最优捕鱼策略ppt

1、一、问题的提出一、问题的提出为为1.22 109/( 1.22 109 +n)。渔业管理部门规定，每年只。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的允许在产卵孵化期前的8 8个月内进行捕捞作业。如果每年个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常用数不妨称为捕捞强度系数。通常用13mm13mm网眼的拉网，这种网眼的拉网，这种网只能捕捞网只能捕捞3 3龄鱼和龄鱼和4 4龄鱼，其两个捕捞

2、强度系数之比为龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:10.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 1.1.建立数学模型分析如何建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并在此前提下得到数不变），并在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。最高的年收获量（捕捞总量）。 2.2.某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5 5年，合同要求年，合同要求5 5年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年后鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承

3、包时各年龄组鱼群数量分别为：年龄组鱼群数量分别为：122122，29.729.7，10.1,3.29(10.1,3.29( 10109 9条条),),如果固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才如果固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。能使总收获量最高。 1. 1. 问题一的分析问题一的分析 1 1）对于死亡率）对于死亡率a 的理解的理解 我们定义平均死亡率我们定义平均死亡率a a是单位时间鱼群死亡数量与现是单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的正比例系数。由假设条件它是一个与环境等有鱼群数量的正比例系数。由假设条件它是一个与环境等其它因素无关的常数。由于鱼群是连

4、续变化的，而其它因素无关的常数。由于鱼群是连续变化的，而1 1，2 2龄龄鱼全年以上及鱼全年以上及3, 43, 4龄鱼在后四个月的数量只与死亡率有关龄鱼在后四个月的数量只与死亡率有关, ,与其它因数无关。设鱼群数量为与其它因数无关。设鱼群数量为x，则在时间，则在时间t, t+t内，内，鱼群数量的减少等于鱼群的死亡数量，即鱼群数量的减少等于鱼群的死亡数量，即二、问题分析二、问题分析)()()(taxttxttx 两边同时取两边同时取t0 时的极限时的极限( )(1)dxax tdt ttaxtxttx )()()(两边同时除以两边同时除以t 时，得时，得 2 2）对捕捞强度系数的理解）对捕捞强度

5、系数的理解 题目已假定捕捞强度系数题目已假定捕捞强度系数k一定，且只在捕捞期内一定，且只在捕捞期内( (即即每年的前八个月）捕捞每年的前八个月）捕捞3 3、4 4龄鱼，因此只会影响龄鱼，因此只会影响3 3、4 4龄鱼龄鱼鱼群的数量，而不会影响其它的鱼群数量。我们可以看到鱼群的数量，而不会影响其它的鱼群数量。我们可以看到3 3、4 4 龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与龄鱼鱼群的数量在捕捞期内不仅与k有关，而且还与有关，而且还与死亡率死亡率a有关，类似于有关，类似于1 1）的分析，可以得到）的分析，可以得到3 3龄鱼鱼群龄鱼鱼群( (前前8 8个月）的数量变化规律个月）的数量变化规律)()(.)(2

6、420tkxtaxdtdx )()()(3tkxtaxdtdx 类似可得到类似可得到4 4龄鱼群（前龄鱼群（前8 8个月）的数量变化规个月）的数量变化规律律 3 3）对于持续捕获的理解）对于持续捕获的理解 随着时间的推移，各年龄组的鱼群数量必将发生变化，随着时间的推移，各年龄组的鱼群数量必将发生变化，但持续捕获要求每年开始捕捞时渔场中各年龄鱼群条数不但持续捕获要求每年开始捕捞时渔场中各年龄鱼群条数不变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得到关系式：上一变，再根据鱼群的生长规律，我们可以得到关系式：上一年龄组鱼群年底的数量等于下一年龄组鱼群年初的数年龄组鱼群年底的数量等于下一年龄组鱼群年初的数量（量

7、（1 1龄鱼除外），即龄鱼除外），即)(.,)()(4432011 jxxjj 4 4）对成活率）对成活率m 的理解的理解 又由假设可知，又由假设可知， 此种鱼在每年此种鱼在每年8 8月第一次产卵完毕，月第一次产卵完毕，又已知又已知3 3、4 4龄鱼每条产卵的个数，因此可将每年的产卵量龄鱼每条产卵的个数，因此可将每年的产卵量n表示为表示为)(.5323250101091435 xxn又已知成活率又已知成活率11111.22 10(6)1.22 10mn 产卵量与成活率的乘积就是产卵量与成活率的乘积就是1 1龄鱼每年年初的数量，即龄鱼每年年初的数量，即1(0)(7)nmx 5 5）对最高收获量的

8、描述）对最高收获量的描述 根据第根据第2 2）点的分析，在）点的分析，在t t 时刻的捕捞重量等于时刻的捕捞重量等于3 3龄鱼龄鱼捕捞重量与捕捞重量与4 4龄鱼捕捞重量之和，即龄鱼捕捞重量之和，即)()()(.)(84204433gtkxgtkxts 由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞总收获量即年由于捕捞被看成连续的作业，因此捕捞总收获量即年收获量可以用收获量可以用t 时刻的捕捞量时刻的捕捞量s(t)关于关于t 在捕捞期内的积分在捕捞期内的积分, ,即即)()(9320 dttsH要求最高的年收获量，即求要求最高的年收获量，即求H的最大值的最大值。 6) 6) 四龄鱼在年末进行的两个假设四龄鱼

9、在年末进行的两个假设 (1)4(1)4龄鱼在年末与鱼群总数量相比十分微小，它们既龄鱼在年末与鱼群总数量相比十分微小，它们既不产卵，又不会被捕捞。可以将它们忽略不计，令其退出不产卵，又不会被捕捞。可以将它们忽略不计，令其退出系统。系统。 (2)(2)未死亡的未死亡的4 4龄鱼在年末的各个特征（重量、产卵个龄鱼在年末的各个特征（重量、产卵个数等）均不发生改变，即仍会到数等）均不发生改变，即仍会到4 4龄鱼组中。龄鱼组中。1 1龄鱼龄鱼2 2龄鱼龄鱼4 4龄鱼龄鱼3 3龄鱼龄鱼产产卵卵孵孵化化生长一年生长一年一一年年后后一年后一年后产卵孵化产卵孵化 7 7）模型建立的思路）模型建立的思路 （1 1）

10、以第）以第6 6）点的第一个假设为基础，建立一个简单）点的第一个假设为基础，建立一个简单的模型一，其实只是联立以上分析的几个方程为一个方程的模型一，其实只是联立以上分析的几个方程为一个方程组。组。 （2 2）以第）以第6 6）点的第二个假设为基础，即将方程组中）点的第二个假设为基础，即将方程组中方程方程x4(0)=x3(1)改变为改变为x4(0)=x3 (1)+ x4(1)得模型二。得模型二。 （3 3）假设鱼群产卵过程是一种连续的过程，使假设更）假设鱼群产卵过程是一种连续的过程，使假设更加接近于实际情况，得到模型三。加接近于实际情况，得到模型三。 2. 2. 对于问题二的分析对于问题二的分析

11、 1)1)与问题一的相似之处与问题一的相似之处 由于对各年龄组鱼群数量起到影响作用的各因素由于对各年龄组鱼群数量起到影响作用的各因素( (如：如：平均死亡率、成活率、捕捞期等）不变，因此，在平均死亡率、成活率、捕捞期等）不变，因此，在每年内各年龄组的鱼群数量变化情况与问题一相同。每年内各年龄组的鱼群数量变化情况与问题一相同。 2 2）与问题一的不同之处）与问题一的不同之处 （1 1）问题一要求持续捕获，问题二要求鱼量不受太）问题一要求持续捕获，问题二要求鱼量不受太大的破坏，不限制各年龄组年初鱼群的数量，因此作为约大的破坏，不限制各年龄组年初鱼群的数量，因此作为约束条件的方程组中各年龄组的鱼群数

12、量肯定与年数有关，束条件的方程组中各年龄组的鱼群数量肯定与年数有关，而不像问题一是一个常量。而不像问题一是一个常量。 2)2) 问题一中的各变量呈周期变化，因此，只要考虑问题一中的各变量呈周期变化，因此，只要考虑一个周期的变化情况即可。一个周期的变化情况即可。 而问题二则不同，其各年的而问题二则不同，其各年的初值在变化，因此，要考虑每一年的捕获量，在将初值在变化，因此，要考虑每一年的捕获量，在将5 5年的年的捕获量求和，得到一个目标函数。捕获量求和，得到一个目标函数。 3. 3. 根据优化问题提出三个模型根据优化问题提出三个模型 模型一：考虑每年的捕捞强度系数相同，转化为一模型一：考虑每年的捕

13、捞强度系数相同，转化为一元函数最优值的问题。元函数最优值的问题。 模型二：考虑每年的捕捞强度系数不同，得到一个模型二：考虑每年的捕捞强度系数不同，得到一个多元函数的最优值问题。多元函数的最优值问题。 模型三：对问题中不太大破坏程度下个定义，再给模型三：对问题中不太大破坏程度下个定义，再给出一个破坏程度的惩罚因子，出一个破坏程度的惩罚因子， 利用多元函数最优值的求利用多元函数最优值的求解方法进行求解。解方法进行求解。 4.4.不太大破坏程度的定义不太大破坏程度的定义 由于由于4 4龄鱼龄鱼4 4年死亡及两年的捕捞造成的数量减少远远年死亡及两年的捕捞造成的数量减少远远大于其它年龄组的鱼，以致到末期

14、时的数量相对于整个鱼大于其它年龄组的鱼，以致到末期时的数量相对于整个鱼群的数量是十分微小的。因此群的数量是十分微小的。因此4 4龄鱼的减少量对生产能力龄鱼的减少量对生产能力的破坏可以忽略不计，而只考虑的破坏可以忽略不计，而只考虑1 1、2 2、3 3龄鱼的数量要求。龄鱼的数量要求。不妨定义不太大破坏程度为第不妨定义不太大破坏程度为第1 1、2 2、3 3龄鱼减少数量不得龄鱼减少数量不得大 于 初 始 数 量 的 某 个 百 分 比 ， 在 模 型 三 中 ， 我 们大 于 初 始 数 量 的 某 个 百 分 比 ， 在 模 型 三 中 ， 我 们取取30%30%。关于问题二的参数说明关于问题二

15、的参数说明i 表示年数，表示年数，i 1,2,3,4,5;1,2,3,4,5;k 表示年平均捕捞率；表示年平均捕捞率；ni 表示第表示第i年的产卵量年的产卵量; ;xi,j(t) 表示表示j 龄鱼在第龄鱼在第i年时刻年时刻t t的数量；的数量；Si,j(t) 表示表示t时刻时刻j j 龄鱼第龄鱼第i 年的捕捞总重量年的捕捞总重量, ,j=3,4；Hi 表示第表示第i 年总收获量，即捕捞总重量。年总收获量，即捕捞总重量。五、模型建立五、模型建立 问题一问题一 模型一：模型一： 在假设在假设4 4龄鱼年底退出系统和连续捕获前提龄鱼年底退出系统和连续捕获前提下如何得到最高捕获量。由问题的分析，可以得

16、到下列优下如何得到最高捕获量。由问题的分析，可以得到下列优化问题：化问题：230max( )Hs t dt 目标函数目标函数1122323333233424434243( )( ),0,1,( )( ),0,1,( )( )0.42( ),0, ,.( )( ), ,1,( )( )( ),0, ,( )( ), ,1.dxtaxttdtdxtaxttdtdxtaxtkxttdts tdxtaxttdtdxtaxtkxttdtdxtaxttdt .,)()(432011 jxxjj将上式代入目标函数中得到将上式代入目标函数中得到H关于关于k k的一元函数，在利用的一元函数，在利用一维搜索法求一

17、元函数的最小值方法，求得一维搜索法求一元函数的最小值方法，求得H的最大值的最大值为为3.887105 (吨吨)，捕捞强度系数捕捞强度系数k=17.36。求解得求解得111132511.22101.2210(0)1.10910axep 2(1 0.42)2 0.42233310.5kkapee 2(1 0.42)5332 (0.42)3231111325221.22101.2210(0)1.109100.51k aakakaxepepee 再重复模型二的步骤解得再重复模型二的步骤解得Hmax=3.887105( (吨），捕捞强吨），捕捞强度系数度系数k=17.36。 模型二：假设模型二：假设4

18、4龄鱼年末的特征不变，仍做龄鱼年末的特征不变，仍做4 4龄鱼，龄鱼，则在持续捕捞的情况下，求最大捕获量。则在持续捕捞的情况下，求最大捕获量。 此模型类似于模型一，也可得到优化问题，区别仅将此模型类似于模型一，也可得到优化问题，区别仅将x4(0)=x3(1)改变为改变为x4(0)=x3 (1)+ x4(1)，同理解得同理解得 模型三：实际生活中，遇的产卵过程不可能瞬间完成，模型三：实际生活中，遇的产卵过程不可能瞬间完成，它应该是一个连续的过程，但鱼在各个时刻的的数量不同，它应该是一个连续的过程，但鱼在各个时刻的的数量不同，且产卵比例未知，因此问题非常复杂。为了简化模型，我且产卵比例未知，因此问题

19、非常复杂。为了简化模型，我们用们用8 8月底瞬间产卵量和月底瞬间产卵量和1212月底产卵量的几何平均月底产卵量的几何平均值来代替连续的总产量，即值来代替连续的总产量，即5331.10910(0)np x 15656232.840.2830.51akakkaepee 同理可解得同理可解得Hmax=3.876105(吨），吨），捕捞强度系数捕捞强度系数k=17.02。 问题二问题二 在已知初始鱼量的情况下，制定一个最优策略，使承在已知初始鱼量的情况下，制定一个最优策略，使承包包5 5年的公司在生产能力破坏不太大的前提下，获得最大年的公司在生产能力破坏不太大的前提下，获得最大捕鱼量。捕鱼量。 根据问

20、题的分析可以得到为数学模型根据问题的分析可以得到为数学模型 5143itstsH)()(maxmax目标函数目标函数,1,1,2,2,32,3,33,32,33,42,4,43,42,4( )( ),0,1,( )( ),0,1,( )( )0.42( ),0, ,.( )( ), ,1,( )( )( ),0, ,( )( ),iiiiiiiiiiiiiiiidxtaxttdtdxtaxttdtdxtaxtk xttdts tdxtaxttdtdxtaxtk xttdtdxtaxttdt 3,1. ,11,(1)(0)2,3,4.i jijxxj 模型一：令每一年的捕捞强度系数为一固定值，即

21、模型一：令每一年的捕捞强度系数为一固定值，即k=ki;这样与问题一相似，利用一元函数求最值得方法，这样与问题一相似，利用一元函数求最值得方法，可可得到得到Hmax=1.605106(吨），吨），捕捞强度系数捕捞强度系数k=17.58。 模型二：假设每年的捕捞强度系数不同，即模型二：假设每年的捕捞强度系数不同，即ki与与i相关，相关，且相互独立，则上面的优化问题可利用下坡单纯形多元函且相互独立，则上面的优化问题可利用下坡单纯形多元函数极值解法求得可得到数极值解法求得可得到Hmax=1.615106(吨吨），），捕捞捕捞强度系数强度系数 k1=13.18, k2=14.35 , k3=28.46

22、, k4=32.42 , k5=26.62. 模型三：由分析中的生产能力不太大破坏程度的假设，模型三：由分析中的生产能力不太大破坏程度的假设，给一个惩罚因子：当给一个惩罚因子：当p30%时，时，r(p)=-me5p，而当而当p30%时时， r(p)=0（m=1012），），将其加到优化的约束条将其加到优化的约束条件中，利用单纯刑法可求得件中，利用单纯刑法可求得 k1=12.82, k2=13.55 , k3=33.95 , k4=30.95 , k5=26.40 .六、模型结果的检验六、模型结果的检验 1.1.各模型结果的横向比较：经过计算机的多次运行各模型结果的横向比较：经过计算机的多次运行, ,各模型的结果都能稳定在一个或一组数值左右，说明界的各模型的结果都能稳定在一个或一组数值左右，说明界的稳定性较好。稳定性较好。 2. 2.各模型结果的纵向比较：各模型结果的纵向比较： （1 1）问题一中模型一、二、三的解非常近似，说明