第二章 电能质量分析中的数学方法要点

1、第二章 电能质量的数学分析方法学习要点一、傅立叶变换与波形分析 二、小波变换与电能质量扰动识别三、矢量变换与瞬时无功功率理论电能质量数学分析方法的必要性电能质量现象多样且复杂，其变化具有很强的随机性；随之而来的问题是，缺乏揭示这种动态现象本质和准确反映其特征的行之有效的（检测与识别）分析方法。只有正确识别影响电能质量的诸多因素、查明相应的起因和来源、检测、分类并统计扰动现象并确定电能质量扰动范围，才能从根本上综合治理并提高系统电能质量。 为此，研究者以多种形式、用各种数学方法及技术对电能质量扰动展开了多方面的研究与探讨。综合起来，这些方法可以归为利用各种数学变换（通过变换论域看问题）、利用各种

2、人工智能技术，以及利用人工智能和数学变换结合的方法对扰动进行数学分析，并提出相应的检测和抑制方法及技术。 1.1 傅立叶变换与波形分析方法概要傅氏级数展开结果是离散项的函数之和。因此其频谱也是离散的（而傅立叶变换频谱是连续的）。因此，对于周期电力畸变波形而言，所含高频谐波是基频整数倍次的。但是，结合工程实际发生的情况，引出了广义谐波的概念间谐波（即含有非整数倍次分量）。非正弦周期函数的傅氏分解项，其幅值通常是随频率升高而衰减的。因此，在电力谐波滤波技术中更多是对含量比重较大的低次谐波采取滤除措施。1.1 傅立叶变换与波形分析方法概要电力非正弦周期信号普遍具有镜相对称性，因此常常只含有奇次谐波（

3、谐波含量与坐标位置的选择无关）。按照换流脉动数的不同，畸变分量主要含有 （pk1, 如6k 1或12k 1)次谐波。5. 傅立叶变换是对时间函数信号的全频域转换，其统计频谱将散布于整个频带。6. 它是整个时间域内的积分，没有局部化分析（时变非平稳信号）特征的功能，完全不具备时域信息。全频域分析的波形例，统计频谱将散布于整个频带 但是，对于那些有显著局部特性的信号，如图所示，该如何处理？1.1 傅立叶变换与波形分析方法概要7. 数字化过程产生的问题：频谱混叠效应，泄漏效应（应满足奈魁斯特定理）。8. 傅里叶算法满足的基本性质之一是，正弦和余弦函数（波形）满足正交性。 由此，可根据其性质及函数的周

4、期性推导出求解傅立叶系数（an,bn）的简要公式和高效算法（FFT等）。1.2 离散傅氏变换的三种变换方法1）DFT：傅立叶变换的离散化与数字化处理的结果。其计算精度低于连续傅立叶变换。缺点：计算时间长。2）FFT：是DFT的快速算法。（速度提高了一个数量级以上）。可以实现数字集成化和实时处理。FFT有多种计算方法（常用的有基2算法，并且可将电压电流合成为一个复数，实现同时求解两个结果的快速算法，缩短了检测时间，十分实用。其合成与分解过程见书中公式推导）。1.2 离散傅氏变换的三种变换方法3）SFFT：也称加窗傅立叶变换。 根据被分析信号的特征和需要，在限定时间段内对函数平移延伸后的频域分解（

5、把非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加。），这在工程应用中是常见的问题 。 窗函数的选取。已知，频域分辨率和时域分辨率的乘积为常数。这限制了两项分辨率的同时提高。 SFFT通过损失频域的分辨率，增加了时域的分辨率。这是解决一对矛盾体常用的折衷办法。1.3 信号分析中要解决的 两个常见和主要的问题 一是滤除噪声，二是数据压缩一是滤除噪声，二是数据压缩 在对电能质量的分析中，所谓滤除噪声，如果从因果关系的反向思维来看问题，可以通过提取有用的信号成分，将小于相应阈值的所谓无用分量舍弃掉，对留下的大于阈值的成分进行重构，从而获得我们所关心的相关电能质量的信息。例如，谐波分解、基波无功补偿和各种滤波

6、算法。又如，若已知信号变化为周期性的，则应用傅立叶级数算法，事物的主要矛盾就抓住了。 又如，对于电压陷波的分析，如果采用频域数学方法，则不能明朗地反映其特征。因此，采用针对性的陷落深度和宽度来表征陷波是有效的。2.1 小波变换与电能质量扰动识别傅立叶级数的一个缺点：傅立叶级数的一个缺点： 它的它的构造块是无始无终的周期正弦波和余弦波构造块是无始无终的周期正弦波和余弦波。该方法适。该方法适合滤除或压缩那些具有近似周期性的波动信号，而对另外一些合滤除或压缩那些具有近似周期性的波动信号，而对另外一些具有显著局部特性的信号，其正弦项和余弦项（利用周期分量具有显著局部特性的信号，其正弦项和余弦项（利用周

7、期分量的幅值大小和变化频率量）无法很好地模拟该信号。这是因为的幅值大小和变化频率量）无法很好地模拟该信号。这是因为无始无终的周期正弦和余弦构造块完全仅从频率域看问题，显无始无终的周期正弦和余弦构造块完全仅从频率域看问题，显然对时域变化为重要特征的信号是无能为力的。然对时域变化为重要特征的信号是无能为力的。 另类构造块另类构造块小波小波（仅持续了一两个周期的波动性函（仅持续了一两个周期的波动性函数），数），可用于模拟上述信号。即对给定信号，首先把它展开成可用于模拟上述信号。即对给定信号，首先把它展开成小波的平移和伸缩之和，然后把欲舍弃项的系数去掉或进行适小波的平移和伸缩之和，然后把欲舍弃项的系数

8、去掉或进行适当修改，来实现信号的滤波、或信号的压缩与重构。当修改，来实现信号的滤波、或信号的压缩与重构。2.2小波变换与电能质量扰动识别 小波变换原理与应用是近十多年来时冷时热的研究方向，在电力系统的应用主要表现在突变量的检测，扰动现象分类，事件的事后分析等方面。 本内容将结合电压暂降与短时间间断做介绍。3.1 矢量变换与瞬时无功功率理论1. 120 变换（对称分量法）2. 变换、变换、 变换变换(3/2变换变换)瞬时无功功率理论 （另立专题介绍）4. 矢量变换在电能质量分析与控制中的应用矢量变换在电能质量分析与控制中的应用 dq 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换一、从异步电动机矢

9、量控制的基本思想出发一、从异步电动机矢量控制的基本思想出发各物理量间是相互关联的强耦合，并且其转矩正比于主磁通与电流，而这两个物理量是随时间变化的函数，在异步机数学模型中将出现两个变量的乘积项，因此又为多变量, 非线性系统(关键是有一个复杂的电感矩阵), 这使得建立异步电动机的准确数学模型相当困难。为简化电机的数学模型,须从简化磁链关系入手. 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换从简化磁链关系入手简化电机的数学模型从简化磁链关系入手简化电机的数学模型解决的思路与基本分析：解决的思路与基本分析： 1.已知，三相( ABC )异步电动机的定子三相绕组空间上互差120度，且通以时间上互差12

10、0度的三相正弦交流电时，在空间上会建立一个角速度为 的旋转磁场。 又知，取空间上互相垂直的（ , )两相绕组（静止），且在绕组中通以互差90度的两相平衡交流电流时，也能建立与三相绕组等效的旋转磁场。 此时的电机数学模型有所简化.一、从异步电动机矢量控制的基本思想出发一、从异步电动机矢量控制的基本思想出发 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换2. 基于直流电机可知F-励磁绕组 轴线-主磁通的方向,即轴线在d轴上,称为直轴(Direct axis).A-电枢绕组 轴线-由于电枢绕组是旋转的,通过电刷馈入的直流电产生电枢磁动势,其轴线始终被限定在q轴,即与d轴成90度,称为交轴(Quadra

11、ture axis). 由于q轴磁动势与d轴主磁通成正交, 因此电枢磁通对主磁通影响甚微. 换言之,主磁通唯一地由励磁电流决定, 由此实现磁链解耦，从而建立直流电机十分简化的数学模型. 如果能够将三相交流电机的物理模型等效的变换成类似的模型，分析和控制就变得大大简单了。 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势电机模型彼此等效的原则：不同坐标系下产生的磁动势(大小、旋转）完全一致。大小、旋转）完全一致。关于旋转磁动势的认识：1) 产生旋转磁动势并不一定非要三相绕组不可。 除了单相电机之外，两相、三相或四相等任意对称（空间）的多相绕组，若通以平

12、衡的多相电流，都可产生旋转磁动势。 根据这一道理，利用其在空间上互差90度的静止绕组，并通以时间上互差90度的平衡交流电流，同样可产生旋转磁场（或磁动势F），因而可等效代替三相绕组的作用。这就是ABC (3-2)变换的思路。2) 进而认识到，若直流电机电枢绕组以整体同步速度旋转，在与其正交或垂直的绕组上分别通以直流电流，产生的合成磁动势F相对于绕组是固定不变的，但从外部看，它的合成磁动势也是旋转的。因此还可产生 d q(2-2)变换。两极直流电机物理模型等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模型（a）三相交流绕组（b）两相交流绕组 （c）旋转直流绕组矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换

13、小结矢量变换控制的基本思想：（1）通过数学上的坐标变换方法，把交流三相绕组中的电流变换为两相静止绕组中的电流。可以使数学模型的维数降低，参变量之间的耦合因子减少，使系统数学模型简化。（2）如果变换得到正交的两维变量，则可以实现解耦控制，进一步简化控制模型，便于实现应用。1 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换三相交流绕组三相交流绕组空间互差120，时间上互差120 三相平衡交流电(A,B,C)三相静止坐标 两相交流绕组两相交流绕组空间互差90 ，时间上互差90 两相平衡交流电(， )两相静止坐标 整体旋转直流绕组整体旋转直流绕组空间互差90 ，通以直流电流(d， q)磁动势与坐标系一起

14、旋转11以产生同样的旋转磁动势为准则，可以用以下关系来表示以产生同样的旋转磁动势为准则，可以用以下关系来表示 二、坐标变换二、坐标变换 所谓坐标变换的方法就是用一组新的变量来代替原方程中的一组变量，使得原方程（数学模型）得以简化。（弱化强耦合或解耦）。1变换原则-功率不变约束条件功率不变约束条件(能量守恒能量守恒)设电压方程为新定义的变量为 Ziu iu, 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换设电压变换矩阵为Cu，电流变换矩阵为Ci，则变换前后的电压和电流关系式为 假设变换前后功率不变，即 经代入整理后，有 为简化变换阵，一般取 uiuC uiC iuiuiuiuiTTTTPPPP()

15、TTTTiuiuTiuC iC ui C C ui uC CECCCiu 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换电压与电流变换一致性1CCECCTT将代入 则有式中, C为单元变换矩阵，这种变换属于正交变换。 因此，满足功率不变约束条件的正交变换实现了简化的统一变换关系。 1CCECCTT 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换TiuC CECCCiu1CCECCTT 23s/2s变换 三相静止轴系A-B-C到两相静止轴系 的变换 为便于分析，取三相绕组匝数相等： 取两相绕组匝数也相等：得到两相绕组的旋转磁动势与三相绕组的磁动势等效表达式 3NNNNCBA2NNN240sin120

16、sin0240cos120cosCCBBCCBBAAiNiNiNiNiNiNiN 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换从而找出3/2磁动势等效下的两种电流间的对应关系及其变换矩阵，整理得：为保证推导的严谨性，在非方阵中也引入一个独立变量，称为零轴电流。CBAiiiNNii240sin120sin0240cos120cos123CBAiiiii2323021211323/2变换表达式 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换当无零线Y形接线时， 则有 3/2变换表达式可简化为: 反变换关系与变换矩阵为:上式对电压和磁链也成立。0CBAiiiBACiii302122ABiiii2031

17、162ABiiii 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换32s/2r变换 二相静止轴系 到二相旋转轴系 d,q 的变换 设两相静止坐标系与两相旋转坐标系间的夹角为（且随时间变化） 由两相静止轴系与两相旋转轴系的等效磁动势表达式可以得到变换关系， 01tcossinsincosdqiiii 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换 43/2 2/2变换的物理意义：当定子三相电流为 : 代入3/2变换式，有 其中 上式说明，从静止三相A-B-C变换到静止二相-，在、绕组中通以互差90度的与三相同频率的两相平衡正弦交流电流，即可获得与三相静止绕组等效的磁动势。 111sin()2sin()34sin()3AmBmCmiItiItiIt 121sin()cos()mitIit。mmII232 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换又可知，将上式部分（ 轴）展开后有， 因此， 轴分量又可分别定义为瞬时有功电流和瞬时无功电流之和， 2121cos sinsin cospmqmiItiIt pqiii 矢量变换原理与坐标变换矢量变换原理与坐标变换 53/2变换结果代入2/2变换后有 上式说明，在d-q轴上通以两个直流电流，其大小分别为三相绕组中的有功电流和无功电流。这样也可获得与三相绕组等效的磁动势。121sin()cossincos()sincosdmqitIit 22co