微积分——无穷大量与无穷小量讲解ppt

1、（一）（一） 无穷大量无穷大量绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大量无穷大量.时时的的变变化化趋趋势势。当当我我们们讨讨论论111 xxy越大。越大。就越来就越来时，时，越来越接近越来越接近当当|11|1 xx.lim|8 . 2 yyEyyE记记做做是是无无穷穷大大量量，恒恒成成立立，则则称称后后，不不等等式式个个时时刻刻以以有有那那么么一一个个时时刻刻，在在那那在在其其变变化化过过程程中中，总总，变变量量数数如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正定定义义特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注

2、意注意 11lim1xx可以证明可以证明 2021limlglim)1(1limxxxxxx注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx （二）无穷小量（二）无穷小量定义定义2.9:以以0为极限的变量，称为为极限的变量，称为无穷小量无穷小量.无无穷穷小小量量。为为恒恒成成立立，则则称称变变量量以

3、以后后，不不等等式式一一个个时时刻刻，在在那那个个时时刻刻变变化化过过程程中中，总总有有那那么么的的，如如果果在在变变量量正正数数亦亦即即，对对于于任任意意给给定定的的yyy |, 021lim nn.21是是无无穷穷小小量量时时，变变量量当当nnyn 例如例如, 01lim xx.1时时的的无无穷穷小小量量是是当当函函数数 xxy, 0lim20 xx.02时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证 必要性必

4、要性,)(limAxf 设设，对于任意给定的对于任意给定的0 总总有有那那么么一一个个时时刻刻，在那个时刻以后，在那个时刻以后，与一个无穷小量的和。与一个无穷小量的和。可以表示为可以表示为变量变量是是为极限的必要充分条件为极限的必要充分条件以以变量变量定理定理AyAy:5 . 2恒成立。恒成立。不等式不等式 |Ay是是一一个个无无穷穷小小量量，因因此此Ay , AyAy即即，则则记记为为的的和和。与与无无穷穷小小量量是是所所以以 Ay充分性充分性. 0lim, 其其中中设设Ay个个时时刻刻以以后后，有有那那么么一一个个时时刻刻，在在那那则则对对任任意意的的, 0 恒恒成成立立。不不等等式式 |

5、恒成立。恒成立。即即 |AyAy lim故故是无穷小量。是无穷小量。变量变量则则是有界变量是有界变量是无穷小量，变量是无穷小量，变量如果变量如果变量定理定理yy ,6 . 2在在这这一一时时刻刻以以后后，恒恒有有变变量量，所所以以，存存在在在在某某一一时时刻刻以以后后是是有有界界设设证证明明：, 0 MyMy |时时刻刻以以后后，恒恒有有那那么么一一个个时时刻刻，在在那那个个，总总有有于于任任意意的的是是无无穷穷小小量量，所所以以，对对又又因因为为0 M |有有中中较较晚晚的的时时刻刻以以后后，恒恒于于是是，在在上上述述两两个个时时刻刻 MMyy|是无穷小量。是无穷小量。成立，故成立，故y 推

6、论推论常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量常量与无穷小量的乘积仍是无穷小量xxx1sinlim40求求例例是有界变量。是有界变量。，即，即而而因为因为解解xxxx1sin1|1sin|. 0lim0 01sinlim0故故xxx（三）无穷小与无穷大的关系（三）无穷小与无穷大的关系定理定理2.7.1)1(是是无无穷穷小小量量是是无无穷穷大大量量，则则如如果果yy.01那那个个时时刻刻以以后后，恒恒有有总总有有那那么么一一个个时时刻刻，在在意意给给定定的的是是无无穷穷大大量量，则则对对于于任任）设设（证证明明 y在变量在变量 y 的变化过程中，的变化过程中，.1)0()2(是无穷大量是无穷大量是无穷小

7、量，则是无穷小量，则如果如果yy |1|1|yy即即同同理理可可证证是是无无穷穷小小量量。因因此此，)2(1y 无穷小量虽然都是趋于无穷小量虽然都是趋于0的变量，但不同的的变量，但不同的无穷小连量趋于无穷小连量趋于0的速度却不一定相同。的速度却不一定相同。（四）无穷小量的阶（四）无穷小量的阶下表：下表：的速度却不一样。请看的速度却不一样。请看趋于趋于都是无穷小量，但它们都是无穷小量，但它们时时例如当例如当0,2 ,02xxxx x1 0.5 0.1 0.01 0.001 02x2 1 0.2 0.02 0.002 0 x21 0.25 0.01 0.0001 0.0000001 0显然，显然，

8、x2比比x与与2x趋于趋于0的速度快得多。的速度快得多。快慢是相对的，是相互比较而言。因此有快慢是相对的，是相互比较而言。因此有穷小量，穷小量，是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无，设设定义定义 10. 2)(, 0lim o 记记做做较较高高阶阶的的无无穷穷小小量量，是是比比则则称称如如果果。无无穷穷小小量量，记记做做是是等等价价的的与与时时，称称无无穷穷小小量量。特特别别当当是是同同阶阶的的是是比比则则称称为为常常量量）（如如果果 1,0lim ccc较低阶的无穷小量。较低阶的无穷小量。是比是比则称则称如果如果 ,lim )(0, 0limlim22020 xoxxxxxxxxx 无无

9、穷穷小小量量，可可以以记记做做较较高高阶阶的的比比时时，当当因因为为较较低低阶阶的的无无穷穷小小量量。是是比比时时，反反之之，当当20 xxx 无无穷穷小小量量。是是同同阶阶的的与与时时，当当xxxxxxx20,2121lim2lim00 小结小结1、主要内容、主要内容: 两个定义两个定义;三个定理三个定理;一个推论一个推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积

10、）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.思考题思考题若若0)( xf，且，且Axfx )(lim，问：能否保证有问：能否保证有0 A的结论？试举例说明的结论？试举例说明.思考题解答思考题解答不能保证不能保证.例例xxf1)( , 0 x有有01)( xxf )(limxfx. 01lim Axx一、填空题一、填空题: :1 1、 凡无穷小量皆以、 凡无穷小量皆以_为极限为极限. .)(,_2的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数直直线线条条件件下下、在在xfycy .)0lim(,)(_)(lim300 xxxxAxfAxf其其中中、._,)(,4是是无无穷穷小小则则是是无无穷穷大大若若、在在同同一一过过程程中中xf.10,21,0:4 yxxxyx能能使使应应满满足足什什么么条条件件问问是是无无穷穷大大函函数数时