工程力学-附录 II平面图形的几何性质

1、北京理工大学理学院力学系 韩斌1. 静矩（一次矩）与形心静矩（一次矩）与形心任意平面图形任意平面图形 A （例如杆的横截面）（例如杆的横截面）建立建立 yz 坐标系（坐标系（x轴为杆的轴线）轴为杆的轴线）OC(yc,zc)yz平面图形的形心平面图形的形心C(yc,zc)定义定义图形对图形对 y 轴的轴的AyzdAS (II.1)图形对图形对 z 轴的轴的AzydAS (II.2)静矩的单位：静矩的单位：m3,cm3,mm3AdA静矩与形心静矩与形心OC(yc,zc)yzAASAydAyzACASAzdAzyAC，（II.3）静矩的性质静矩的性质（1）静矩与轴有关，可正可负可为零。）静矩与轴有关

2、，可正可负可为零。（2）若）若yC,zC坐标轴过形心，则有坐标轴过形心，则有0CyS0CzSyCzC（3）组合图形静矩可分块计算求代数和）组合图形静矩可分块计算求代数和A2c2A1c1221121CCzzzyAyASSS（4）求形心）求形心AyAyAASyCCzC2211AzAzAASzCCyC22112.惯性矩（二次矩）惯性矩（二次矩）定义定义图形对图形对 y，z 轴的轴的AydAzI2 (II.4)AzdAyI2 (II.5)图形对原点的图形对原点的yzAApIIdAzydAI)(222(II.6)惯性矩的单位：惯性矩的单位：m4,cm4,mm4OC(yc,zc)yzAdAOyzA惯性矩的

3、性质：惯性矩的性质：（1）惯性矩与轴有关，恒为正。）惯性矩与轴有关，恒为正。（2）组合图形惯性矩可）组合图形惯性矩可分块计算求代数和。分块计算求代数和。A2c2A1c1zy(3)定义定义AIizzAIiyy(II.7)OyzAiziy例例 题题 II-1 例题例题求矩形截面对求矩形截面对z轴的惯性矩轴的惯性矩zhb解：解：123)2()2(33322222bhhhbdyybbdyydAyIhhAAzdAdy常见图形的惯性矩：常见图形的惯性矩：矩形：矩形：hbyz圆形：圆形：yzd123bhIz123hbIy644dIIyz324dIpz空心圆形：空心圆形：ydD)1 (64644444DdDI

4、Izy)1(3244DIpDd3.惯性积惯性积定义定义AyzyzdAI(II.8)惯性积的性质：惯性积的性质：（1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。）惯性积与轴有关，可正可负可为零。（2）若）若 y , z 轴有一为图形的对称轴，则轴有一为图形的对称轴，则 Iyz = 0。OC(yc,zc)yzAdA4.平行移轴公式平行移轴公式若两组坐标轴分别平行，且其若两组坐标轴分别平行，且其中一组为形心轴，则中一组为形心轴，则OC(a,b)yzAyCzCab2AaIICyy2AbIICzzAabIICCzyyz(II.9)(II.11)(II.10)A 为图形的面积，为图形的面积，a,b 为形心为形心 C

5、 在在 yz 坐标系中的坐标坐标系中的坐标平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩例例 题题 II-2 例题例题求求T形截面对其形心轴的惯性矩。形截面对其形心轴的惯性矩。解：解：建立过形心的建立过形心的zCyC坐标系，及平行坐标系，及平行于于zC轴的轴的z轴轴246)( 5)4(12)4(12)2()2(222323222121HhhHHhHhHhhHHhHhHhyHhHhIhyHhIICzCzzCCCCzCyCz(1)求形心的位置求形心的位置hhHHA1A2432)2(2212211HhHhHhHhhHhAAyAyAyCCCyC(2)求惯性矩求惯性矩C1C25

6、. 转轴公式转轴公式OyzAyz设设y,z为任一对坐标轴，将为任一对坐标轴，将其绕其绕O点逆时针旋转点逆时针旋转 角，角，得到新坐标轴得到新坐标轴y, z，则有：，则有： zyzyyzzyzyzyzzyzyyIIIIIIIIIIIIIIII2sin2cos222sin2cos222cos2sin2yzzyzyIIII 6主惯性轴、主惯性矩主惯性轴、主惯性矩（1）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积 等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。（2）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。注意：图

7、形对过某点的所有轴的惯性矩中，两个注意：图形对过某点的所有轴的惯性矩中，两个 主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。 （3）形心主惯性轴：通过形心）形心主惯性轴：通过形心C的主惯性轴。的主惯性轴。 注意：对称轴一定是形心主惯性轴。注意：对称轴一定是形心主惯性轴。（4）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。比较：应力的主方向，主应力比较：应力的主方向，主应力求图示截面对求图示截面对z轴的惯性矩。轴的惯性矩。Rz) 1 (R)2(zaaz)3(864)2(2144RRIz1682144RRIz422431

8、212aaaaIz4441631163aaaIz例例 题题 II-3 例题例题zaa)4(负面负面积法积法aaz)5( z y例例 题题 II-3 例题例题 正方形对正方形对 和和 轴的惯性矩均为轴的惯性矩均为 。而而 与与 轴是形心主惯性轴，轴是形心主惯性轴， ， 都是形心主惯性矩。对所有的形心都是形心主惯性矩。对所有的形心轴来说，轴来说， 及及 中的一个是最大值，中的一个是最大值，另一个是最小值。另一个是最小值。 y z124a y z yI zI yI zI实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴，实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴，对其任意形心轴的惯性矩为一常数。对其任意形心轴的

9、惯性矩为一常数。所以正方形对任一形心轴的惯性所以正方形对任一形心轴的惯性124aIIzy124a124aIz矩也等于矩也等于 ，即：，即：而而 ，此结论可推广到任意正多边形，即任意正多边形对此结论可推广到任意正多边形，即任意正多边形对其任意一形心轴的惯性矩为常量。其任意一形心轴的惯性矩为常量。zaa2a2222444)2(64122aaaaaIz4641737a例如，求图例如，求图示图形对示图形对z轴的惯性矩轴的惯性矩判断正误判断正误bhhIIyy2121121233bhBHIzhHbBzz轴为槽形的形心轴轴为槽形的形心轴例例 题题 II-4 例题例题错！错！错！错！hy1yb例例 题题 II

10、-5 例题例题画出下列图形形心主惯性轴的大致方位画出下列图形形心主惯性轴的大致方位CCCCCCC7.工程上常用的各种型钢截面几何参数工程上常用的各种型钢截面几何参数工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不等边角钢可查附录等边角钢可查附录III型钢表型钢表例如：型号为例如：型号为25a的工字钢的工字钢bdXXYYh查表可知：查表可知：mmdcmicmhIWcmIcmAxxxx0 . 82 .1040225020541.48342cmSISIxxxx6 .21:13.1 13.1 弯曲的概念弯曲的概念1.弯曲的特点弯曲的特点外力外力垂直于杆轴线的横向力或作用于轴

11、线垂直于杆轴线的横向力或作用于轴线所在平面内的力偶所在平面内的力偶变形变形杆轴线由直线变为曲线杆轴线由直线变为曲线内力内力杆件横截面内的剪力杆件横截面内的剪力FS，弯矩，弯矩Mmm2.常见的几种弯曲类型常见的几种弯曲类型平面弯曲平面弯曲外力系为轴线所在平面内的平面力系，外力系为轴线所在平面内的平面力系， 变形后轴线变为平面曲线变形后轴线变为平面曲线对称弯曲对称弯曲横截面有一纵向对称轴（横截面有一纵向对称轴（y轴），外力轴），外力 作用于该对称轴与杆轴组成的纵向对作用于该对称轴与杆轴组成的纵向对 称面内，内力分量为剪力称面内，内力分量为剪力FS，弯矩，弯矩M纯弯曲：横截面上只有纯弯曲：横截面上只

12、有M，无，无FS剪切弯曲（一般弯曲）：剪切弯曲（一般弯曲）：FS，M均有均有例如：例如：aaaFFFFFF（ FS）Fa（M）ABCDAB，CD段：段： 剪切弯曲剪切弯曲BC段：纯弯曲段：纯弯曲3.列剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图列剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图 复习上学期内容复习上学期内容13.2 13.2 纯弯曲时横截面上的应力纯弯曲时横截面上的应力 弯曲正应力公式弯曲正应力公式纯弯曲实验观察：纯弯曲实验观察：MM平面假设：变形后横截面保持平面且仍与轴线正交平面假设：变形后横截面保持平面且仍与轴线正交MM横截面横截面单向受力假设：纵向纤维间无挤压单向受力假设：纵向纤维间无挤压中性层中性层中

13、性轴中性轴将中性轴取为将中性轴取为z轴，纵向对称轴取为轴，纵向对称轴取为y轴，轴，杆轴取为杆轴取为x轴轴zyx1. 变形几何关系变形几何关系dxmmnnaabbaabbmmnnMMdO1O2Ommnnaabby微段微段 , ,截面截面mmmm相对相对nnnn转转动动 ，中性层曲率半径，中性层曲率半径 设设bbbb线段的线应变线段的线应变dxdydddy)(（a）dybbbb变形后长度变形后长度dxdbbbb变形前长度变形前长度变形几何关系变形几何关系y(a)2.物理关系物理关系由单向受力假设：由单向受力假设：yEE (b)中性轴处中性轴处y0, 0yzx横截面横截面zy3.静力学关系静力学关系

14、横截面上的正应力分布力系向截面形心简化得横截面上的正应力分布力系向截面形心简化得到截面上的内力分量到截面上的内力分量dAMyzC0ANdAF(c)MdAyMAz(e)0dAzMAy(d)x横截面横截面zy0ANdAF(c)变形几何关系变形几何关系y(a)yEE (b)物理关系物理关系0zASEydAE0AzydAS中性轴中性轴z轴必过截面形心轴必过截面形心0dAzMAy(d)0yzAIEyzdAE0AyzyzdAIyz轴为截面形心主惯性轴轴为截面形心主惯性轴（y为对称轴，已满足）为对称轴，已满足）MMdAyMzAy(e)zAIEdAyEM2zEIM1(13.1)EIz为梁的为梁的纯弯曲时横截纯

15、弯曲时横截面正应力公式面正应力公式zIMy(13.2)拉应力区拉应力区压应力区压应力区xMmaxmaxzzzWMyIMIMymaxmaxmax/横截面上的横截面上的最大正应力最大正应力(13.3)截面对截面对z轴的弯曲截面系数轴的弯曲截面系数maxyIWzz(13.4)mmyzm-m若截面关于若截面关于z轴上下对称，则有：轴上下对称，则有：zyymax1ymax2zzzzzWyIWyIW2max21max1zWMminmax若截面关于若截面关于z轴上下不对称，则有：轴上下不对称，则有：Cyzymax1ymax2maxmax1max1yIWzz2max2yIWzzmaxmax应分别计算应分别计算

16、Mmaxmax如如M为正，则为正，则1maxzWM2maxzWM常见各种形状截面的弯曲截面系数：常见各种形状截面的弯曲截面系数：矩形：矩形：hbyz123bhIz622bhhIWzz圆形：圆形：yzd644dIz3223ddIWzzz空心圆形：空心圆形：ydD)1 (6444DIzDd)1 (32243DDIWzz拉（或压）应力最大值位置拉（或压）应力最大值位置13.3 13.3 剪切弯曲时横截面上的应力剪切弯曲时横截面上的应力 弯曲切应力公式弯曲切应力公式1.剪切弯曲（一般弯曲）时横截面上的正应力剪切弯曲（一般弯曲）时横截面上的正应力剪切弯曲（一般弯曲）时，横截面上既有剪切弯曲（一般弯曲）时

17、，横截面上既有M，也有，也有FS横截面上既有横截面上既有 ，也有也有 存在存在FS使平面假设不再满足，使平面假设不再满足，不再准确，但梁为细长梁时（即不再准确，但梁为细长梁时（即 l/h 较大），较大），故纯弯曲正应力公式故纯弯曲正应力公式误差不大，满足工程要求，误差不大，满足工程要求，剪切弯曲时剪切弯曲时)(xMM 某横截面上的正应力某横截面上的正应力zIyxM)(zzWMIyMmaxmaxmaxmaxzzWMIyMmaxmaxmaxmax弯曲正应力的最大值弯曲正应力的最大值2 .剪切弯曲时横截面上的切应力剪切弯曲时横截面上的切应力切应力分布与截面形状有关切应力分布与截面形状有关:（1）矩形

18、截面上的弯曲切应力）矩形截面上的弯曲切应力假设：假设：横截面上各点切应力方向平行横截面上各点切应力方向平行于剪力的方向于剪力的方向横截面上切应力沿横截面上切应力沿z方向均布方向均布)(yxyzFS)(yyxyzFS)(yyxyz)(yyFN1A1FN2dxMM+dMy从梁中切出分离体：从梁中切出分离体：x方向平衡：方向平衡：012SNNFFFzzAzANSIdMMydAIdMMdAF112zzNSIMF1bdxyFS)(b1AzydAS其中其中0)(bdxySIMSIdMMzzzzbISFdxdMbISyzzSzz)(bISFdxdMbISyzzSzz)(矩形截面弯曲矩形截面弯曲切应力公式切应

19、力公式(13.5)yyzA1矩形截面：矩形截面：)4(2)2(21()2()(22yhbyhyyhbySz)4(2)(22yhIFyzSy max2323412223maxAFhbhFSS = 0maxmaxMyzbBHh（2）工字形截面上的弯曲切应力）工字形截面上的弯曲切应力主要考虑腹板上的弯曲切应力主要考虑腹板上的弯曲切应力腹板腹板翼缘翼缘)/(maxmaxmaxzzSzzSSIbFbISF maxy min min其中其中AzydASmaxFS（3）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力yzFS最大切应力在中性轴处：最大切应力在中性轴处：3434maxAFSbIS

20、FzzSy任意水平线上某点处任意水平线上某点处切应力的切应力的 y 方向分量方向分量KyyzFS最大切应力也在中性轴处：最大切应力也在中性轴处：22maxAFSmaxmaxy（1）横截面上切应力的存在使得梁在弯）横截面上切应力的存在使得梁在弯曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。（2）横截面上的正应力与切应力最大值之比）横截面上的正应力与切应力最大值之比hlmaxmax对细长梁对细长梁( l/h 5 ) ,主要为弯曲正应力。主要为弯曲正应力。（3）某些形状的截面（薄壁梁如）某些形状的截面（薄壁梁如T梁、梁、L梁、工字梁）梁、工字梁） 或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截面上的切应力是主要应力。面上的切应力是主要应力。max中性轴处：中性轴处：max上下缘：上下缘：0F4maxFlM2maxFFShl2maxmax22max2364bhFlbhFlbhFbhF83243max3.弯曲中心的概念弯曲