形面积S=2X2,而阴影部分区域可以看作是由边长为2的正方形面积减去半径为1的圆的面积得到，最后利用几何概型的概率公式解之即可.解答：解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的所有事件是矩形面积S=2X2=4,阴影部分区域的面积是4-兀，由几何概型公式得到P=1,44故选C.点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键求阴影部分的面积，同时考查了计算能力，属于中档题.6. （5分）某几何体的三视图（均为直角三角形）及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为得黑图A.1B.2C.工D.

6、1IBI国色II_考点：由三视图求面积、体积.专题：空间位置关系与距离.分析：先根据三视图判断出几何体的形状及长度关系，然后利用棱锥的体积公式求出几何体的体积.解答：解：由三视图知，该几何体为底面为直角边长分别为1和2的直角三角形，一条侧棱垂直底面，几何体的高为1,，该几何体的体积为V=lshJxlxiX2X1=l3323故选B.点评：解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决.7. （5分）函数f（x）=4二-2的零点所在的区间为（）A.B.C.D.考点：函数零点的判定定理.专题：探究型.分析：利用根的存在定理，分别判断，各区间端点处函数

7、值的符合是否相反，从而确定零点所在的区间.解答,解：函数f（K）二爪-2在（0,+8）上单调递增.咽咚-&<O,f二五-2二1-2<0,:'专号<0,f=所以；/,所以根据根的存在性定理可知函数f(工)二q-2的零点所在的区间为故选D.点评：本题主要考查函数与方程的关系，利用根的存在定理去判断函数零点所在区间，是解决本题的关键.8. (5分)已知等差数列an的首项为4,公差为4,其前n项和为S,则数列=!_的前nSn项和为()A.B.C;D2(口+1)如(n+1)n(nfl)n+1考点：数列的求和；等差数列的性质.专题：等差数列与等比数列.分析：利用等差数列的

8、前n项和即可得出再利用“裂项求和”即可得出数列，的前n项和.解答：解：n=4n+n-”M4=2n2+2n,二T二占，.Sn2n2+2n2nn+1数列_L的前n项和Sr=Wa”)+=-)-=.2223nn+12n+12(n+1)故选A.点评：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键.9. (5分)在长方形ABCM,AB=2,AD=1,则而,而=()A.4B.2C.-2D.卜4考点：平面向量数量积的运算.专题：计算题.分析：依照向量模的几何意义求出两向量的模，再求出夹角，计算即可.解答：解：易知田匕2五，I而|二2，所以原式=|AC|*|CDI*cos(1MO"45&qu

9、ot;)=2、,反x2x(-)=-4故选D点评：本题考查向量数量积的基本运算，属于基础题.此题易错点在于两向量夹角应为135°,而非45°.10. (5分)设函数f(x)的定义域为R,若存在与x无关的正常数M,使|f(x)|WM|x|对一切实数x恒成立，则称f(x)为有界泛函.有下面四个函数：f(x)=1;f(x)=x2；f(x)=2xsinx;其中属于有界泛函的是()A.B.C.|D.考点：函数恒成立问题.专题：计算题；新定义.分析：本题考查阅读题意的能力，根据有界泛函的定义进行判定：对于可以利用定义直接加以判断，对于可以利用绝对值的性质将不等式变形为|x|忘日对于，即|

10、2sinx|WM只需M>2,对于，将不等式变形为|wm可以求出符合条件的m的最小值J+x+2解答：解：对于，显然不存在M都有1WM|x|成立，故错；对于，|f(x)|=|x2|WM|x|,即|x|WM不存在这样的M对一切实数x均成立，故不是有界泛函；错对于，f(x)|=|2xsinx|<M|x|,即|2sinx|<M,当M>2时，f(x)=3xsinx是有界泛函.对对于，|f(x)二T-1)|wM|x|,即|=WM只需义x+x+2x+x+2x"+x+24对综上所述，故选B点评：本题属于开放式题，题型新颖，考查数学的阅读理解能力.知识点方面主要考查了函数的最值及

11、其几何意义，考生需要有较强的分析问题解决问题的能力，对选支逐个加以分析变形，利用函数、不等式的进行检验，方可得出正确结论.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. (5分)已知哥函数f(x)=x"的图象过点(2,则函数f(x)的定义域是0,+00).考点：哥函数的概念、解析式、定义域、值域.专题：函数的性质及应用.分析：依题意可求得a=2,从而可求f(x)的定义域.解答：解：二d(x)=x”的图象过点(2,42),-2"=近，a=工,22.f(x)=x2,，函数f(x)的定义域是0,+8).故答案为：0,+8).点评：本题考查募函数的性质，求得“是关键，属

12、于基础题.12. (5分)如图给出的是计算二值的一个程序框图，当程序结束时，n的值23n为2013.考点：循环结构.专题：计算题.分析：利用循环结构的功能和判断框即可得出.解答：解：当i=2012时，i<2013,执行“是"后得到i=2013,2013<2013不成立，执行“否”，输出S.故答案为2013.点评：正确理解循环结构的功能和判断框是解题的关键.13. (5分)已知ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,4,0),B(2,0,3),C(2,2,z),若/C=90,则z的值为-1或4.考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系.专题：计算题；平面向量及应用.分析：.一-一

13、一，一一，一，一八由/C=90,可得AC*BC=0,利用向量的数量积运算可求得z值.解答：一_一解：AC=(0,-2,z),BC=(0,2,z-3),因为/C=90,所以ACBC=0,即0-2X2+Z(z3)=0,解得z=-1或4,故答案为：-1或4.点评：本题考查利用数量积判断两个向量的垂直关系，属基础题.14.(5分)设实数x,y满足*则x2+y2的取值范围是8,34x+y-4>0考点：简单线性规划.专题：计算题；不等式的解法及应用.分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，设P(x,y),可得x2+y2=|OP|2表示。P两点距离的平方之值，因此运动点P并加以观

14、察可得|OP|的最大、最小值，即可得到x2+y2的范围.解答：阵3解：作出不等式组4x-尹20表示的平面区域，x+y-4>0得到如图的ABC及其内部，其中A(3,5),B(3,1),C(1,3)设P(x,y)为区域内一个动点则10P|=匕十户因此x2+y2=|OP|2表示。P两点距离的平方之值当P与A重合时|OP|=/I”M兄达到最大值，当P与原点O在BC上的射影D重合量，|OP|=32=*=2d历达到最小值，|OP|2的最小值为8,最大值为34,即x2+y2的取值范围是8,34故答案为：8,34£点评：本题给出二元一次不等式组，求x2+y2的取值范围，着重考查了两点的距离公式

15、、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程15. (12分)在平面直角坐标系xOy中，已知A(3,1),C(1,0).(1)求以点C为圆心，且经过点A的圆C的标准方程；(2)若直线l的方程为x-2y+9=0,判断直线l与(1)中圆C的位置关系，并说明理由.考点：直线与圆的位置关系；圆的标准方程.专题：直线与圆.分析：（1）因为圆C的圆心为C（1,0）,可设圆C的标准方程为（X-1）2+y2=r2.把点A（3,1）代入圆C的方程求得r2=5,从而求得圆C的标准方程.（2）由于圆心C到直线l的距

16、离为弓二旦不孳竺二2旄，大于半径，可得直线lV22+l2与圆c相离.解答：解：（1）因为圆C的圆心为C（1,0）,可设圆C的标准方程为（X-1）2+y2=r2.因为点A（3,1）在圆C上，所以（3-1）2+12=r2,即r2=5.所以圆C的标准方程为（x-1）2+y2=5.（2）由于圆心C到直线l的距离为弓二旦开冬工M二2泥.V22+l2因为2烟>低,即d>r,所以直线l与圆C相离.点评：本小题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系等基础知识，点到直线的距离公式的应用，属于中档题.16. （12分）已知函数f（x）=sinx+/scosx,kER.（1）求函数f（x）的最小正周期

17、；（2）若f（Q-工）（0,工），求f（2口-工）的值.3523考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法.专题：三角函数的求值.分析：（1）利用两角和的正弦公式及周期即可得出；（2）利用（1）及已知可得sina,进而得到cosa,于是可得f（2d-工）3解答：解：（1）=S）=sinx+V3cosx=2（lsinx+X2COSI）=2sin（k+f）.所以函数f（x）的最小正周期是2兀.（2）由（1）得，f（工）=2台in（k+?）.因为f（Q-三）所以f（CL-工）=2sin（Q-"+"）=2sinCl=-.353335即,.ii：.5因为（0，今），所以

18、二也-sin2cl附所以：一:口）二-:-：;i.:口.=4sinacosa点评：本小题主要考查周期的概念，考查三角恒等变换的运算以及化归与转化的数学思想.17. （14分）对某校高二年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取N名学生作为样本,得到这N名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率3,6)10m6,9)nP9,12)4q12,1520.05合计N1（1）求出表中N,p及图中a的值；（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于9次的学生中任选2人，求至少有一人参加社区服务次数在区间12,15内的概率.考点：古典概型及其概率计算公式

19、；频率分布直方图.专题：概率与统计.分析：（1）由分组12,15）内的频数是2,频率是0.05,可得常0。5,所以N=40.再由10+n+4+2-40,解得n-24,由此求得中31以及已的值.PR3解答：解：（1）由分组12,15）（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间12,15）内”为事件A.这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2-6人.从这6人中任选2人的所有可能结果，用列举法求得共15种，事件A包含的Z果有9种，由此求得事件A发生的概率.内的频数是2,频率是0.05,可得上0所以N=40.N1因为频数之和为40,所以所以，二6DN40U'O10+n+4+2-40

20、,解得n-24.因为a是对应分组6,9）的频率与组距的商，所以，2.33（2）记“至少有一人参加社区服务次数在区间12,15）内”为事件A.这个样本中参加社区服务次数不少于9次的学生共有4+2-6人.记在区间9,12）内的4人为a1,a2,as,a,，在区间12,15）内的2人为bbb2.从这6人中任选2人的所有可能结果有：a1,a2,ai,as,a1,a4,a1,bi,a1,b2,a2,as,a2,aa2,n,a2,bz,as,aj,as,b,as,b?,a,，b,a4,b?,bbb?,共15种.事件A包含的结果有：a1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,as,b1,as,b2,a4

21、,b1,a4,b2,bbb2,共9种.所以所求概率为P(A)二且且0.6.155点评：本小题主要考查频数、频率等基本概念，考查古典概型等基础知识，属于基础题.18. (14分)如图所示，AB是。0的直径，点C是。0圆周上不同于A、B的任意一点，PAL平面ABG点E是线段PB的中点，点M在标上，且MO/AC(1)求证：BCL平面PAC(2)求证：平面EOM平面PAC考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：(1)由PAL平面ABC证出PALBC由直径所对的圆周角证出BCLAC再利用线面垂直判定定理，即可证出BCL平面PAC(2)根据三角形中位线定理

22、证出EO/PA从而得到EO/平面PAQ由MO/AC证出MO/平面PAC再结合面面平行判定定理即可证出平面EOM平面PAC解答：解：(1)二.点C是以AB为直径的。0圆周上不同于A、B的任意一点，/ACB=90,即BCLAC PAL平面ABCBC?平面ABC .PALBC .AC?平面PACPA?平面PACA6PA=A, BCL平面PAC(2)二点E是线段PB的中点，点O是线段AB的中点，EO/PA PA?平面PACEC?平面PACEO/平面PAC MO/AGAC?平面PAGMO平面PAC .MO/平面PAC EO?平面EOMMC?平面EOMEOHMO=O 平面EOM平面PAC本题给出特殊锥体，

23、求证线面垂直并证明面面平行，着重考查直线与平面垂直的判定、平面与平面平行的判定定理等知识，考查空间想象能力，属于中档题.*19. (14分)已知数列an满足ai=1,a+1=a+X*2n(nN，入为常数)，且ai,a2+2,a3成等差数列.(1)求入的值；(2)求数列an的通项公式；(3)设数列bn满足bn=n,证明：bn上.an+316考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合.专题：等差数列与等比数列.分析：(1)利用数列递推式，结合a1,az+2,a3成等差数列，即可求入的值；(2)由己工尸；a(nCN),可得a-a_l=gn(n>2),利用叠加法，结n+1nn一口i合等比数列的求和

24、公式，即可求数列an的通项公式；(3)确定数列bn的通项，可得其单调性，即可证明结论.解答：(1)解：因为a1=1,%+1=0rl+12力(neN*),所以a7=a1+人21=1+2K，a1=a9+X2=1+6-因为aba2+2,a3成等差数列,所以a1+a3=2(az+2),即2+6X=2(3+2入)，解得入=2.(2)解：由(1)得，入=2,所以己自+1二&仇+2"1(nCN*),所以a-ai=Z"(n>2).当n>2时)an=a1+(%a1)+(a3a2)+(anan-1)=1+22+23+2n=11于"-2""=2匚3.1-2又a1也适合上式,所以数列(-8,(3)证明：由(a的通项公式为_n11+1-2(nCN)."一上。22)得，二2.-3,所以二飞(口+1)22n+2n，-n2+Zn+l2n+1(n-1)2+2I*21叱1当n>3时，(n1)2+2v0,所以当n>3时，bn+ibn0,即bn+ibn.又国飞上门检所以屋1>3脸(近”单调性等基础知识以及运算求解能本小题主要考查等差数列的概念，考查数列求和、力、推理论证能力等.20. (14分)设a为常数，aCR,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x