广东佛山高二数学上学期期末试卷理含解析

1、广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）（5分）的短轴长为（）A.B.C.2二D.42.（5分）若直线ax-y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A.-2B.-1C.°D,123.（5分）圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心坐标为（）A.（T,2）B,（1,-2）C.（-2,4）D.（2,-4）4.（5分）若pVq是假命题，则（）A.pAq是假命题B.pVq是假命题C.p是假命题D.q是假命题5.（5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0"，命题q：%不是正数，则它的平方等于0"

2、，则p是q的（）A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定6. （5分）已知平面a,3,直线mA.若mla,ml3,贝Ua/3n,下列命题中不正确的是（）B.若m/n,mla,贝Un，aC.若mla,m?3,则a±3D.若m/a,aA3=n,则m/n7. （5分）已知a,bCR,则“3月二1>爬二丁是“log2a>log2b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. （5分）已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2,若边MF的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）_A.痘一B.V2-1C.D.V3-122

3、9. （5分）已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M,设A为圆上任一点，N（3,0）,线段AN的垂直平分线交直线M点P,则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线10. （5分）如果对于空间任意n（n>2）条直线总存在一个平面a,使得这n条直线与平面a所成的角均相等，那么这样的n（）A.最大值为3B.最大值为4C.最大值为5D.不存在最大值二、填空题（共4小题，每小题5分,满分20分）11. （5分）已知空间向量a=（x-1,1,x）,%=（x,3,-1）,若彳，%,则x的值为.-2<012. （5分）已知变量x,y满足约束条件.资/，则z=x+y的最大值为.14.

4、（5分）如图，点A,B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2,若点A从（相，0）移动到（加，0）,则AB中点D经过的路程为.三、解答题（共6小题，满分80分）15. （12分）如图，等腰直角ABC的直角顶点C（0,-1）,斜边AB所在的直线方程为x+2y8=0.（1）求ABC的面积；（2）求斜边AB中点D的坐标.16. （12分）如图，正方体ABC-A1B1C1D中，点F为A1D的中点.(I)求证:AB/平面AFC(n)求证：平面AiBiDL平面AFC17.(14分)在平面直角坐标系xOy中，圆C的面积.(1)求圆C的方程；(2)过原点O的直线11将圆C的弧长分成C与x轴、y轴者B相切，直

5、线l:x+y4=0平分圆1:3的两部分，求直线li的斜率.18.（14分）如图1,在4PBC中，/C=90,PC=4,BC=3,PDDC=53,ADLPB,将PAD沿AD边折起到SA愉置，如图2,且使SB=/13，(I)求证：SAL平面ABCD(n)求平面SABW平面SCD所成锐二面角的余弦值.斜率为匕、k2,试探求匕、19. (14分)已知曲线C:x2=-2py(p>0),点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0.(I)求曲线C的方程；(II)点A、B是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P(2,0),记OAOB的k2的关系，并证明你的结论

6、.20. (14分)已知圆：x2+y2=64,圆C与圆O相交，圆心为C(9,0),且圆C上的点与圆O上的点之间的最大距离为21.(I)求圆C的标准方程；(n)在x轴上是否存在定点巳使得过点P的直线l被圆O与圆C截得的弦长d1、d2的比值总等于同一常数入？若存在，求点P的坐标及入的值，若不存在，说明理由.广东省佛山市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）221. （5分）椭圆W-+?_=1的短轴长为（）42D.4A.=B.2C.2二考点：椭圆的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：直接利用椭圆的标准方程求

7、解即可.解答:22解：椭圆-+-=1可得b=2,22椭圆+=1的短轴长为:42故选：C.点评：本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查.2. （5分）若直线ax-y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A.-2B.-1C.1D.1考点：专题：分析：解答:2直线的一般式方程与直线的平行关系.直线与圆.利用直线平行的充要条件即可得出.解：:直线ax-y+1=0与直线2x+y+2=0平行,卢解得a=-2,21尸2故选：A.点评：本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题.3. (5分)圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心坐标为()A.(-1,2)B,(1,-2)C.(2,4)D,(2

8、,-4)考点：圆的一般方程.专题：计算题；直线与圆.分析：由方程x2+y2-2x+4y+3=0可得（xT）2+（y+2）2=2,即可得到圆心的坐标.解答：解：由方程x2+y2-2x+4y+3=0可得（x-1）2+（y+2）2=2,，圆心坐标为（1,-2）.故选：B.点评：本题考查了圆的标准方程及其配方法，属于基础题.4. （5分）若pVq是假命题，则（）D.q是假命题A.pAq是假命题B.pVq是假命题C.p是假命题考点：复合命题的真假.专题：常规题型.分析：由题意，可得p,q的真假性，进而得到正确选项.解答：由于pVq是假命题，则p是假命题，q是假命题，所以p是真命题，q是假命题,所以pAq

9、是假命题，pVq是真命题，q是真命题，故选A.点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断.5. （5分）已知命题p：“正数a的平方不等于0"，命题q：%不是正数，则它的平方等于0"，则p是q的（）A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.否定考点：四种命题.专题：简易逻辑.分析：写出命题P与命题q的条件与结论，再根据四种命题的定义判断即可.解答：解：命题P：正数a的平方不等于0;命题q：%不是正数，则它的平方等于0”；满足否命题的定义，故命题P是命题q的否命题.故选：B.点评：本题考查四种命题的定义；基本知识的

10、考查.6. （5分）已知平面“，3,直线mn,下列命题中不正确的是（）A.若mla,ml3,则a"3B.若m"n,mla,则n，aC.若mla,m?3,则a，3D.若m/a,an3=n，则m/n考点：命题的真假判断与应用.专题：空间位置关系与距离.分析：利用在与平面，直线与直线的平行与垂直的判定定理以及性质定理推出结果即可.解答：解：若mla,ml3,则a/3,满足平面与平面平行的判定定理，所以A正确；若m/n,mla,则n,a,满足满足直线与平面平行的性质，所以B正确；若ml”，m?3,则满足平面与平面垂直的性质，所以C正确；若m/a,aA3=n,则miln,也可能得到m

11、,n是异面直线，所以D不正确.故选：D.点评：本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面平行与垂直的判断与性质，考查基本知识的应用.7. （5分）已知a,bCR,则“孤二>布丁丁是°g2a>啕2b”的（）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：简易逻辑.分析：分别解出关于ja_匕.以及10g2a>10g2b”的a,b的范围，从而得到答案.解答：解：由心内>五大,解得：a>b>1,由10g2a>log2b解得：a>b>0,故1>b-1是log2

12、a>10g2b”的充分不必要条件，故选：A.点评：本题考察了充分必要条件，考察二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题.8. （5分）已知Fi、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正MF1F2,若边MF的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）A.近;1B.V2-1C.,D.V3-1考点：椭圆的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：通过题意画出图形，利用勾股定理及椭圆的定义计算即得结论.22解答：解：不妨设椭圆方程为：二+A=1（a>b>0）,Jb2则M点必在y轴上，如图，连结PE,.MFF2为正三角形，PF1=3mF=F1F2=c,22PF2=VF1F22-

13、PF12=V3c=2a-c,2a=(Vs+1)c,即e，=I/可a2故选：A.点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题.9. (5分)已知圆(x+2)2+y2=16的圆心为M,设A为圆上任一点，N(3,0),线段AN的垂直平分线交直线M点P,则动点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线考点：轨迹方程.专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：已知圆(x+2)2+y2=16,易知圆心和半径.A为圆上任一点和N(2,0),线段AN的垂直平分线上任一点到两短点的距离相等且交MA于点P.有PN=PA所以PM-PN=AM=4即为动点P到两定点MN的距离之差为常数4,根

14、据双曲线的定义可得结论.解答：解：已知圆(x+2)2+y2=16,则的圆心M(-2,0),半径为4.A为圆上任一点，且AM=4N(3,0),线段AN的垂直平分线上任一点到两端点的距离相等且交MA于点P.有PN=PA所以PM-PN=AM=4即为动点P到两定点MN的距离之差为常数4,所以动点P的轨迹是双曲线.故选：C.点评：求点的轨迹方程常用的有定义法、待定系数法、直译法和间接法.其中定义法是最快捷的.这里就直接利用了双曲线的定义直接得到结论.10. (5分)如果对于空间任意n(n>2)条直线总存在一个平面a,使得这n条直线与平面a所成的角均相等，那么这样的n()A.最大值为3B.最大值为4

15、C.最大值为5D.不存在最大值考点：平面的基本性质及推论.专题：探究型.分析：分别探究直线的条数为2、3、4的情况，由线面角的定义、线线位置关系以及空间几何体进行判断.解答：解：当2条直线时，一定作出与它们都平行的平面，故这两条直线与平面所成的角是0度；当3条直线时，当它们共面时，一定存在平面与它们所成的角相等；不共面时，一定可以它们平移到一点，构成一个椎体，则存在一个平面作为椎体的底面，并且使得此底面与三条直线所成的角相等；当为4条直线时，且三条在一面内，另一条在面外，则面内3条要与一面成角等的话必须是0度，但另一条不可能也成0度，故不存在符合题意的平面.故选A.点评：本题是一个探究型的题目

16、，需要耐心的一一进行分析，可以借助于空间几何体和反例进行说明，必须做到脑中有图，考查了分析、解决问题和空间信息能力.二、填空题(共4小题，每小题5分，满分20分)11. (5分)已知空间向量a=(x-1,1,x),b=(-x,3,-1),若则x的值为二1或3.考点：空间向量的数量积运算.专题：空间向量及应用.分析：由q-Lb,可得d，b=0,解出即可.解答：解：;a±b,-b-fciab=-x(x-1)+3+x=0,化为x2-2x-3=0,解得x=3或-1.故答案为：-1或3.点评：本题考查了向量垂直与数量积之间的关系，考查了计算能力，属于基础题.2<012. (5分)已知变量

17、x,y满足约束条件,y<0，则z=x+y的最大值为？.考点：简单线性规划.专题：计算题；不等式的解法及应用.分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的AB0及其内部，再将目标函数z=x+y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当x=2且y=0时，z=x+y取得最大值2.解答：解：作出不等式组,y<0表示的平面区域，jc+y>O得到如图的AB0及其内部，其中A(2,0),B(2,-2),O为坐标原点.设z=F(x,y)=x+y,将直线l:z=x+y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点A时，目标函数z达到最大值.z最大<=F(2,0)=2

18、故答案为：27,点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题.13. （5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为16.解视因考点：由三视图求面积、体积.专题：计算题.分析：判断三视图复原的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据求出几何体的体积即可.解答：解：几何体是底面为下底为4,上底为2,高为4的直角梯形，几何体的高为4的四棱锥，顶点在底面的射影是底面直角梯形高的中点，几何体的体积为：1,12+4-V二S底xh=x-X4X4=16-332故答案为：16.点评：本题考查三视图与几何体直观图的关系，

19、判断几何体的形状以及数据对应值是解题关键.14.（5分）如图，点A,B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2,若点A从（相，0）移动到（加，0）,则AB中点D经过的路程为考点：弧长公式.分析：首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为1的圆，然后求出点D和点D'的坐标，再由弧长公式得出结果.解答：解：设AB的中点为O(x,y),则A(2x,0),B(0,2y),.AB=2 .(2x)2+(2y)2=4即x2+y2=1所以中点是以原点为圆心半径为1的圆 点A从(在，0)移动到(肥,0), .D(立，1)D'(立,及)2222tan/D'OA=1tan/DOA=；l/j

20、3/D'OD=112.而为中点走过的路径沙1=12故答案为:JT12点评：此题考查了轨迹方程的求法以及弧长公式的运用，求出中点的轨迹是解题的关键,属于中档题.三、解答题(共6小题，满分80分)15. (12分)如图，等腰直角ABC的直角顶点C(0,-1),斜边AB所在的直线方程为x+2y-8=0.(1)求ABC的面积；(2)求斜边AB中点D的坐标.<<0,-1)考点：中点坐标公式；直线的一般式方程与直线的垂直关系.专题：直线与圆.分析：(1)由点到直线距离公式求得C到AB边所在直线距离，然后由等腰直角三角形的性质求得AB的长度，代入三角形面积公式得答案；(2)由等腰直角三角

21、形斜边的高与斜边的中线重合，先求出斜边的高线所在直线方程，联立方程组求得斜边AB中点D的坐标.解答：解：(1)由点到直线的距离公式求得C到直线x+2y-8=0的距离为d=I1X0+2X(-1)根据等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的2倍可得|AB|=4巡.则一.=20；(2)AB所在的直线方程为x+2y-8=0,斜率为-工，2则AB边上的高所在直线的斜率为2,高所在直线方程为y=2x-1,，斜边AB中点D的坐标为(2,3).点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直间的关系，考查了等腰直角三角形的性质,是基础题.16. (12分)如图，正方体ABC-A1B1C1D中，点F为AiD的中点.(I)求

22、证：AB一面AFC(n)求证：平面ABQ，平面AFC.0考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.专题：空间位置关系与距离.分析：(1)根据线面平行的判定定理只需证明直线AB平行平面AFC内的直线FO即可;(2)根据面面垂直判定定理只需证明AF，平面ABCD即可.解答：证明：(1)连接BD交AC于点0,连接FO,则点0是BD的中点. 点F为AD的中点，A1B/FO又AB?平面AFC,FC?平面AFCA1B/平面AFC.(2)在正方体ABCD-ABCD中，连接BQ.ACLBDACLBB1, ACL平面BiBD,ACLB1D.又.CDL平面A1ADD,AF?平面AADD,CDLAF.又.,

23、AHA1D, .AH平面ABCD .AF?平面AFC.，平面AiBCDL平面AFG即平面AiBD，平面AFCBC点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理.17. (14分)在平面直角坐标系xOy中，圆C与x轴、y轴者B相切，直线l:x+y-4=0平分圆C的面积.(1)求圆C的方程；(2)过原点O的直线li将圆C的弧长分成1:3的两部分，求直线li的斜率.考点：直线与圆的位置关系.专题：直线与圆.分析：(1)根据直线和圆的相切关系求出圆心和半径即可求圆C的方程；(2)根据直线11将圆C的弧长分成1:3的两部分，转化为圆心到直

24、线的距离进行求解即可.解答：解：(1)由题意知，圆心C在直线1:x+y-4=0上;圆C与x轴、y轴都相切，圆心C也在直线y=x上，即圆心C(2,2),半径r=2,故圆C的方程为(x-2)2+(x-2)2=4.(2)设直线11的方程为y=kx,过原点O的直线11将圆C的弧长分成1:3的两部分,.劣弧所对的圆心角为90。，则圆心C到直线的距离d=rcos45°=2X冬班,又d=12k-2|解得k=2±三，_故直线l1的斜率是2土百.点评：本题主要考查直线和圆的方程的应用，以及圆的标准方程的求解，比较基础.18. (14分)如图1,在4PBC中，/C=90,PC=4,BC=3,P

25、DDC=53,ADLPR将PAD沿AD边折起到SA愉置，如图2,且使SB=/13.(I)求证：SAL平面ABCD(n)求平面SABW平面SCD所成锐二面角的余弦值.4!考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：(I)证明SALARSALAR即可证明S屋平面ABCD(n)延长BA,CD相交于P,连接SP,取SP的中点M连接MAMR证明/AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，求出MAMD即可求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值.解答：(I)证明：在直角三角形PBC中，PC=4,BC=3PDDC=53,所以PB=5,PD=

26、2.5,DC=1.5,因为/PADWC=90,/P=/P,所以PADAPCB所以K'，ACPBEC所以PA=2,AB=PB-PA=3,AD=1.5,SAB中，SA=PA=2SB=/13,所以sA+aB=sB所以SALAB因为AD/PB所以SALAD因为ABAAD=A所以SAL平面ABCD(n)解：在图2中，延长BACD相交于P,连接SP,取SP的中点M,连接MAMD则因为PA=SAPD=SD所以MALSP,MDLSP,所以/AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，因为SALADADLPB,SAPPB=A所以ADL平面SPB因为MA平面SPB所以ADLMA在直角三角形SPA中

27、，PA=SA=2M为SP的中点，所以SP=2/2,ma北，,_,、，_V17在4SPD中，PD=SD=2.5,M为SP中点，所以MD=上,2所以cos/AMP=工'3'MD17所以平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为组H.17点评：考查线面垂直的性质于判定定理，考查平面SABW平面SCD所成锐二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.19. (14分)已知曲线C:x2=-2py(p>0),点M是曲线C上的一个动点，过点M且与曲线C相切的直线l的方程为x+y-1=0.(I)求曲线C的方程；(II)点AB是曲线C上的两点，O为原点，直线AB与x轴交于点P

28、(2,0),记OAOB的考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程.专题：圆锥曲线中的最值与范围问题."y-1=0分析：(I)联立，,化为x2-2px-2P=0,由于直线l与抛物线相切，可得4=0,X-2py解得p即可.(II)设A(xi,yi),B(x2,y2),直线AB的方程为：y=k(x-2),与抛物线方程联立化为x2+4kx-8k=0,利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出.x+y-1=0解答：解：(I)联立，o，化为x2-2px-2P=0,X-2py直线l与抛物线相切，=4p24(2p)=0,p>0,解得p=2.，曲线C的方程为y2=-4y.(II)设A(xi,yO,B(x2,y2),直线AB的方程为：y=k(x-2),.、限J*的2联立+,化为x+4kx-8k=0,y=k(x-2)xi+X2=-4k,xiX2=8k.一寸ki=-L=-=-L1,同理可得：k2=_-.ki+k2=工+32=k,ki?k2=±L?=-上4162消去k可得：kik2=-_即二L_p1_=一2.2kF点评：本题考查了直线与抛物线相切的相切、相交问题转化为方程联立与判别式的关系、根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题.