梁的弯曲强度1

1、 载荷载荷：杆件受到垂直于其轴杆件受到垂直于其轴线的集中力或分布力或力偶；线的集中力或分布力或力偶； 变形：变形：使原为直线的轴线在使原为直线的轴线在力和轴线所组成的平面内变力和轴线所组成的平面内变为曲线；为曲线； 平面弯曲：平面弯曲：梁上所有的外力梁上所有的外力和力偶都作用于梁的纵向对和力偶都作用于梁的纵向对称平面内称平面内 一、梁一、梁： 以弯曲变形为主以弯曲变形为主要变形的杆件要变形的杆件。梁的梁的分类分类(按支按支撑分撑分)简支梁PABRARB悬臂梁悬臂梁外伸梁外伸梁PABRARB 梁： 以弯曲变形为主要变形的杆件以弯曲变形为主要变形的杆件。 2.5.1 梁的受力剪力和弯矩梁的受力剪力

2、和弯矩Q ：受弯构件任意横截受弯构件任意横截面上与横截面相切的分布面上与横截面相切的分布内力系的合力；内力系的合力；M ：受弯构件任意横截受弯构件任意横截面上与横截面垂直的分布面上与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩内力系的合力偶矩; 指定截面上剪力和弯矩的确定指定截面上剪力和弯矩的确定截面法截面法弯曲梁的内力的求法步骤：弯曲梁的内力的求法步骤： 求支反力；求支反力； 截开：在欲求梁内力的横截面处将梁切开；截开：在欲求梁内力的横截面处将梁切开； 替代：用剪切内力和弯矩替代；替代：用剪切内力和弯矩替代； 列力和弯矩平衡方程；列力和弯矩平衡方程； 画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图4mP=10KN1.

3、5mAB【例【例7.17.1】已知简支梁】已知简支梁ABAB如如下图所示，在下图所示，在C C点作用一集点作用一集中力中力P P=10kN=10kN，画剪力图和弯画剪力图和弯矩图并确定距矩图并确定距A A端端0.80.8m m处截处截面上的剪力和弯矩。面上的剪力和弯矩。【解解】 （1 1）求梁的支座反力：）求梁的支座反力： 由平衡方程求出梁的支座反由平衡方程求出梁的支座反力为力为：kN75. 3kN25. 6 BARR（2）用截面法求内力）用截面法求内力 由平衡方程：由平衡方程：4mP=10KN1.5mABRARBARAQIMIQIIMIIARA10KNXQ,MXQ,MRA-QI=0-QIX+

4、M=0QI=RAM=QIXRA-10-QII=0-10 x1.5-QIIX+M=0QII=RA-10M=QIIX+15(3) 画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图4mP=10KN1.5mABRARBXQXMQI=RAM=QIXQII=RA-10M=QIIX+15(4)(4)距距A A点点0.8m 0.8m 处的剪力和弯矩处的剪力和弯矩n弯矩曲线是一条以剪力为斜率的弯矩曲线是一条以剪力为斜率的直线直线6.25kN3.75kN9.375kNQ=6.25 kNM=6.25x0.8=5kNmkN75. 3kN25. 6 BARR横弯曲梁横弯曲梁：梁的横截面：梁的横截面上同时受剪力和弯矩上同时受剪力和弯矩作

5、用。作用。纯弯曲梁纯弯曲梁：梁只受弯矩：梁只受弯矩而无剪力而无剪力按受力情况梁的分类按受力情况梁的分类4mP=10KN1.5mABRARBARAQIMIXQ,M横弯曲梁：横弯曲梁：梁的横截面上梁的横截面上同时受剪力和弯矩作用。同时受剪力和弯矩作用。纯弯曲梁：纯弯曲梁：梁只受弯矩而梁只受弯矩而无剪力无剪力纵线（纵线（a-a和和b-b）弯曲成曲线，且梁外凸的一侧伸弯曲成曲线，且梁外凸的一侧伸长，内凹的一侧缩短。长，内凹的一侧缩短。2.5.2 纯弯曲的变形特征纯弯曲的变形特征横线（横线（m-m和和n-n）仍是直线，只是发生相对转动，仍是直线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如但仍与纵线（如a-a，b-

6、b）正交正交。按受力情况梁的分类(只研究此类型的梁）只研究此类型的梁）各纵向层之间没有距离变化；各纵向层之间没有距离变化；结论：结论： 横截面上无切应力横截面上无切应力, 只有只有正应力正应力。纵向层有正应力纵向层有正应力中性层中性层： 即没有伸长也没缩短的纵向层即没有伸长也没缩短的纵向层中性轴：中性轴： 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线中性轴上各点的正应力等于零中性轴上各点的正应力等于零变形几何方程取梁上取梁上dx微段微段, 有：有： dyBB）（ ）该层纤维变形前的长该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤度与中性层处纵向纤维的长度相等，即维的长度相等，即 ： dOOOOAA （ydd

7、d)y(AAAABB上式表明上式表明：梁内任一纵向线的应变梁内任一纵向线的应变与它到中性层的与它到中性层的距离距离y成正比。成正比。故：故： yE 物理方程与应力分布物理方程与应力分布由胡克定律可得：由胡克定律可得：式中式中E、均为常数，均为常数，表明表明：纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该纯弯梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的垂直距离点到中性轴的垂直距离y成正比同一纵向层面成正比同一纵向层面的正应力相等的正应力相等 yE AAzdAyEdAyM2 zzEIM 1 AzdAyM 静力学方程与平衡条件静力学方程与平衡条件在梁的横截面上任取一微面积在梁的横截面上任取一微面积dA，作用于作用

8、于dA上的微内力为上的微内力为dAzzzzIyMEIyMEyE 分析： zzzzIyMEIyMEyE maxyIWzz l 最大正应力最大正应力 最大拉、压正应力出现在距中性轴最远点处最大拉、压正应力出现在距中性轴最远点处 ，即，即其中其中zzzzWMIyM maxmax zzzzWMIyM maxmax 是抗弯截面系数，是抗弯截面系数， 长度长度3：对等直梁而言：对等直梁而言max发生在最大弯发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处矩断面，距中性轴最远处ymax。0 AydAE Yc是截面形心，是截面形心，中性轴通过截面形心，且垂直于加中性轴通过截面形心，且垂直于加载平面。载平面。由于由于E/00

9、 AydA AdAN0 iniicymMy1iniiicydldAMy11 1dl,AcydAAy0 cy2.5.3 2.5.3 弯曲强度准则弯曲强度准则 zIyMmaxmaxmax max为梁内的最大正应力，它发生在梁的为梁内的最大正应力，它发生在梁的危危险截面险截面的的危险点危险点处。处。设计截面：设计截面：求许可载荷求许可载荷 强度准则解决的问题：强度准则解决的问题：校核强度：校核强度：n直梁在平面弯曲时，其轴线将在加载直梁在平面弯曲时，其轴线将在加载平面内弯成一条光滑的平面曲线，该平面内弯成一条光滑的平面曲线，该曲线称为梁的曲线称为梁的挠曲线挠曲线。挠度挠度 用用y表示表示转角转角 用

10、用表示表示水平位移，高阶小量，水平位移，高阶小量，忽略忽略梁的刚度准则梁的刚度准则n挠曲线方程挠曲线方程（挠挠度方程度方程） y=y（x） 梁横截面在弯曲变形后仍垂直于挠曲线梁横截面在弯曲变形后仍垂直于挠曲线ntg ，ntg=dy/dx=y时0ydxdytanzzEI)x(M)x(123222)(1)(1dxdydxydx 挠曲线微分方程挠曲线微分方程 zz23222EIxM)dxdy(1dxyd）（zzEIxMdxdydxyd）（ 23222)(1n梁的挠度和转角的微分方程，称为梁的挠度和转角的微分方程，称为挠曲线近似微挠曲线近似微分方程分方程。zz22EIxMdxyd）（1 dxdy 当当

11、 梁的刚度准则：梁的刚度准则：n限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的限制梁的最大挠度与最大转角不超过规定的许可数值许可数值，n式中式中y和和分别为梁的许用挠度和许用转角，可分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。从有关设计手册中查得。 yymax maxn提高梁刚度措施提高梁刚度措施n减小梁的跨度减小梁的跨度n选择合理截面形状选择合理截面形状n改善梁的受力和支座位置改善梁的受力和支座位置n预加反弯度预加反弯度zz22EIxMdxyd）（结束第六节第六节 复杂变形的强度计算复杂变形的强度计算 横截面上同时受正应力和剪应力的状态横截面上同时受正应力和剪应力的状态就是复杂应力状态。就

12、是复杂应力状态。n截面截面 横截面上同时受正应力和剪应的状态。横截面上同时受正应力和剪应的状态。复杂变形的强度计算复杂变形的强度计算力和正应力应是同一截面上的剪应和:a 224注意：注意： :b值危险截面是上式的最大总结总结解决的主要问题，解决的主要问题，找出强度和刚度准则找出强度和刚度准则 max max y 研究方法：研究方法：截面法求截面法求内力或矩内力或矩由实验特征确由实验特征确定应变表达式定应变表达式由虎克定理确定由虎克定理确定应力的表达式应力的表达式由应力与内力的关系由应力与内力的关系确定应力的表达式确定应力的表达式内力、矩用主内力、矩用主动力和矩表示动力和矩表示dxd ）（）（）

13、（ G yE AQANPdAPdA zIMy pnIM 0ll dxd dxn使微段的弯曲变形使微段的弯曲变形向上凹向上凹的弯矩规定的弯矩规定为正为正，反之为负。，反之为负。（或使梁（或使梁下部受拉下部受拉而上部受压的弯矩而上部受压的弯矩为正为正，反之为负）。，反之为负）。MMMMQQQQ剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负 左上右下为正；左上右下为正；反之为负反之为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负剪力、弯矩的正负号规定剪力、弯矩的正负号规定 弯曲强度计算步骤弯曲强度计算步骤进行受力分析，正确确定约束力；根据梁上进行受力分析，正确确定约束力；根据梁上

14、载荷和约束力，画出梁的弯矩图。载荷和约束力，画出梁的弯矩图。根据弯矩图和截面沿轴线变化情况，确定可根据弯矩图和截面沿轴线变化情况，确定可能的危险截面。能的危险截面。根据应力分布和材料的力学性能确定可能的根据应力分布和材料的力学性能确定可能的危险点。危险点。由强度准则进行三方面的计算由强度准则进行三方面的计算（2）计算抗弯截面模量）计算抗弯截面模量 qlbh【解】（【解】（1）画梁的弯矩图）画梁的弯矩图 由弯矩图知：由弯矩图知： Mql2/2(-)xmkN8022max qlM3622mm10864003006 bhWz（3）强度计算）强度计算MPa10mm108mmN1080366maxmax

15、 zWM满足强度条件，因此梁的强度是安全的。满足强度条件，因此梁的强度是安全的。【例【例】矩形截面悬臂梁如图所示，已知矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m，h=400mm，b=300mm，q=10kN/m， =10MPa，试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。 例例 简支梁简支梁AB受均布载荷受均布载荷q作作用，如图所示，试作此梁的用，如图所示，试作此梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。【解】（【解】（1）求支座反力）求支座反力2qlFFBA （2）列剪力方程和弯矩方程）列剪力方程和弯矩方程ABqlRARBXQ,M lxqxqlqxFxQA 0,2)( lxqxxqlxqxxFxMA 0,222

16、)(2X（3）画剪力图和弯矩图）画剪力图和弯矩图XQXMql/2ql/2ql2/8l/2规律：规律：剪力图是一以均布载荷剪力图是一以均布载荷q为斜为斜率的直线；率的直线；弯矩是一抛物线，抛物线在某一点的切线是此点的剪力；弯矩是一抛物线，抛物线在某一点的切线是此点的剪力；由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。abClABM【解解】： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA ；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程 axlMxxFxMaxlMFxQAC0)(0)(:AA

17、段段xFAFB lxaxllMxlFxMlxalMFxQCBBB)()(:段段QlM /MlMa/lMb/【例例】在图示简支梁在图示简支梁ABAB的的C C点处作用一集中力偶点处作用一集中力偶M M，作该作该梁的剪力图和弯矩图。梁的剪力图和弯矩图。计算如下截面形状绕计算如下截面形状绕Z轴的转动惯量轴的转动惯量323ZdW =d/D)1(3243Z DW)2/()1212(03300ZhbhhbW （bh） 662y2ZhbWbhW“Happy” Beam is “Sad” Beam is + (POSITIVE)Sign Conventions:xyMMQQBending Moment Diagramsn例如，运用这一方法再来例如，运用这一方法再来求解例求解例7.1，如欲取截面右，如欲取截面右侧的一段梁为研究对象，侧的一段梁为研究对象，只须假想一张纸将左段梁只须假想一张纸将左段梁盖住，将右段梁的外力按盖住，将右段梁的外力按内力符号规定向截面形心内力符号规定向截面形心简化就可写出简化就可写出mkN57 . 0102 . 3kN25. 675. 310 BBRMRPQ【解解】：1）求约束力。）求约束力。画受力图。画受